Quale retta si adatta meglio?

Mia conta le sue flessioni in un minuto dopo ogni settimana di allenamento. Settimane da 1 a 8: $6, 6, 9, 12, 12, 16, 16, 19$. Tre studenti tracciano una retta a occhio: - Retta A: $y = 2x + 3$ - Retta B: $y = 2x + 7$ - Retta C: $y = 0{,}5x + 9$ Qual è la migliore retta di migliore approssimazione?

Controlla la retta B: La retta B dà $9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23$ per le settimane da 1 a 8. Ogni punto dei dati è più in basso. = Tutti gli 8 punti sono sotto la retta B: è troppo alta

Controlla la retta C: La retta C dà $9{,}5; 10; 10{,}5; 11; 11{,}5; 12; 12{,}5; 13$. Le settimane da 1 a 3 sono sotto, le settimane da 4 a 8 sopra. = Punti sotto a sinistra e sopra a destra: la retta C è troppo piatta

Controlla la retta A: La retta A dà $5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19$. Sopra: settimane 1, 4, 6. Sotto: settimane 2, 5, 7. Sulla retta: settimane 3, 8. = 3 sopra, 3 sotto, distribuiti lungo tutta la retta

Decidi: Solo la retta A ha i punti in equilibrio sui due lati lungo tutta la sua lunghezza e segue l'andamento crescente. = La retta A si adatta meglio

Answer: La retta A, $y = 2x + 3$, è la migliore retta di migliore approssimazione. La retta B è troppo alta e la retta C è troppo piatta.

Equazione da due punti sulla retta

La retta di migliore approssimazione di Mia passa per i punti della griglia $(0, 3)$ e $(5, 13)$. Trova la sua equazione.

Trova la variazione di y e di x: $13 - 3 = 10$ e $5 - 0 = 5$ = Salita $10$, avanzamento $5$

Calcola la pendenza: $m = \frac{10}{5} = 2$ = $m = 2$

Trova l'intercetta: Il punto $(0, 3)$ sta sull'asse y, quindi $b = 3$ = $b = 3$

Scrivi e controlla l'equazione: $y = 2x + 3$. Verifica con $(5, 13)$: $2 \times 5 + 3 = 13$ = $y = 2x + 3$

Answer: La retta di migliore approssimazione è $y = 2x + 3$.

Un andamento decrescente

Un bar rappresenta la temperatura esterna $x$ (°C) e il numero di bevande calde vendute $y$. La retta di migliore approssimazione tracciata a occhio passa per $(10, 80)$ e $(25, 35)$. Trova la sua equazione e spiega la pendenza.

Calcola la pendenza: $m = \frac{35 - 80}{25 - 10} = \frac{-45}{15} = -3$ = $m = -3$

Usa un punto per trovare b: $b = y_1 - m x_1 = 80 - (-3)(10) = 80 + 30 = 110$ = $b = 110$

Scrivi l'equazione: $y = -3x + 110$ = $y = -3x + 110$

Controlla con l'altro punto: $-3 \times 25 + 110 = -75 + 110 = 35$ = La retta passa per $(25, 35)$

Interpreta la pendenza: La pendenza è negativa: per ogni grado in più, la retta scende di 3 bevande = Circa 3 bevande calde in meno per ogni °C in più

Answer: $y = -3x + 110$: per ogni grado in più, il bar vende circa 3 bevande calde in meno.

Che cosa significano pendenza e intercetta?

Per le bici usate, la retta di migliore approssimazione tra l'età $x$ (anni) e il prezzo $y$ (€) è $y = -40x + 300$. I dati riguardano bici da 1 a 6 anni. Spiega la pendenza e l'intercetta.

Leggi la pendenza: $m = -40$, misurata in € all'anno = Pendenza $-40$

Interpreta la pendenza: Per ogni anno di età in più, il prezzo previsto scende di 40 € = Una bici perde circa 40 € all'anno

Leggi l'intercetta: $b = 300$, il valore di $y$ quando $x = 0$ = Intercetta $300$

Interpreta l'intercetta: Età $0$ significa una bici nuova. È appena fuori dai dati (da 1 a 6 anni), quindi è solo una stima approssimativa = Una bici nuova costa circa 300 €

Answer: La pendenza dice che una bici usata perde circa 40 € all'anno. L'intercetta dice che una bici nuova costa circa 300 €.

Usare il baricentro

Un chiosco annota per cinque giorni le ore di sole $x$ e i gelati venduti $y$: $(1, 4)$, $(3, 7)$, $(4, 10)$, $(6, 12)$, $(6, 17)$. Uno studente ha tracciato la retta $y = 2x + 1$. Controllala con il baricentro e correggila mantenendo la pendenza $2$.

Trova la media di x: $\bar{x} = \frac{1 + 3 + 4 + 6 + 6}{5} = \frac{20}{5} = 4$ = $\bar{x} = 4$

Trova la media di y: $\bar{y} = \frac{4 + 7 + 10 + 12 + 17}{5} = \frac{50}{5} = 10$ = $\bar{y} = 10$

Prova la retta dello studente in x = 4: $2 \times 4 + 1 = 9$, ma $\bar{y} = 10$ = La retta manca $(4, 10)$ di 1

Sposta la retta perché passi per il baricentro: $b = \bar{y} - m\bar{x} = 10 - 2 \times 4 = 2$ = $y = 2x + 2$

Answer: Il baricentro è $(4, 10)$. La retta corretta è $y = 2x + 2$, che passa per esso.

Mistake: Tracciare la retta dal primo all'ultimo punto dei dati

Why: Il primo e l'ultimo punto possono essere insoliti. Una retta che passa per loro lascia spesso la maggior parte dei punti da una sola parte.

Correct: Non guardare i singoli punti ma tutta la nuvola: circa metà dei punti sopra e metà sotto. La retta può non passare per nessun punto.

Mistake: Bilanciare il numero di punti senza seguire l'andamento

Why: Una retta troppo piatta può avere 4 punti sopra e 4 sotto, ma tutti quelli bassi stanno a sinistra e tutti quelli alti a destra.

Correct: Controlla entrambe le estremità: vicino a ciascuna estremità della retta ci devono essere punti sopra e sotto.

Mistake: Calcolare la pendenza da due punti dei dati invece che da due punti sulla retta

Why: I punti dei dati di solito non stanno sulla retta, quindi la loro pendenza non è la pendenza della tua retta.

Correct: Leggi due punti che stanno sulla retta che hai tracciato, lontani tra loro e sugli incroci della griglia, poi usa $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Mistake: Leggere la pendenza come un valore di y invece che come una variazione

Why: In $y = 2x + 3$ per settimane e flessioni, $2$ non vuol dire "2 flessioni". È la variazione per settimana.

Correct: Esprimi la pendenza con entrambe le unità: circa 2 flessioni in più per ogni settimana di allenamento.

Allenarsi per una gara

Gli allenatori tracciano una linea di tendenza tra i tempi di un'atleta per vedere di quanto diventa più veloce ogni settimana.

I tempi di una podista sui 5 km scendono da circa 30 minuti a circa 22 minuti in poche settimane. La linea di tendenza mostra il miglioramento costante, anche nei giorni storti.

Banco della limonata

I piccoli venditori rappresentano la temperatura e le vendite per decidere quanto preparare.

Nei giorni caldi un banco vende molti più bicchieri. Una linea di tendenza tra i dati di un'estate mostra quanti bicchieri in più porta, più o meno, ogni grado.

Esperimento sulla crescita di una pianta

Nell'ora di scienze, gli studenti misurano una pianta ogni pochi giorni e descrivono la sua velocità di crescita con una linea di tendenza.

Le misure non sono mai perfette, quindi le altezze sono un po' sparse. La retta di migliore approssimazione dà un'unica velocità di crescita in centimetri al giorno.

Q: Esiste una sola retta di migliore approssimazione corretta?

A: A occhio, no. Due studenti possono tracciare rette un po' diverse ed entrambe buone. Le loro pendenze e intercette saranno vicine. Solo la retta dei minimi quadrati, della lezione Regressione lineare, è un'unica retta esatta.

Q: La retta deve passare per l'origine?

A: No. La retta va dove la portano i dati. Costringila a passare per $(0, 0)$ solo se la situazione parte davvero da zero e i dati lo confermano.

Q: Devo contare i punti che stanno esattamente sulla retta?

A: I punti sulla retta non contano per nessun lato. Bilancia i punti sopra con i punti sotto.

Q: Quando non dovrei tracciare una retta di migliore approssimazione?

A: Quando il diagramma di dispersione non mostra alcun andamento, oppure quando i punti seguono una curva evidente. Una retta ha senso solo per un andamento lineare.