Regressione lineare

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Cosa rappresenta la pendenza in una retta di regressione $y = mx + b$ ?
1. a)Quanto cambia y per ogni aumento di un'unità di x
2. b)Il numero di punti dati
3. c)La media di tutti i valori di y
4. d)Il valore di y quando x = 0
Risposta: Quanto cambia y per ogni aumento di un'unità di x
La pendenza $m$ rappresenta quanto cambia $y$ per ogni aumento di un'unità di $x$ . È il tasso di variazione della relazione.
2.
Nella retta di regressione $y = 3x + 10$ , qual è l'intercetta?
1. a)3
2. b)10
3. c)13
4. d)30
Risposta: 10
In $y = 3x + 10$ , l'intercetta è 10. Questo è il valore di $y$ quando $x = 0$ : $y = 3(0) + 10 = 10$ .
3.
Usando $y = 2x + 5$ , qual è il valore previsto di $y$ quando $x = 4$ ?
Risposta: 13
$y = 2(4) + 5 = 8 + 5 = 13$
4.
Se una retta di regressione ha pendenza $m = 4$ e passa per il punto $(0, 7)$ , qual è l'intercetta?
Risposta: 7
Il punto $(0, 7)$ significa che quando $x = 0$ , $y = 7$ . Questa è esattamente la definizione dell'intercetta, quindi $b = 7$ .
5.
Uno studio trova che $y = 5x + 20$ prevede i punteggi dei test ( $y$ ) in base alle ore di studio ( $x$ ). Cosa significa il 5?
1. a)Il punteggio base senza studiare
2. b)Il punteggio massimo possibile
3. c)Il numero di studenti nello studio
4. d)Ogni ora di studio aggiuntiva aggiunge 5 punti
Risposta: Ogni ora di studio aggiuntiva aggiunge 5 punti
La pendenza 5 significa che per ogni ora di studio aggiuntiva, il punteggio previsto aumenta di 5 punti. Il 20 è il punteggio base (intercetta).
6.
Usando $y = 2{,}5x - 10$ , prevedi $y$ quando $x = 20$ .
Risposta: 40
$y = 2{,}5(20) - 10 = 50 - 10 = 40$
7.
Cos'è un residuo nella regressione lineare?
1. a)La pendenza della retta di regressione
2. b)L'intercetta della retta
3. c)La differenza tra valori reali e previsti
4. d)La media di tutti i valori di x
Risposta: La differenza tra valori reali e previsti
Un residuo è $y_{\text{reale}} - y_{\text{previsto}}$ . Mostra quanto il punto dati reale differisce da ciò che la retta di regressione prevede.
8.
Trova l'intercetta di una retta di regressione con pendenza $m = 3$ che passa per $(2, 11)$ .
Risposta: 5
1. Scrivi la forma dell'equazione y = mx + b
2. Sostituisci m = 3, x = 2, y = 11 11 = 3(2) + b
3. Semplifica 3(2) 6
4. Ricava b: 11 = 6 + b 5
9.
Il valore reale è $y = 25$ e il valore previsto è $\hat{y} = 22$ . Qual è il residuo?
Risposta: 3
Residuo = $y - \hat{y} = 25 - 22 = 3$ . Un residuo positivo significa che il valore reale è sopra la retta di regressione.
10.
Dato $\bar{x} = 10$ , $\bar{y} = 50$ e pendenza $m = 4$ , trova l'intercetta.
Risposta: 10
1. Scegli la formula per b $b = \bar{y} - m\bar{x}$
2. Calcola m per $\bar{x}$ : 4 × 10 40
3. Sottrai da $\bar{y}$ : 50 - 40 10
11.
Perché dovresti essere cauto nell'usare la regressione per prevedere valori molto al di fuori del tuo intervallo di dati?
1. a)L'intercetta è indefinita al di fuori dell'intervallo
2. b)La relazione potrebbe non valere oltre i dati osservati
3. c)Le previsioni fuori dall'intervallo dei dati sono sempre troppo grandi
4. d)I calcoli diventano troppo difficili
Risposta: La relazione potrebbe non valere oltre i dati osservati
Estrapolare oltre i tuoi dati presuppone che la relazione lineare continui indefinitamente, ma in realtà le relazioni spesso cambiano. Una tendenza lineare in un intervallo può diventare curva o invertirsi al di fuori di quell'intervallo.
12.
Dati i punti: $(1, 3), (2, 5), (3, 7)$ . Trova la pendenza della retta di regressione.
Risposta: 2
1. Calcola $\bar{x}$ (media delle x: 1, 2, 3) 2
2. Calcola $\bar{y}$ (media delle y: 3, 5, 7) 5
3. Calcola il numeratore: somma di (x-x̄)(y-ȳ) 4
4. Calcola il denominatore: somma di (x-x̄)² 2
5. Dividi per ottenere pendenza m = 4/2 2
13.
Una retta di regressione è $y = -0{,}5x + 100$ . Se $x = 60$ , qual è il $y$ previsto?
Risposta: 70
$y = -0{,}5(60) + 100 = -30 + 100 = 70$
14.
Se la somma dei quadrati dei residui per una retta è minimizzata, cosa significa?
1. a)La retta passa per tutti i punti
2. b)La pendenza è zero
3. c)Tutti i residui sono zero
4. d)Questa è la retta di migliore approssimazione
Risposta: Questa è la retta di migliore approssimazione
La retta che minimizza la somma dei quadrati dei residui è la retta di migliore approssimazione. Questa è la definizione della retta di regressione con i minimi quadrati.
15.
Per i dati $(1, 3), (2, 5), (3, 7)$ con pendenza $m = 2$ , trova l'equazione di regressione completa.
Risposta: y = 2x + 1
1. Trova $\bar{x}$ 2
2. Trova $\bar{y}$ 5
3. Usa $b = \bar{y} - m\bar{x}$ . Calcola $m\bar{x}$ 4
4. Calcola b = 5 - 4 1
5. Scrivi l'equazione y = mx + b y = 2x + 1
16.
Quale di queste descrive meglio lo scopo della retta di migliore approssimazione?
1. a)Mostrare la tendenza generale nei dati
2. b)Collegare il primo e l'ultimo punto
3. c)Passare per ogni punto dati
4. d)Massimizzare la distanza dai punti
Risposta: Mostrare la tendenza generale nei dati
La retta di migliore approssimazione mostra la tendenza generale o il modello nei dati, non i singoli punti. Ci aiuta a capire la relazione complessiva tra le variabili.