Ore di studio e punteggi

Cinque studenti hanno annotato le ore di studio e i punteggi della verifica: $(1, 64)$, $(2, 63)$, $(3, 77)$, $(4, 71)$, $(5, 75)$. Calcola $r$ e interpretalo.

Trova le medie: $\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3$, $\bar{y} = \frac{64+63+77+71+75}{5} = \frac{350}{5} = 70$ = $\bar{x} = 3$, $\bar{y} = 70$

Trova gli scarti: $x_i - \bar{x}$: $-2, -1, 0, 1, 2$ $y_i - \bar{y}$: $-6, -7, 7, 1, 5$ = Ogni somma degli scarti è $0$ (un controllo veloce)

Moltiplica gli scarti e somma: $(-2)(-6) + (-1)(-7) + (0)(7) + (1)(1) + (2)(5) = 12 + 7 + 0 + 1 + 10$ = $S_{xy} = 30$

Eleva gli scarti al quadrato e somma: $S_{xx} = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10$ $S_{yy} = 36 + 49 + 49 + 1 + 25 = 160$ = $S_{xx} = 10$, $S_{yy} = 160$

Applica la formula: $r = \frac{30}{\sqrt{10 \cdot 160}} = \frac{30}{\sqrt{1600}} = \frac{30}{40}$ = $r = 0{,}75$

Interpreta nel contesto: Segno positivo, $|r| = 0{,}75$ è nella fascia da $0{,}60$ a $0{,}79$ = Correlazione positiva forte

Answer: $r = 0{,}75$: una correlazione positiva forte. Chi ha studiato più a lungo ha avuto in genere punteggi più alti, anche se lo studente che ha studiato 1 ora ha fatto meglio di quello che ha studiato 2 ore: l'andamento non è perfetto.

Temperatura esterna e riscaldamento

Una famiglia annota per cinque giorni la temperatura esterna media (°C) e l'energia usata per il riscaldamento (kWh): $(0, 38)$, $(5, 34)$, $(10, 26)$, $(15, 30)$, $(20, 22)$. Calcola $r$ e descrivi la relazione.

Trova le medie: $\bar{x} = \frac{0+5+10+15+20}{5} = 10$, $\bar{y} = \frac{38+34+26+30+22}{5} = \frac{150}{5} = 30$ = $\bar{x} = 10$, $\bar{y} = 30$

Trova gli scarti: $x_i - \bar{x}$: $-10, -5, 0, 5, 10$ $y_i - \bar{y}$: $8, 4, -4, 0, -8$ = Scarti trovati

Moltiplica gli scarti e somma: $(-10)(8) + (-5)(4) + (0)(-4) + (5)(0) + (10)(-8) = -80 - 20 + 0 + 0 - 80$ = $S_{xy} = -180$

Eleva gli scarti al quadrato e somma: $S_{xx} = 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250$ $S_{yy} = 64 + 16 + 16 + 0 + 64 = 160$ = $S_{xx} = 250$, $S_{yy} = 160$

Applica la formula: $r = \frac{-180}{\sqrt{250 \cdot 160}} = \frac{-180}{\sqrt{40000}} = \frac{-180}{200}$ = $r = -0{,}90$

Interpreta nel contesto: Segno negativo, $|r| = 0{,}90$ è nella fascia da $0{,}80$ a $1{,}00$ = Correlazione negativa molto forte

Answer: $r = -0{,}90$: una correlazione negativa molto forte. Nei giorni più caldi la famiglia ha usato meno energia per il riscaldamento.

L'affermazione causale è giustificata?

In dieci settimane autunnali una città ha registrato le vendite di ombrelli e gli incidenti stradali e ha trovato $r = 0{,}95$. Il giornale locale scrive: "Gli ombrelli provocano incidenti." Questa affermazione è giustificata?

Descrivi direzione e intensità: $r = 0{,}95 > 0$ e $|r| = 0{,}95$ è nella fascia da $0{,}80$ a $1{,}00$ = Correlazione positiva molto forte

Chiediti come sono stati raccolti i dati: A nessuno è stato detto di comprare o non comprare un ombrello; la città ha solo contato cosa è successo = Dati osservazionali, non un esperimento

Cerca una variabile confondente: Nelle settimane piovose la gente compra ombrelli, e le strade bagnate e la scarsa visibilità causano anche più incidenti = Variabile confondente: il tempo piovoso

Dai un verdetto: La correlazione è reale, ma la pioggia spiega entrambe le variabili = L'affermazione causale non è giustificata

Answer: Non è giustificata. La correlazione è molto forte ($r = 0{,}95$), ma i dati sono osservazionali e il tempo piovoso fa aumentare sia le vendite di ombrelli sia gli incidenti. Solo un esperimento controllato potrebbe verificare una causa.

Un valore anomalo cambia tutto

Una studentessa misura il fertilizzante (g) e la crescita delle piante (cm): $(1, 2)$, $(2, 4)$, $(3, 6)$, $(4, 8)$, $(5, 0)$. L'ultima pianta è stata mangiata da una lumaca. Calcola $r$ con tutte e cinque le piante e confrontalo con $r$ per le prime quattro.

Guarda i primi quattro punti: $(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)$ stanno tutti sulla retta $y = 2x$ = Senza il valore anomalo: $r = 1$

Trova le medie dei cinque punti: $\bar{x} = \frac{15}{5} = 3$, $\bar{y} = \frac{2+4+6+8+0}{5} = \frac{20}{5} = 4$ = $\bar{x} = 3$, $\bar{y} = 4$

Trova gli scarti: $x_i - \bar{x}$: $-2, -1, 0, 1, 2$ $y_i - \bar{y}$: $-2, 0, 2, 4, -4$ = Scarti trovati

Moltiplica gli scarti e somma: $(-2)(-2) + (-1)(0) + (0)(2) + (1)(4) + (2)(-4) = 4 + 0 + 0 + 4 - 8$ = $S_{xy} = 0$

Applica la formula: $S_{xx} = 10$, $S_{yy} = 4 + 0 + 4 + 16 + 16 = 40$, quindi $r = \frac{0}{\sqrt{10 \cdot 40}} = \frac{0}{20}$ = Con il valore anomalo: $r = 0$

Decidi cosa riportare: La lumaca è un motivo noto che non ha niente a che fare con il fertilizzante = Riportare entrambi i valori e spiegare perché il valore anomalo è stato tolto

Answer: Con il valore anomalo $r = 0$, senza $r = 1$. Un solo punto ha cancellato una correlazione perfetta. Poiché il valore anomalo ha un motivo chiaro (la lumaca), è corretto toglierlo, purché tu lo dica.

Sole e visitatori della piscina (arrotondare r)

Una piscina all'aperto confronta le ore di sole con i visitatori (in centinaia) in quattro giorni: $(2, 4)$, $(4, 5)$, $(6, 9)$, $(8, 10)$. Calcola $r$ con 2 cifre decimali e interpretalo.

Trova le medie: $\bar{x} = \frac{2+4+6+8}{4} = 5$, $\bar{y} = \frac{4+5+9+10}{4} = \frac{28}{4} = 7$ = $\bar{x} = 5$, $\bar{y} = 7$

Trova gli scarti: $x_i - \bar{x}$: $-3, -1, 1, 3$ $y_i - \bar{y}$: $-3, -2, 2, 3$ = Scarti trovati

Calcola le tre somme: $S_{xy} = 9 + 2 + 2 + 9 = 22$ $S_{xx} = 9 + 1 + 1 + 9 = 20$ $S_{yy} = 9 + 4 + 4 + 9 = 26$ = $S_{xy} = 22$, $S_{xx} = 20$, $S_{yy} = 26$

Applica la formula e arrotonda alla fine: $r = \frac{22}{\sqrt{20 \cdot 26}} = \frac{22}{\sqrt{520}} \approx \frac{22}{22{,}80} \approx 0{,}9648$ = $r \approx 0{,}96$

Interpreta nel contesto: Segno positivo, $|r| \approx 0{,}96$ è nella fascia da $0{,}80$ a $1{,}00$ = Correlazione positiva molto forte

Answer: $r \approx 0{,}96$: una correlazione positiva molto forte. I giorni più soleggiati hanno avuto più visitatori. È credibile che il sole attiri i bagnanti, ma quattro giorni osservati non dimostrano comunque una causa.

Mistake: Moltiplicare i valori grezzi $x_i y_i$ invece degli scarti

Why: La formula $r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} S_{yy}}}$ usa le distanze dalle medie. I prodotti grezzi sono sempre grandi e positivi con dati positivi e danno un $r$ sbagliato.

Correct: Sottrai prima le medie. Controllo veloce: gli scarti di ogni variabile hanno somma $0$.

Mistake: Dimenticare la radice quadrata o arrotondare troppo presto

Why: $\frac{30}{10 \cdot 160} \approx 0{,}019$ non è $r$. Arrotondare $\sqrt{520}$ a $23$ dà $0{,}957$ invece di $0{,}965$.

Correct: Calcola la radice quadrata di $S_{xx} \cdot S_{yy}$ e arrotonda solo il risultato finale a 2 cifre decimali.

Mistake: Considerare un $r$ forte come prova che una variabile causa l'altra

Why: I dati osservazionali possono mostrare una forte correlazione perché una variabile confondente influenza entrambe, come la pioggia influenza le vendite di ombrelli e gli incidenti stradali.

Correct: Di' "è associato a". Solo un esperimento controllato e randomizzato può giustificare un'affermazione causale.

Mistake: Ignorare un valore anomalo o eliminarlo senza motivo

Why: Un solo punto può cambiare $r$ da $1$ a $0$. Ignorarlo nasconde il problema; eliminarlo solo perché dà fastidio è disonesto.

Correct: Disegna i dati, calcola $r$ con e senza il valore anomalo e toglilo solo con un motivo chiaro (errore di misura, lumaca), dicendo che l'hai fatto.

Scienze motorie

Gli allenatori confrontano le ore di allenamento settimanali con i tempi di corsa per capire se più allenamento va con corse più veloci.

Per un gruppo di corsa le somme sono $S_{xy} = -45$, $S_{xx} = 25$ e $S_{yy} = 100$. Un $r$ negativo significa: più allenamento, tempi più bassi (più veloci).

Leggere le notizie con spirito critico

Giornalisti e lettori devono decidere se una correlazione riportata sostiene un'affermazione di causa ed effetto.

Un rapporto trova $r = 0{,}83$ tra il numero di televisori ogni 100 abitanti di un paese e l'aspettativa di vita, e un blog sostiene che i televisori allungano la vita.

Controllo qualità dei sensori

Gli ingegneri controllano i dati di misura alla ricerca di letture errate, perché un solo valore sbagliato può nascondere una relazione perfetta.

Un sensore di temperatura viene provato in cinque impostazioni: $(2, 10)$, $(4, 14)$, $(6, 18)$, $(8, 22)$ e una lettura errata $(10, 6)$.

Q: Perché gli scarti hanno sempre somma zero?

A: La media è il punto di equilibrio dei dati: i valori sopra e sotto si compensano esattamente. Se i tuoi scarti non hanno somma $0$, c'è un errore nella media o in una sottrazione.

Q: Aggiungere lo stesso numero a ogni valore cambia $r$?

A: No. Aggiungere una costante sposta tutti i punti insieme, quindi gli scarti restano uguali. Anche moltiplicare per un numero positivo (per esempio passare da ore a minuti) non cambia $r$. Moltiplicare una variabile per un numero negativo cambia il segno di $r$.

Q: Quando si può togliere un valore anomalo?

A: Quando c'è un motivo chiaro che non dipende dal risultato: un errore di misura, un errore di battitura, una pianta mangiata da una lumaca. Di' sempre che l'hai tolto e, se puoi, riporta $r$ con e senza quel punto.

Q: Come si può dimostrare la causalità?

A: Con un esperimento controllato e randomizzato: assegni il trattamento (per esempio il fertilizzante) a caso ad alcuni soggetti e non ad altri, tieni uguale tutto il resto e confronti. L'assegnazione casuale distribuisce le variabili confondenti in modo equilibrato tra i due gruppi.