Interpretare pendenza e intercetta nel contesto

Un bar ha annotato per cinque mattine la temperatura esterna $x$ (in °C, da $0$ a $20$) e il numero $y$ di bevande calde vendute. La retta di regressione è $\hat{y} = 110 - 3x$. Interpreta la pendenza e l'intercetta.

Individuare pendenza e intercetta: $\hat{y} = -3x + 110$, quindi $m = -3$ e $b = 110$ = $m = -3$, $b = 110$

Interpretare la pendenza con le unità: Per ogni grado in più, il numero previsto di bevande calde cambia di $-3$ = Circa 3 bevande calde in meno per ogni grado in più, in media

Interpretare l'intercetta con le unità: Per $x = 0$ °C il modello prevede $\hat{y} = 110 - 3 \cdot 0 = 110$ = Circa 110 bevande calde in una mattina a 0 °C

Controllare che l'intercetta abbia senso: $0$ °C è una temperatura reale ed è dentro l'intervallo dei dati, da $0$ a $20$ = Qui l'intercetta ha un significato reale

Answer: Pendenza: per ogni aumento di 1 °C, il modello prevede che il bar venda circa 3 bevande calde in meno. Intercetta: in una mattina a 0 °C il modello prevede circa 110 bevande calde, e questo ha senso perché 0 °C fa parte dei dati.

Costruire la retta dei minimi quadrati dai dati

Cinque studenti hanno indicato le ore di studio settimanali $x$ e il punteggio del test $y$ (su 100): | Ore $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |---|---|---|---|---|---| | Punteggio $y$ | 52 | 60 | 68 | 76 | 74 | Trova la retta di regressione con il metodo dei minimi quadrati.

Calcolare le medie: $\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3$, $\bar{y} = \frac{52+60+68+76+74}{5} = \frac{330}{5} = 66$ = $\bar{x} = 3$, $\bar{y} = 66$

Calcolare gli scarti dalle medie: $x - \bar{x}$: $-2, -1, 0, 1, 2$; $y - \bar{y}$: $-14, -6, 2, 10, 8$ = Scarti annotati

Calcolare le somme per la pendenza: $\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y}) = 28 + 6 + 0 + 10 + 16 = 60$; $\sum(x-\bar{x})^2 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10$ = $60$ e $10$

Calcolare la pendenza: $m = \frac{60}{10} = 6$ = $m = 6$

Calcolare l'intercetta: $b = \bar{y} - m\bar{x} = 66 - 6 \cdot 3 = 48$ = $b = 48$

Answer: La retta di regressione è $\hat{y} = 6x + 48$: ogni ora di studio in più alla settimana si accompagna a circa 6 punti in più nel test, in media.

Interpolazione o estrapolazione?

Usa $\hat{y} = 6x + 48$ ricavata dai dati di studio (da $1$ a $5$ ore). Prevedi il punteggio di uno studente che studia $2{,}5$ ore e di uno che studia $9$ ore. Di quale previsione ti puoi fidare?

Prevedere per 2,5 ore: $\hat{y} = 6 \cdot 2{,}5 + 48 = 15 + 48 = 63$ = $\hat{y} = 63$ punti

Classificare la prima previsione: $2{,}5$ è tra $1$ e $5$, quindi dentro i dati = Interpolazione

Prevedere per 9 ore: $\hat{y} = 6 \cdot 9 + 48 = 54 + 48 = 102$ = $\hat{y} = 102$ punti

Classificare e giudicare la seconda previsione: $9$ è molto oltre $5$, e $102$ supera il massimo di $100$ punti = Estrapolazione, non credibile

Answer: Per 2,5 ore il modello prevede 63 punti (interpolazione, ragionevole). Per 9 ore prevede 102 punti, impossibile in un test su 100: è un'estrapolazione molto lontana dai dati, quindi lì la retta non va usata.

I residui di due studenti

Con $\hat{y} = 6x + 48$, trova il residuo dello studente che ha studiato $4$ ore e ha preso $76$, e quello dello studente che ha studiato $5$ ore e ha preso $74$. Che cosa ti dicono?

Punteggio previsto per 4 ore: $\hat{y} = 6 \cdot 4 + 48 = 72$ = $\hat{y} = 72$

Residuo per 4 ore: $e = y - \hat{y} = 76 - 72 = 4$ = $e = 4$ (sopra la retta)

Punteggio previsto per 5 ore: $\hat{y} = 6 \cdot 5 + 48 = 78$ = $\hat{y} = 78$

Residuo per 5 ore: $e = 74 - 78 = -4$ = $e = -4$ (sotto la retta)

Answer: Lo studente da 4 ore ha preso 4 punti in più del previsto (residuo $4$), quello da 5 ore 4 punti in meno del previsto (residuo $-4$). Nel grafico qui sopra, tocca un punto per vedere il suo residuo.

Quanto bene si adatta la retta? r e R²

Per i dati del bar, i residui sono $5, -10, 0, 10, -5$ e la variabilità totale delle vendite è $\sum(y - \bar{y})^2 = 2500$. Trova $R^2$ e $r$ e spiegali nel contesto.

Somma dei quadrati dei residui: $25 + 100 + 0 + 100 + 25 = 250$ = $SS_{\text{res}} = 250$

Coefficiente di determinazione: $R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}} = 1 - \frac{250}{2500} = 1 - 0{,}1 = 0{,}9$ = $R^2 = 0{,}90$

Coefficiente di correlazione: $r = -\sqrt{0{,}9} \approx -0{,}95$ (negativo, perché la pendenza $-3$ è negativa) = $r \approx -0{,}95$

Interpretare entrambi nel contesto: $r$: relazione lineare negativa forte; $R^2$: il $90\,\%$ della variabilità delle bevande calde vendute è spiegato dalla temperatura = Buon adattamento, il 10 % resta ad altri fattori

Answer: $R^2 = 0{,}90$: circa il 90 % della variabilità del numero di bevande calde vendute è spiegato dalla relazione lineare con la temperatura; il restante 10 % dipende da altri fattori (giorno della settimana, eventi, caso). $r \approx -0{,}95$: una relazione lineare negativa forte, le mattine più calde vanno con meno bevande calde.

Mistake: Dare la pendenza come un numero nudo: "la pendenza è 6"

Why: Un numero senza contesto non risponde alla domanda. La pendenza è un tasso di variazione: servono le unità e la parola "previsto" o "in media", perché i punti reali sono sparsi attorno alla retta.

Correct: Di': "Per ogni ora di studio in più alla settimana, il punteggio previsto sale di circa 6 punti."

Mistake: Fidarsi di una previsione molto lontana dai dati (estrapolazione)

Why: La retta è stata adattata solo all'intervallo osservato. Fuori da esso l'andamento può cambiare e la retta può dare valori impossibili, come un punteggio di 120 su 100 o un numero di vendite negativo.

Correct: Controlla prima l'intervallo di $x$. Dentro: interpolazione. Fuori: estrapolazione, quindi di' che la previsione non è affidabile.

Mistake: Calcolare il residuo al contrario: $\hat{y} - y$

Why: Così il segno si inverte e "sopra la retta" diventa "sotto la retta". Per convenzione il residuo è valore osservato meno valore previsto.

Correct: Usa sempre $e = y - \hat{y}$: positivo significa che il modello ha sottostimato, negativo che ha sovrastimato.

Mistake: Leggere $R^2 = 0{,}9$ come "il 90 % dei punti sta sulla retta" o "il modello ha ragione il 90 % delle volte"

Why: $R^2$ misura quanta parte della variabilità di $y$ è spiegata dalla relazione lineare. Tutti i punti possono stare fuori dalla retta e $R^2$ può comunque valere 0,9.

Correct: Di': "Il 90 % della variabilità di $y$ è spiegato dalla relazione lineare con $x$."

Laboratorio di biologia: la crescita di una pianta

Nel laboratorio di biologia si misura una piantina ogni settimana e si adatta una retta di regressione dell'altezza in funzione del tempo per descriverne la velocità di crescita.

Con $\hat{y} = 2{,}5x + 4$ (altezza in cm, $x$ in settimane, dati dalla settimana 0 alla settimana 8), la pendenza dice che la pianta cresce di circa 2,5 cm a settimana e l'intercetta che era alta circa 4 cm all'inizio delle misure.

Tempi di consegna di un negozio online

Le aziende di consegne modellano il tempo di consegna in base alla distanza per comunicare ai clienti un orario di arrivo e individuare i percorsi più lenti del previsto.

Con $\hat{y} = 12 + 3x$ (minuti, $x$ = distanza in km, dati da 1 a 10 km), per una consegna di 4 km si prevedono $12 + 12 = 24$ minuti.

Test della batteria degli smartphone

Chi recensisce dispositivi mette in relazione il tempo di schermo con il consumo della batteria e indica quanto è forte il legame, così i lettori sanno quanto possono fidarsi della retta di regressione.

Se tempo di schermo e batteria consumata hanno $r = 0{,}8$, allora $R^2 = 0{,}64$: il 64 % della variabilità del consumo è spiegato dal tempo di schermo.

Q: L'intercetta ha sempre un significato?

A: No. È il valore previsto di $y$ per $x = 0$. Se $x = 0$ è impossibile (una persona alta 0 cm) o molto lontano dai dati (una casa di 0 m²), l'intercetta è solo un numero che posiziona la retta, non qualcosa da interpretare.

Q: Quanto lontano dai dati posso fare previsioni?

A: Non esiste una distanza sicura. Poco fuori dall'intervallo può ancora andare bene se l'andamento continua chiaramente, ma ogni estrapolazione va segnalata come incerta, e le previsioni lontane (o i valori impossibili) non vanno usate.

Q: Qual è la differenza tra r e R²?

A: $r$ è compreso tra $-1$ e $1$ e indica il verso (segno) e la forza di una relazione lineare. $R^2 = r^2$ è compreso tra $0$ e $1$ e dice quale parte della variabilità di $y$ è spiegata dalla retta. $R^2$ perde il segno, quindi guarda la pendenza per il verso.

Q: Se R² è alto, allora x causa y?

A: Non necessariamente. Un $R^2$ alto dice solo che la retta si adatta bene ai dati. Una variabile confondente o il caso possono creare l'andamento; solo un esperimento controllato può mostrare causa ed effetto.