L'estrapolazione è sempre sbagliata?

Non sempre. Poco fuori dai dati (per esempio $x = 0$ o $x = 9$ quando i dati vanno da 1 a 8) la stima può essere ancora accettabile. Più ti allontani, più è probabile che l'andamento cambi, quindi di' chiaramente che stai estrapolando.

Quanto deve essere vicino a 1 $r$ per una buona previsione?

Una regola pratica comune: $|r| \ge 0{,}7$ è forte, da $0{,}4$ a $0{,}7$ è moderata e sotto $0{,}4$ è debole. Anche con una correlazione forte, una singola previsione può sbagliare di qualche punto.

Posso usare la stessa retta per prevedere $x$ da $y$?

Ricavare $x$ da $y = mx + b$ dà una buona stima per organizzarsi, come nell'esempio delle ore di studio. Uno statistico che volesse prevedere solo $x$ calcolerebbe un'altra retta con $x$ come variabile risposta, quindi considera il risultato una stima.

Risorse per insegnanti

Fare previsioni dai dati

Usa una retta di regressione per prevedere valori, risalire a un obiettivo e giudicare quando puoi fidarti di una previsione.

Intermedio25 minLezione

Scheda da stampare

Definizione

Quando hai una retta di regressione

\hat{y} = mx + b

, puoi usarla per fare previsioni. Il simbolo

\hat{y}

(si legge "y cappuccio") è il valore previsto: il valore che la retta si aspetta, non un valore misurato.

Ci sono due tipi di domande:

**Prevedere $y$ da $x$ **: sostituisci il valore di $x$ e calcola $\hat{y} = mx + b$ .
**Trovare $x$ per un obiettivo $y$ **: poni $mx + b$ uguale all'obiettivo e risolvi: $x = \frac{y - b}{m}$ .

Conta dove si trova il valore di

x

Interpolazione: $x$ è dentro l'intervallo dei dati. La previsione di solito è ragionevole.
Estrapolazione: $x$ è fuori dall'intervallo dei dati. L'andamento potrebbe non continuare, quindi la previsione è rischiosa.

Quanto puoi fidarti di una previsione dipende dalla forza della correlazione: quando

r

è vicino a

1

o a

-1

, i punti stanno stretti attorno alla retta e le previsioni sono affidabili; quando

r

è vicino a

0

, sono solo stime approssimative.

Prova subito

Una retta di regressione è

\hat{y} = 4x + 10

. Qual è il valore previsto per

x = 5

Esempi svolti

Una classe ha registrato le ore di studio (

x

, da 1 a 8 ore) e i punteggi di una verifica (

y

, su 100). La retta di regressione è

\hat{y} = 5x + 52

. Prevedi il punteggio di una studentessa che studia

6{,}5

ore.

Controlla dove si trova il valore di x

I dati vanno da

1

8

ore, e

1 \le 6{,}5 \le 8

→ Dentro i dati: interpolazione

Sostituisci x = 6,5 nell'equazione

\hat{y} = 5(6{,}5) + 52

→

\hat{y} = 5 \times 6{,}5 + 52

Moltiplica

5 \times 6{,}5 = 32{,}5

Aggiungi l'intercetta

32{,}5 + 52 = 84{,}5

→

\hat{y} = 84{,}5

Risposta: Il punteggio previsto è $84{,}5$ , quindi circa $85$ punti. Poiché $6{,}5$ ore è dentro i dati, si tratta di un'interpolazione e la previsione è ragionevole.

Errori comuni

Mettere il valore obiettivo di y al posto di x: per un punteggio obiettivo di $80$ , calcolare $5(80) + 52 = 452$

Perché è sbagliato: $80$ è un punteggio, quindi un valore di $y$ . Sostituirlo a $x$ risponde a un'altra domanda (il punteggio dopo 80 ore di studio).

Corretto: Poni l'equazione uguale all'obiettivo e ricava $x$ : $80 = 5x + 52$ , quindi $x = 5{,}6$ .

Fidarsi dell'estrapolazione: prevedere $112$ punti per $12$ ore di studio

Perché è sbagliato: L'andamento è stato osservato solo tra 1 e 8 ore. Fuori da quell'intervallo può cambiare, e qui il punteggio non può nemmeno superare 100.

Corretto: Controlla sempre prima l'intervallo dei dati. Segnala le previsioni fuori da esso come estrapolazioni e trattale con cautela.

Arrotondare senza pensare alla situazione: dare $84{,}5$ punti come valore esatto, o arrotondare $5{,}6$ ore a $5$

Perché è sbagliato: Una previsione è una stima, e i decimali in più fanno pensare a una precisione che non ha. Arrotondare per difetto un obiettivo può non bastare (5 ore prevedono solo 77 punti).

Corretto: Arrotonda alla precisione dei dati, e per eccesso quando devi raggiungere un obiettivo o coprire tutti (tempo, sedie, autobus).

Considerare tutte le previsioni ugualmente affidabili

Perché è sbagliato: Una retta si può sempre calcolare, anche per dati sparsi. Con $r \approx 0{,}21$ i valori reali possono essere lontani da $\hat{y}$ .

Corretto: Guarda prima il diagramma di dispersione o $r$ : $|r|$ vicino a 1 significa una previsione affidabile, $|r|$ vicino a 0 solo una stima approssimativa.

Visuale interattivo

Grafico della funzione

Ore di studio x = 6,5

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

Punteggio previsto ŷ = 5x + 52 = 84,5
Ore fuori dall'intervallo dei dati (0 = interpolazione) = 0 h

ŷ = 5x + 52Punteggio massimo 100Inizio dei dati (1 h)Fine dei dati (8 h)

Grafico a dispersione

Correlazione forte: ore di studio e punteggio

ŷ = 5x + 52

r = 0,992 · correlazione positiva forte

Tocca un punto per vedere le sue coordinate.

Grafico a dispersione

Correlazione debole: ore di sonno e punteggio

ŷ = 2x + 59

r = 0,209 · correlazione positiva debole

Tocca un punto per vedere le sue coordinate.

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Cronologia

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Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Una retta di regressione è

\hat{y} = 4x + 10

. Qual è il valore previsto per

x = 5

Esercizi pratici: Fare previsioni dai dati

1. Una retta di regressione è \hat{y} = 4x + 10. Qual è il valore previsto per x = 5?
2. La retta di regressione di un insieme di dati è \hat{y} = 3x + 12. Prevedi \hat{y} per x = 6.
3. I dati di un diagramma di dispersione hanno valori di x da 2 a 10. Per quale valore di x una previsione è un'interpolazione?
4. L'altezza di una pianta in mm segue \hat{y} = 2{,}5x + 40, dove x è il numero di giorni (dati dal giorno 1 al giorno 10). Prevedi l'altezza al giorno 4.
5. Un negozio descrive le vendite giornaliere di ombrelli con \hat{y} = 6x + 20, dove x è la pioggia in mm (dati da 0 a 12 mm). Prevedi le vendite in un giorno con 7 mm di pioggia.
6. Quattro insiemi di dati hanno ciascuno una retta di regressione. Quale coefficiente di correlazione dà le previsioni più affidabili?
7. Un modello prevede un punteggio con \hat{y} = 4x + 18, dove x sono le ore di esercizio (dati da 2 a 15 ore). Per quale x il punteggio previsto è 50?
8. Con \hat{y} = 5x + 52 (x = ore di studio, \hat{y} = punteggio), quante ore di studio prevedono un punteggio di 87?
9. Una festa scolastica descrive i visitatori con \hat{y} = 14{,}6x + 23, dove x è il numero di manifesti (dati da 2 a 10 manifesti). Prevedi il numero di visitatori per 6 manifesti, arrotondato a un numero intero.
10. La retta \hat{y} = 5x + 52 è stata adattata a dati da 1 a 8 ore di studio. Per 12 ore prevede un punteggio di 112 su 100. Qual è il problema?
11. Durante il gioco, il livello della batteria di un telefono segue \hat{y} = 100 - 12x (percentuale), dove x sono le ore di gioco (dati da 0 a 6 ore). Prevedi il livello della batteria dopo 4{,}5 ore.
12. Con il modello della batteria \hat{y} = 100 - 12x (x in ore, \hat{y} in percentuale), dopo quante ore il modello prevede un livello della batteria del 40\%?
13. Un modello di regressione dice che Tom deve studiare 5,6 ore per raggiungere il punteggio che vuole. Quale piano ha più senso?
14. Una retta di regressione ha pendenza m = 2{,}5 e passa per il punto delle medie (\bar{x}, \bar{y}) = (4, 30). Prevedi \hat{y} per x = 6.
15. Un modello di crescita per bambini da 2 a 10 anni è \hat{y} = 6x + 77 (altezza in cm, età x in anni). Uno studente lo usa per prevedere l'altezza di una persona di 40 anni.
16. Una retta di regressione è \hat{y} = 2{,}4x + 15{,}6. Per quale x il valore previsto è 39{,}6?
17. Una classe ha due modelli per il punteggio: ore di studio, \hat{y} = 5x + 52 con r \approx 0{,}99, e ore di sonno, \hat{y} = 2x + 59 con r \approx 0{,}21. Entrambi vengono usati per x = 6 ore.
18. Con \hat{y} = 5x + 52 (x = ore di studio, dati da 1 a 8 ore), Mia vuole un punteggio di almeno 90. Quante ore intere dovrebbe programmare?

Perché è importante

Le previsioni sono il motivo principale per cui si adatta una retta ai dati:

Organizzazione: una festa scolastica prevede quanti visitatori arriveranno, per sapere quante sedie preparare.
Salute: i medici confrontano l'altezza di un bambino con modelli di crescita per vedere se cresce regolarmente.
App di consegna: stimano quanto ci metterà il tuo ordine in base alla distanza dal ristorante.
Batterie: i telefoni stimano quante ore di batteria restano in base a quanto velocemente si scarica.

Una previsione è utile solo se sai anche quanto fidarti. Distinguere interpolazione ed estrapolazione, arrotondare con criterio e controllare la correlazione ti evita di credere a un voto di 112 su 100.

Applicazioni nel mondo reale

Curve di crescita dei bambini

I medici confrontano l'altezza di un bambino con modelli di crescita. Un modello semplice per le età da 2 a 10 anni è $\hat{y} = 6x + 77$, dove $x$ è l'età in anni e $\hat{y}$ l'altezza in cm. Il modello vale solo per queste età: per un adulto di 40 anni prevedrebbe $317$ cm.

Esempio:

A 5 anni il modello prevede $6(5) + 77 = 107$ cm.

1Provaci tu stesso

Un modello di crescita per le età da 2 a 10 anni è $\hat{y} = 6x + 77$ (altezza in cm, età $x$ in anni).

Quale altezza prevede il modello per un bambino di 8 anni?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Sostituisci $x = 8$ :

Stimare i tempi di consegna

Le app di consegna di cibo adattano rette agli ordini passati per stimare i tempi di consegna. Un'app ha trovato $\hat{y} = 3x + 8$, dove $x$ è la distanza in km (ordini da 1 a 12 km) e $\hat{y}$ il tempo in minuti.

Esempio:

Per un ristorante a 5 km l'app prevede $3(5) + 8 = 23$ minuti.

2Provaci tu stesso

Il modello di consegna è $\hat{y} = 3x + 8$ (minuti, distanza $x$ in km, dati da 1 a 12 km). L'app vuole promettere la consegna in 35 minuti.

Fino a quale distanza in km l'app può fare questa promessa?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Risolvi $35 = 3x + 8$ rispetto a $x$ :

Previsioni della batteria del telefono

I telefoni stimano la batteria rimasta in base a quanto velocemente si scarica. Le misure durante lo streaming di video hanno dato $\hat{y} = 100 - 8x$, dove $x$ sono le ore di video (dati da 0 a 10 ore) e $\hat{y}$ il livello della batteria in percentuale.

Esempio:

Dopo 6 ore di video il modello prevede $100 - 8(6) = 52\%$ .

3Provaci tu stesso

Il modello della batteria è $\hat{y} = 100 - 8x$ (percentuale, $x$ in ore, dati da 0 a 10 ore). Qualcuno chiede che cosa mostrerà la batteria dopo 15 ore di video.

Quale valore prevede il modello per 15 ore?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Sostituisci $x = 15$ :

Punti chiave

1Per prevedere $y$ , sostituisci $x$ in $\hat{y} = mx + b$ ; $\hat{y}$ è un valore previsto, non misurato
2Per trovare la $x$ di un obiettivo $y$ , poni $mx + b$ uguale all'obiettivo e risolvi: $x = \frac{y - b}{m}$
3L'interpolazione prevede dentro l'intervallo dei dati e di solito è ragionevole
4L'estrapolazione prevede fuori dall'intervallo dei dati ed è rischiosa: può dare persino valori impossibili
5Arrotonda le previsioni a una precisione sensata, e per eccesso quando devi raggiungere un obiettivo o coprire tutti
6Le previsioni sono affidabili quando $|r|$ è vicino a 1 e sono solo stime approssimative quando $r$ è vicino a 0

Domande frequenti

Il cappuccio indica che il valore viene dalla retta ed è una previsione. Il valore reale, misurato, è

y

. Tenerli separati ti ricorda che un risultato reale può stare sopra o sotto la previsione.

Glossario

Valore previsto $\hat{y}$: Il valore di $y$ che la retta di regressione dà per una $x$ scelta
Intervallo dei dati: L'intervallo dal valore di $x$ più piccolo a quello più grande nei dati
Interpolazione: Previsione per un valore di $x$ dentro l'intervallo dei dati
Estrapolazione: Previsione per un valore di $x$ fuori dall'intervallo dei dati; rischiosa perché l'andamento può cambiare
Variabile esplicativa: La variabile $x$ usata per fare la previsione (per esempio le ore di studio)
Variabile risposta: La variabile $y$ che si prevede (per esempio il punteggio)

Scheda formule

Prevedere y da x

\hat{y} = mx + b

Sostituisci il valore di x e calcola

Trovare x per un obiettivo y

x = \frac{y - b}{m}

Sottrai l'intercetta, poi dividi per la pendenza

Controllo di interpolazione

x_{\min} \le x \le x_{\max}

Se x è dentro l'intervallo dei dati, la previsione è un'interpolazione; altrimenti è un'estrapolazione

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Esercizi pratici

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Curve di crescita dei bambini

Stimare i tempi di consegna

Previsioni della batteria del telefono

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Prevedere y da x

Trovare x per un obiettivo y

Controllo di interpolazione

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