La retta deve passare per l'origine?

No. La retta va dove la portano i dati. Costringila a passare per $(0, 0)$ solo se la situazione parte davvero da zero e i dati lo confermano.

Devo contare i punti che stanno esattamente sulla retta?

I punti sulla retta non contano per nessun lato. Bilancia i punti sopra con i punti sotto.

Quando non dovrei tracciare una retta di migliore approssimazione?

Quando il diagramma di dispersione non mostra alcun andamento, oppure quando i punti seguono una curva evidente. Una retta ha senso solo per un andamento lineare.

Risorse per insegnanti

Retta di migliore approssimazione

Impara a tracciare a occhio una retta di migliore approssimazione su un diagramma di dispersione, a trovarne l'equazione da due punti e a interpretarne pendenza e intercetta.

Intermedio25 minLezione

Scheda da stampare

Definizione

Una retta di migliore approssimazione (detta anche linea di tendenza) è una retta tracciata su un diagramma di dispersione che mostra l'andamento generale dei dati. Non deve per forza passare per uno dei punti.

Una buona retta di migliore approssimazione tracciata a occhio:

ha circa metà dei punti sopra di sé e metà sotto
segue la direzione dei punti (sale, scende, quanto è inclinata)
ha i punti distribuiti lungo tutta la sua lunghezza, non tutti sopra a un'estremità e tutti sotto all'altra

Dopo aver tracciato la retta, scegli due punti sulla retta (non punti dei dati), lontani tra loro e sugli incroci della griglia, e trova la sua equazione

y = mx + b

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, \qquad b = y_1 - m x_1

Il baricentro (o punto delle medie)

(\bar{x}, \bar{y})

è un aiuto prezioso: la retta di regressione trovata con il metodo dei minimi quadrati passa sempre per esso, quindi anche una buona retta tracciata a occhio dovrebbe passarci o passare molto vicino.

Prova subito

Quale descrizione corrisponde a una buona retta di migliore approssimazione tracciata a occhio?

Esempi svolti

Mia conta le sue flessioni in un minuto dopo ogni settimana di allenamento. Settimane da 1 a 8:

6, 6, 9, 12, 12, 16, 16, 19

. Tre studenti tracciano una retta a occhio: - Retta A:

y = 2x + 3

- Retta B:

y = 2x + 7

- Retta C:

y = 0{,}5x + 9

Qual è la migliore retta di migliore approssimazione?

Controlla la retta B

La retta B dà

9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23

per le settimane da 1 a 8. Ogni punto dei dati è più in basso. → Tutti gli 8 punti sono sotto la retta B: è troppo alta

Controlla la retta C

La retta C dà

9{,}5; 10; 10{,}5; 11; 11{,}5; 12; 12{,}5; 13

. Le settimane da 1 a 3 sono sotto, le settimane da 4 a 8 sopra. → Punti sotto a sinistra e sopra a destra: la retta C è troppo piatta

Controlla la retta A

La retta A dà

5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19

. Sopra: settimane 1, 4, 6. Sotto: settimane 2, 5, 7. Sulla retta: settimane 3, 8. → 3 sopra, 3 sotto, distribuiti lungo tutta la retta

Decidi

Solo la retta A ha i punti in equilibrio sui due lati lungo tutta la sua lunghezza e segue l'andamento crescente. → La retta A si adatta meglio

Risposta: La retta A, $y = 2x + 3$ , è la migliore retta di migliore approssimazione. La retta B è troppo alta e la retta C è troppo piatta.

Errori comuni

Tracciare la retta dal primo all'ultimo punto dei dati

Perché è sbagliato: Il primo e l'ultimo punto possono essere insoliti. Una retta che passa per loro lascia spesso la maggior parte dei punti da una sola parte.

Corretto: Non guardare i singoli punti ma tutta la nuvola: circa metà dei punti sopra e metà sotto. La retta può non passare per nessun punto.

Bilanciare il numero di punti senza seguire l'andamento

Perché è sbagliato: Una retta troppo piatta può avere 4 punti sopra e 4 sotto, ma tutti quelli bassi stanno a sinistra e tutti quelli alti a destra.

Corretto: Controlla entrambe le estremità: vicino a ciascuna estremità della retta ci devono essere punti sopra e sotto.

Calcolare la pendenza da due punti dei dati invece che da due punti sulla retta

Perché è sbagliato: I punti dei dati di solito non stanno sulla retta, quindi la loro pendenza non è la pendenza della tua retta.

Corretto: Leggi due punti che stanno sulla retta che hai tracciato, lontani tra loro e sugli incroci della griglia, poi usa $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ .

Leggere la pendenza come un valore di y invece che come una variazione

Perché è sbagliato: In $y = 2x + 3$ per settimane e flessioni, $2$ non vuol dire "2 flessioni". È la variazione per settimana.

Corretto: Esprimi la pendenza con entrambe le unità: circa 2 flessioni in più per ogni settimana di allenamento.

Visuale interattivo

Grafico a dispersione

Settimane di allenamento e flessioni

ŷ = 1,93x + 3,32

r = 0,982 · correlazione positiva forte

Tocca un punto per vedere le sue coordinate.

Grafico della funzione

Tocca la griglia per mettere un punto. Toccalo di nuovo per toglierlo.Metti almeno 2 punti per vedere la retta che passa per essi.

Sandbox interattivo

Graficatore interattivo

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

Prova questi esempi:

y = 2x + 3

m=2, b=3

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Quale descrizione corrisponde a una buona retta di migliore approssimazione tracciata a occhio?

Esercizi pratici: Retta di migliore approssimazione

1. Quale descrizione corrisponde a una buona retta di migliore approssimazione tracciata a occhio?
2. Una retta di migliore approssimazione passa per i punti (0, 4) e (5, 14). Qual è la sua pendenza?
3. Una retta di migliore approssimazione passa per (0, 2) e (4, 10). Trova la sua equazione y = mx + b.
4. La retta di migliore approssimazione di Mia è y = 2x + 3, dove x è il numero di settimane di allenamento e y il numero di flessioni in un minuto. Che cosa significa la pendenza 2?
5. Una retta di migliore approssimazione tracciata a occhio passa per (0, 12) e (4, 4). Qual è la sua intercetta b?
6. La retta y = x + 1 è una buona retta di migliore approssimazione per i punti (1, 3), (2, 2), (3, 5), (4, 4), (5, 7), (6, 6)? Conta i punti sopra e sotto.
7. Uno studente traccia una retta su un diagramma di dispersione di 8 punti. 7 punti stanno sopra la retta e 1 sotto, distribuiti in modo regolare da sinistra a destra. Come deve correggere la retta?
8. Una linea di tendenza passa per (2, 9) e (6, 21). Qual è la sua pendenza?
9. Una retta di migliore approssimazione passa per (10, 80) e (30, 40). Trova la sua equazione y = mx + b.
10. Il baricentro di un insieme di dati è (4, 10). Quale di queste rette passa per esso?
11. Un diagramma di dispersione ha i punti (2, 5), (4, 9), (6, 10), (8, 16). Quanto vale \bar{y}, la coordinata y del baricentro?
12. Dati: (1, 3), (2, 6), (3, 6), (4, 9), (5, 11). Una retta di migliore approssimazione con pendenza 2 deve passare per il baricentro. Trova la sua intercetta b.
13. La retta di migliore approssimazione del livello di batteria y (%) di un telefono dopo x ore di utilizzo è y = -12x + 100. Interpretala.
14. Per studenti alti tra 150 cm e 190 cm, la retta di migliore approssimazione tra altezza x (cm) e apertura delle braccia y (cm) è y = 1,1x - 18. Che cosa ti dice l'intercetta -18?
15. Una retta di migliore approssimazione ha pendenza -4 e passa per il baricentro (5, 30). Qual è la sua intercetta b?
16. Su un diagramma di dispersione si traccia una retta di migliore approssimazione per i punti (1, 7) e (9, 3) della retta. Trova pendenza e intercetta, poi il valore della retta in x = 5.
17. Il baricentro di un insieme di dati è (6, 20). La retta di migliore approssimazione di uno studente passa per (0, 5) e (10, 30). Passa per il baricentro?
18. La retta di migliore approssimazione di un bar per il prezzo x (in €) e le fette di torta vendute al giorno y passa per il baricentro (4, 18) e per (8, 10). Trova la sua equazione e il numero di fette che prevede con un prezzo di 6 €.

Perché è importante

I dati reali non stanno mai esattamente su una retta, ma spesso seguono un andamento chiaro:

Sport: un'allenatrice vede di quanto migliora un'atleta per ogni settimana di allenamento
Negozi: un bar vede quante bevande calde in meno vende per ogni giorno più caldo
Scienze: uno studente ricava da misure sparse quanto cresce una pianta al giorno
Denaro: un acquirente vede quanto valore perde ogni anno una bici usata

Una retta di migliore approssimazione trasforma una nuvola di punti in una regola semplice

y = mx + b

. La pendenza dice di quanto cambia

y

per ogni unità di

x

, l'intercetta dice da dove parte l'andamento. È il primo passo prima di fare previsioni, studiare i residui e misurare quanto bene si adatta una retta.

Applicazioni nel mondo reale

Allenarsi per una gara

Gli allenatori tracciano una linea di tendenza tra i tempi di un'atleta per vedere di quanto diventa più veloce ogni settimana.

Esempio:

I tempi di una podista sui 5 km scendono da circa 30 minuti a circa 22 minuti in poche settimane. La linea di tendenza mostra il miglioramento costante, anche nei giorni storti.

1Provaci tu stesso

La retta di migliore approssimazione del tempo $y$ (minuti) di una podista sui 5 km dopo $x$ settimane passa per $(2, 30)$ e $(6, 22)$ .

Qual è la pendenza della retta, in minuti a settimana?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Pendenza = variazione di y divisa per variazione di x:

Banco della limonata

I piccoli venditori rappresentano la temperatura e le vendite per decidere quanto preparare.

Esempio:

Nei giorni caldi un banco vende molti più bicchieri. Una linea di tendenza tra i dati di un'estate mostra quanti bicchieri in più porta, più o meno, ogni grado.

2Provaci tu stesso

La retta di migliore approssimazione di un banco della limonata per la temperatura $x$ (°C) e i bicchieri venduti $y$ passa per $(20, 30)$ e $(30, 50)$ .

Qual è l'intercetta $b$ di questa retta?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Trova la pendenza, poi usa $b = y_1 - m x_1$ :

Esperimento sulla crescita di una pianta

Nell'ora di scienze, gli studenti misurano una pianta ogni pochi giorni e descrivono la sua velocità di crescita con una linea di tendenza.

Esempio:

Le misure non sono mai perfette, quindi le altezze sono un po' sparse. La retta di migliore approssimazione dà un'unica velocità di crescita in centimetri al giorno.

3Provaci tu stesso

Una pianta viene misurata nei giorni $2, 4, 6, 8$ , con altezze $3, 6, 8, 11$ cm. La retta di migliore approssimazione ha pendenza $1{,}3$ e passa per il baricentro.

Qual è l'intercetta $b$ della retta?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Usa il baricentro in $b = \bar{y} - m\bar{x}$ :

Punti chiave

1Una retta di migliore approssimazione è una retta che mostra l'andamento generale dei punti di un diagramma di dispersione
2Tracciala a occhio in modo che circa metà dei punti stia sopra e metà sotto, lungo tutta la sua lunghezza
3La retta segue la direzione dei dati e può non passare per nessun punto dei dati
4Trova la sua equazione da due punti sulla retta: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ , poi $b = y_1 - m x_1$
5La pendenza è la variazione di $y$ per ogni unità di $x$ ; l'intercetta è il valore previsto di $y$ per $x = 0$ , che può non avere un significato reale
6La retta dei minimi quadrati passa sempre per il baricentro $(\bar{x}, \bar{y})$ , quindi una buona retta tracciata a occhio passa vicino a esso

Domande frequenti

A occhio, no. Due studenti possono tracciare rette un po' diverse ed entrambe buone. Le loro pendenze e intercette saranno vicine. Solo la retta dei minimi quadrati, della lezione Regressione lineare, è un'unica retta esatta.

Glossario

Retta di migliore approssimazione: Una retta tracciata su un diagramma di dispersione che mostra l'andamento generale dei dati (detta anche linea di tendenza)
Pendenza: La variazione di $y$ quando $x$ aumenta di 1; lungo la retta, $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
Intercetta: Il valore di $y$ in cui la retta taglia l'asse y, cioè per $x = 0$
Baricentro: Il punto $(\bar{x}, \bar{y})$ formato dalla media di tutti i valori di x e dalla media di tutti i valori di y (detto anche punto delle medie)
Retta di regressione: La retta di migliore approssimazione esatta trovata con il metodo dei minimi quadrati; passa sempre per il baricentro

Scheda formule

Pendenza da due punti

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Usa due punti della retta tracciata, non punti dei dati

Intercetta

b = y_1 - m x_1

Sostituisci un punto della retta e la pendenza in $y = mx + b$

Retta di migliore approssimazione

y = mx + b

L'equazione della linea di tendenza

Baricentro

\bar{y} = m\bar{x} + b

La retta dei minimi quadrati passa per $(\bar{x}, \bar{y})$

Sfida di oggiUn problema, tre tentativi

Altro su questo argomento

Definizione

Esempi svolti

Errori comuni

Visuale interattivo

Grafico a dispersione

Settimane di allenamento e flessioni

Grafico della funzione

Sandbox interattivo

Graficatore interattivo

Calcolatrice di espressioni

Cronologia

Esercizi pratici

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Allenarsi per una gara

Banco della limonata

Esperimento sulla crescita di una pianta

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Pendenza da due punti

Intercetta

Retta di migliore approssimazione

Baricentro

Altro su questo argomento

Introduzione alla regressione

Regressione lineare

Diagrammi di dispersione

Fare previsioni dai dati