Problemi sulla correlazione

Risolvi veri problemi sulla correlazione: calcola r passo dopo passo da pochi dati, interpretalo nel contesto, valuta le affermazioni causali e scopri come un valore anomalo cambia r.

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Definizione

Un problema sulla correlazione ti dà dati accoppiati presi da una situazione reale e ti chiede di misurare, interpretare e valutare la relazione. Conosci già la formula del coefficiente di correlazione rr dalla lezione *Coefficiente di correlazione*. Qui la usi come un metodo completo.
Il metodo in cinque passi per un piccolo insieme di dati:
  1. 1.Trova le medie xˉ\bar{x} e yˉ\bar{y}.
  2. 2.Trova ogni scarto xi−xˉx_i - \bar{x} e yi−yˉy_i - \bar{y}.
  3. 3.Somma i prodotti: Sxy=∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)S_{xy} = \sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}).
  4. 4.Somma i quadrati: Sxx=∑(xi−xˉ)2S_{xx} = \sum(x_i - \bar{x})^2 e Syy=∑(yi−yˉ)2S_{yy} = \sum(y_i - \bar{y})^2.
  5. 5.Dividi:
    r=SxySxx⋅Syyr = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}}
Poi rispondi alla domanda nel contesto:
  • Direzione: il segno di rr (positivo: crescono insieme; negativo: una cresce mentre l'altra cala).
  • Intensità: la grandezza di ∣r∣|r| (scala qui sotto).
  • Causalità: un rr forte da solo non dimostra mai che una variabile causa l'altra. Cerca una variabile confondente e chiediti se i dati vengono da un esperimento controllato.
  • Valori anomali: un solo punto insolito può rendere rr molto più forte, molto più debole o perfino cambiarne il segno.
rIntensità
da 0,000{,}00 a 0,190{,}19molto debole
da 0,200{,}20 a 0,390{,}39debole
da 0,400{,}40 a 0,590{,}59moderata
da 0,600{,}60 a 0,790{,}79forte
da 0,800{,}80 a 1,001{,}00molto forte

Prova subito

Un sondaggio tra adolescenti trova r=−0,85r = -0{,}85 tra il tempo giornaliero davanti allo schermo e le ore di sonno. Quale descrizione è corretta?

Esempi svolti

Cinque studenti hanno annotato le ore di studio e i punteggi della verifica: (1,64)(1, 64), (2,63)(2, 63), (3,77)(3, 77), (4,71)(4, 71), (5,75)(5, 75). Calcola rr e interpretalo.
1

Trova le medie

xˉ=1+2+3+4+55=3\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3, yˉ=64+63+77+71+755=3505=70\bar{y} = \frac{64+63+77+71+75}{5} = \frac{350}{5} = 70 → xˉ=3\bar{x} = 3, yˉ=70\bar{y} = 70
2

Trova gli scarti

xi−xˉx_i - \bar{x}: −2,−1,0,1,2-2, -1, 0, 1, 2 yi−yˉy_i - \bar{y}: −6,−7,7,1,5-6, -7, 7, 1, 5 → Ogni somma degli scarti è 00 (un controllo veloce)
3

Moltiplica gli scarti e somma

(−2)(−6)+(−1)(−7)+(0)(7)+(1)(1)+(2)(5)=12+7+0+1+10(-2)(-6) + (-1)(-7) + (0)(7) + (1)(1) + (2)(5) = 12 + 7 + 0 + 1 + 10 → Sxy=30S_{xy} = 30
4

Eleva gli scarti al quadrato e somma

Sxx=4+1+0+1+4=10S_{xx} = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10 Syy=36+49+49+1+25=160S_{yy} = 36 + 49 + 49 + 1 + 25 = 160 → Sxx=10S_{xx} = 10, Syy=160S_{yy} = 160
5

Applica la formula

r=3010⋅160=301600=3040r = \frac{30}{\sqrt{10 \cdot 160}} = \frac{30}{\sqrt{1600}} = \frac{30}{40} → r=0,75r = 0{,}75
6

Interpreta nel contesto

Segno positivo, ∣r∣=0,75|r| = 0{,}75 è nella fascia da 0,600{,}60 a 0,790{,}79 → Correlazione positiva forte

Errori comuni

Moltiplicare i valori grezzi xiyix_i y_i invece degli scarti

Perché è sbagliato: La formula r=SxySxxSyyr = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} S_{yy}}} usa le distanze dalle medie. I prodotti grezzi sono sempre grandi e positivi con dati positivi e danno un rr sbagliato.

Corretto: Sottrai prima le medie. Controllo veloce: gli scarti di ogni variabile hanno somma 00.

Dimenticare la radice quadrata o arrotondare troppo presto

Perché è sbagliato: 3010⋅160≈0,019\frac{30}{10 \cdot 160} \approx 0{,}019 non è rr. Arrotondare 520\sqrt{520} a 2323 dà 0,9570{,}957 invece di 0,9650{,}965.

Corretto: Calcola la radice quadrata di Sxx⋅SyyS_{xx} \cdot S_{yy} e arrotonda solo il risultato finale a 2 cifre decimali.

Considerare un rr forte come prova che una variabile causa l'altra

Perché è sbagliato: I dati osservazionali possono mostrare una forte correlazione perché una variabile confondente influenza entrambe, come la pioggia influenza le vendite di ombrelli e gli incidenti stradali.

Corretto: Di' "è associato a". Solo un esperimento controllato e randomizzato può giustificare un'affermazione causale.

Ignorare un valore anomalo o eliminarlo senza motivo

Perché è sbagliato: Un solo punto può cambiare rr da 11 a 00. Ignorarlo nasconde il problema; eliminarlo solo perché dà fastidio è disonesto.

Corretto: Disegna i dati, calcola rr con e senza il valore anomalo e toglilo solo con un motivo chiaro (errore di misura, lumaca), dicendo che l'hai fatto.

Visuale interattivo

Grafico a dispersione

Ore di studio e punteggi (r = 0,75)

123456065707580Ore di studioPunteggio

ŷ = 3x + 61

r = 0,75 · correlazione positiva forte

Tocca un punto per vedere le sue coordinate.

Grafico a dispersione

Un valore anomalo: r scende da 1 a 0

1234502468Fertilizzante (g)Crescita (cm)Valore anomalo

ŷ = 4

r = 0 · nessuna correlazione lineare

Tocca un punto per vedere le sue coordinate.

Sandbox interattivo

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Prova questi:

Cronologia

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Esercizi pratici

18 esercizi
Problema 1 di 18
Facile
Un sondaggio tra adolescenti trova r=−0,85r = -0{,}85 tra il tempo giornaliero davanti allo schermo e le ore di sonno. Quale descrizione è corretta?

Perché è importante

I valori di correlazione compaiono ogni giorno nei giornali, nelle relazioni scolastiche e nei progetti di scienze, e molti vengono letti male:
  • Notizie sulla salute: "Chi beve caffè vive più a lungo" di solito è una correlazione tratta da un sondaggio, non una prova.
  • Sport: gli allenatori controllano se più ore di allenamento vanno davvero con tempi migliori prima di cambiare un programma.
  • Commercio ed energia: un negozio confronta la temperatura con le vendite, una famiglia confronta la temperatura esterna con il riscaldamento.
  • Progetti di scienze: una sola misura sbagliata (un valore anomalo) può rovinare un risultato se nessuno guarda il diagramma di dispersione.
Se sai calcolare rr da solo, descriverlo con parole semplici e riconoscere un'affermazione causale falsa o un valore anomalo ingannevole, puoi giudicare le statistiche invece di crederci e basta.

Applicazioni nel mondo reale

Scienze motorie

Gli allenatori confrontano le ore di allenamento settimanali con i tempi di corsa per capire se più allenamento va con corse più veloci.

Esempio:

Per un gruppo di corsa le somme sono Sxy=−45S_{xy} = -45, Sxx=25S_{xx} = 25 e Syy=100S_{yy} = 100. Un rr negativo significa: più allenamento, tempi più bassi (più veloci).

1Provaci tu stesso

Un gruppo di corsa registra per i suoi membri le ore di allenamento a settimana e i tempi sui 5 km (minuti). Le somme sono Sxy=−45S_{xy} = -45, Sxx=25S_{xx} = 25 e Syy=100S_{yy} = 100.

Quanto vale il coefficiente di correlazione rr?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola r=SxySxx⋅Syyr = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}}:

Leggere le notizie con spirito critico

Giornalisti e lettori devono decidere se una correlazione riportata sostiene un'affermazione di causa ed effetto.

Esempio:

Un rapporto trova r=0,83r = 0{,}83 tra il numero di televisori ogni 100 abitanti di un paese e l'aspettativa di vita, e un blog sostiene che i televisori allungano la vita.

2Provaci tu stesso

In molti paesi il numero di televisori ogni 100 abitanti e l'aspettativa di vita hanno r=0,83r = 0{,}83. Un blog conclude che comprare più televisori fa vivere più a lungo.

L'affermazione causale è giustificata?

Passo 1: Scegli la risposta giusta

Scegli il tuo verdetto:

Controllo qualità dei sensori

Gli ingegneri controllano i dati di misura alla ricerca di letture errate, perché un solo valore sbagliato può nascondere una relazione perfetta.

Esempio:

Un sensore di temperatura viene provato in cinque impostazioni: (2,10)(2, 10), (4,14)(4, 14), (6,18)(6, 18), (8,22)(8, 22) e una lettura errata (10,6)(10, 6).

3Provaci tu stesso

Un sensore dà le letture (2,10)(2, 10), (4,14)(4, 14), (6,18)(6, 18), (8,22)(8, 22), (10,6)(10, 6). L'ultima lettura è un errore noto. Le medie sono xˉ=6\bar{x} = 6 e yˉ=14\bar{y} = 14.

Quanto vale rr dopo aver tolto la lettura errata?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Confronta rr con e senza l'errore:

Punti chiave

  • 1Per calcolare rr a mano: medie, scarti, SxyS_{xy}, SxxS_{xx}, SyyS_{yy}, poi r=SxySxxSyyr = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} S_{yy}}}
  • 2Controlla il lavoro: gli scarti di ogni variabile hanno somma 00 e rr deve stare tra −1-1 e 11
  • 3Arrotonda solo il valore finale di rr, di solito a 2 cifre decimali
  • 4Interpreta rr nel contesto: il segno dà la direzione, ∣r∣|r| dà l'intensità
  • 5Una forte correlazione da dati osservazionali non giustifica un'affermazione causale; cerca le variabili confondenti
  • 6Un solo valore anomalo può rafforzare, indebolire o perfino invertire rr: disegna i dati e confronta rr con e senza di esso

Domande frequenti

La media è il punto di equilibrio dei dati: i valori sopra e sotto si compensano esattamente. Se i tuoi scarti non hanno somma 00, c'è un errore nella media o in una sottrazione.
La media è il punto di equilibrio dei dati: i valori sopra e sotto si compensano esattamente. Se i tuoi scarti non hanno somma 00, c'è un errore nella media o in una sottrazione.
No. Aggiungere una costante sposta tutti i punti insieme, quindi gli scarti restano uguali. Anche moltiplicare per un numero positivo (per esempio passare da ore a minuti) non cambia rr. Moltiplicare una variabile per un numero negativo cambia il segno di rr.
Quando c'è un motivo chiaro che non dipende dal risultato: un errore di misura, un errore di battitura, una pianta mangiata da una lumaca. Di' sempre che l'hai tolto e, se puoi, riporta rr con e senza quel punto.
Con un esperimento controllato e randomizzato: assegni il trattamento (per esempio il fertilizzante) a caso ad alcuni soggetti e non ad altri, tieni uguale tutto il resto e confronti. L'assegnazione casuale distribuisce le variabili confondenti in modo equilibrato tra i due gruppi.

Glossario

Scarto
La distanza di un valore dalla media, xi−xˉx_i - \bar{x}; può essere positivo o negativo
SxyS_{xy}
La somma dei prodotti degli scarti, ∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}); il suo segno è il segno di rr
SxxS_{xx} e SyyS_{yy}
Le somme degli scarti al quadrato di xx e di yy; non sono mai negative
Valore anomalo (outlier)
Un dato lontano dall'andamento degli altri; può cambiare molto rr
Variabile confondente
Una variabile non inclusa nello studio che influenza entrambe le variabili e può creare una correlazione ingannevole
Esperimento controllato
Uno studio in cui il ricercatore assegna il trattamento a caso; l'unico tipo di studio che può giustificare un'affermazione causale

Scheda formule

Coefficiente di correlazione

r=SxySxx⋅Syyr = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}}

$S_{xy} = \sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$, $S_{xx} = \sum(x_i - \bar{x})^2$, $S_{yy} = \sum(y_i - \bar{y})^2$

Controlli

∑(xi−xˉ)=0,−1≤r≤1\sum(x_i - \bar{x}) = 0, \quad -1 \le r \le 1

Se una somma degli scarti non è $0$ o se $|r| > 1$, c'è un errore di calcolo

Scala di intensità

∣r∣: 0,2 debole, 0,4 moderata, 0,6 forte, 0,8 molto forte|r|: \ 0{,}2 \ \text{debole}, \ 0{,}4 \ \text{moderata}, \ 0{,}6 \ \text{forte}, \ 0{,}8 \ \text{molto forte}

Ogni livello inizia dal suo valore; sotto $0{,}20$ la correlazione è molto debole

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