Prevedere un punteggio dentro i dati

Una classe ha registrato le ore di studio ($x$, da 1 a 8 ore) e i punteggi di una verifica ($y$, su 100). La retta di regressione è $\hat{y} = 5x + 52$. Prevedi il punteggio di una studentessa che studia $6{,}5$ ore.

Controlla dove si trova il valore di x: I dati vanno da $1$ a $8$ ore, e $1 \le 6{,}5 \le 8$ = Dentro i dati: interpolazione

Sostituisci x = 6,5 nell'equazione: $\hat{y} = 5(6{,}5) + 52$ = $\hat{y} = 5 \times 6{,}5 + 52$

Moltiplica: $5 \times 6{,}5 = 32{,}5$ = $32{,}5$

Aggiungi l'intercetta: $32{,}5 + 52 = 84{,}5$ = $\hat{y} = 84{,}5$

Answer: Il punteggio previsto è $84{,}5$, quindi circa $85$ punti. Poiché $6{,}5$ ore è dentro i dati, si tratta di un'interpolazione e la previsione è ragionevole.

Risalire a un obiettivo

Con $\hat{y} = 5x + 52$, Lena vuole prendere $80$. Circa quante ore dovrebbe studiare?

Metti l'obiettivo al posto di ŷ: $80 = 5x + 52$ = Un'equazione in $x$

Sottrai l'intercetta da entrambi i membri: $80 - 52 = 5x$ = $28 = 5x$

Dividi per la pendenza: $x = \frac{28}{5} = 5{,}6$ = $x = 5{,}6$ ore

Arrotonda nella direzione richiesta dall'obiettivo: Con $5$ ore: $5(5) + 52 = 77 < 80$. Con $6$ ore: $5(6) + 52 = 82 \ge 80$ = Programmare circa $6$ ore

Answer: La retta dà $x = 5{,}6$ ore (circa 5 ore e 36 minuti). Per essere sicuri di raggiungere un obiettivo si arrotonda per eccesso: Lena dovrebbe programmare circa $6$ ore.

Interpolazione o estrapolazione?

Con la stessa retta $\hat{y} = 5x + 52$ (dati da 1 a 8 ore), prevedi il punteggio per $3{,}5$ ore e per $12$ ore. Di quale previsione puoi fidarti?

Scrivi l'intervallo dei dati: $x$ minimo $= 1$, $x$ massimo $= 8$ = Intervallo: da $1$ a $8$ ore

Prevedi per 3,5 ore (dentro l'intervallo): $\hat{y} = 5(3{,}5) + 52 = 17{,}5 + 52 = 69{,}5$ = Interpolazione: circa $70$ punti

Prevedi per 12 ore (fuori dall'intervallo): $\hat{y} = 5(12) + 52 = 60 + 52 = 112$ = Estrapolazione: $112$ punti

Confronta con la realtà: La verifica è su $100$, quindi $112$ è impossibile. L'andamento rettilineo non può continuare all'infinito. = Solo la prima previsione è affidabile

Answer: Per $3{,}5$ ore la previsione è di circa $70$ punti (interpolazione, ragionevole). Per $12$ ore la retta dà $112$, che è impossibile: estrapolare lontano dai dati è rischioso.

Arrotondare una previsione con criterio

A una festa scolastica i visitatori seguono $\hat{y} = 14{,}6x + 23$, dove $x$ è il numero di manifesti appesi (dati da 2 a 10 manifesti). Quest'anno sono stati appesi $4$ manifesti. Quanti visitatori bisogna aspettarsi e quante sedie conviene preparare?

Controlla l'intervallo dei dati: $2 \le 4 \le 10$ = Interpolazione

Moltiplica la pendenza per x: $14{,}6 \times 4 = 58{,}4$ = $58{,}4$

Aggiungi l'intercetta: $58{,}4 + 23 = 81{,}4$ = $\hat{y} = 81{,}4$

Arrotonda in base alla situazione: Le persone si contano con numeri interi: circa $81$ visitatori. Per le sedie arrotonda per eccesso, così nessuno resta in piedi. = Circa $81$ visitatori, almeno $82$ sedie

Answer: Aspettati circa $81$ visitatori. Poiché la previsione è solo una stima e ognuno ha bisogno di un posto, prepara almeno $82$ sedie (qualcuna in più è ancora più sicuro).

Forte o debole: quanto puoi fidarti?

La stessa classe ha due modelli. Ore di studio: $\hat{y} = 5x + 52$ con $r \approx 0{,}99$. Ore di sonno: $\hat{y} = 2x + 59$ con $r \approx 0{,}21$. Prevedi il punteggio per $7$ ore in ciascun modello e confrontalo con i punteggi reali.

Prevedi con il modello dello studio: $\hat{y} = 5(7) + 52 = 35 + 52 = 87$ = Chi ha studiato 7 ore ha preso davvero $87$

Prevedi con il modello del sonno: $\hat{y} = 2(7) + 59 = 14 + 59 = 73$ = Chi ha dormito 7 ore ha preso davvero $62$ e $88$

Misura di quanto sbaglia la previsione del sonno: $73 - 62 = 11$ e $88 - 73 = 15$ = Sbaglia fino a $15$ punti

Collega la precisione a r: $r \approx 0{,}99$: i punti stanno stretti attorno alla retta. $r \approx 0{,}21$: i punti sono sparsi lontano dalla retta. = Correlazione forte, previsione affidabile

Answer: Le due previsioni usano lo stesso metodo, ma solo il modello dello studio è affidabile. Con $r \approx 0{,}21$, la retta del sonno dà una stima approssimativa che può sbagliare di $15$ punti o più.

Mistake: Mettere il valore obiettivo di y al posto di x: per un punteggio obiettivo di $80$, calcolare $5(80) + 52 = 452$

Why: $80$ è un punteggio, quindi un valore di $y$. Sostituirlo a $x$ risponde a un'altra domanda (il punteggio dopo 80 ore di studio).

Correct: Poni l'equazione uguale all'obiettivo e ricava $x$: $80 = 5x + 52$, quindi $x = 5{,}6$.

Mistake: Fidarsi dell'estrapolazione: prevedere $112$ punti per $12$ ore di studio

Why: L'andamento è stato osservato solo tra 1 e 8 ore. Fuori da quell'intervallo può cambiare, e qui il punteggio non può nemmeno superare 100.

Correct: Controlla sempre prima l'intervallo dei dati. Segnala le previsioni fuori da esso come estrapolazioni e trattale con cautela.

Mistake: Arrotondare senza pensare alla situazione: dare $84{,}5$ punti come valore esatto, o arrotondare $5{,}6$ ore a $5$

Why: Una previsione è una stima, e i decimali in più fanno pensare a una precisione che non ha. Arrotondare per difetto un obiettivo può non bastare (5 ore prevedono solo 77 punti).

Correct: Arrotonda alla precisione dei dati, e per eccesso quando devi raggiungere un obiettivo o coprire tutti (tempo, sedie, autobus).

Mistake: Considerare tutte le previsioni ugualmente affidabili

Why: Una retta si può sempre calcolare, anche per dati sparsi. Con $r \approx 0{,}21$ i valori reali possono essere lontani da $\hat{y}$.

Correct: Guarda prima il diagramma di dispersione o $r$: $|r|$ vicino a 1 significa una previsione affidabile, $|r|$ vicino a 0 solo una stima approssimativa.

Curve di crescita dei bambini

I medici confrontano l'altezza di un bambino con modelli di crescita. Un modello semplice per le età da 2 a 10 anni è $\hat{y} = 6x + 77$, dove $x$ è l'età in anni e $\hat{y}$ l'altezza in cm. Il modello vale solo per queste età: per un adulto di 40 anni prevedrebbe $317$ cm.

A 5 anni il modello prevede $6(5) + 77 = 107$ cm.

Stimare i tempi di consegna

Le app di consegna di cibo adattano rette agli ordini passati per stimare i tempi di consegna. Un'app ha trovato $\hat{y} = 3x + 8$, dove $x$ è la distanza in km (ordini da 1 a 12 km) e $\hat{y}$ il tempo in minuti.

Per un ristorante a 5 km l'app prevede $3(5) + 8 = 23$ minuti.

Previsioni della batteria del telefono

I telefoni stimano la batteria rimasta in base a quanto velocemente si scarica. Le misure durante lo streaming di video hanno dato $\hat{y} = 100 - 8x$, dove $x$ sono le ore di video (dati da 0 a 10 ore) e $\hat{y}$ il livello della batteria in percentuale.

Dopo 6 ore di video il modello prevede $100 - 8(6) = 52\%$.

Q: Perché scriviamo $\hat{y}$ invece di $y$?

A: Il cappuccio indica che il valore viene dalla retta ed è una previsione. Il valore reale, misurato, è $y$. Tenerli separati ti ricorda che un risultato reale può stare sopra o sotto la previsione.

Q: L'estrapolazione è sempre sbagliata?

A: Non sempre. Poco fuori dai dati (per esempio $x = 0$ o $x = 9$ quando i dati vanno da 1 a 8) la stima può essere ancora accettabile. Più ti allontani, più è probabile che l'andamento cambi, quindi di' chiaramente che stai estrapolando.

Q: Quanto deve essere vicino a 1 $r$ per una buona previsione?

A: Una regola pratica comune: $|r| \ge 0{,}7$ è forte, da $0{,}4$ a $0{,}7$ è moderata e sotto $0{,}4$ è debole. Anche con una correlazione forte, una singola previsione può sbagliare di qualche punto.

Q: Posso usare la stessa retta per prevedere $x$ da $y$?

A: Ricavare $x$ da $y = mx + b$ dà una buona stima per organizzarsi, come nell'esempio delle ore di studio. Uno statistico che volesse prevedere solo $x$ calcolerebbe un'altra retta con $x$ come variabile risposta, quindi considera il risultato una stima.