Quanto lontano dai dati posso fare previsioni?

Non esiste una distanza sicura. Poco fuori dall'intervallo può ancora andare bene se l'andamento continua chiaramente, ma ogni estrapolazione va segnalata come incerta, e le previsioni lontane (o i valori impossibili) non vanno usate.

Qual è la differenza tra r e R²?

$r$ è compreso tra $-1$ e $1$ e indica il verso (segno) e la forza di una relazione lineare. $R^2 = r^2$ è compreso tra $0$ e $1$ e dice quale parte della variabilità di $y$ è spiegata dalla retta. $R^2$ perde il segno, quindi guarda la pendenza per il verso.

Se R² è alto, allora x causa y?

Non necessariamente. Un $R^2$ alto dice solo che la retta si adatta bene ai dati. Una variabile confondente o il caso possono creare l'andamento; solo un esperimento controllato può mostrare causa ed effetto.

Risorse per insegnanti

Problemi sulla regressione

Q: L'intercetta ha sempre un significato?

No. È il valore previsto di $y$ per $x = 0$. Se $x = 0$ è impossibile (una persona alta 0 cm) o molto lontano dai dati (una casa di 0 m²), l'intercetta è solo un numero che posiziona la retta, non qualcosa da interpretare.

Risolvi problemi completi di regressione: interpretare pendenza e intercetta nel contesto, prevedere, riconoscere l'estrapolazione, calcolare residui e spiegare r e R².

Avanzato30 minLezione

Scheda da stampare

Definizione

Un problema sulla regressione ti dà dati reali (o un'equazione di regressione già adattata ai dati) e ti chiede che cosa dice il modello sulla situazione. Ogni problema di questo tipo usa la stessa cassetta degli attrezzi:

\hat{y} = mx + b

**Pendenza $m$ nel contesto**: per ogni aumento di 1 unità di $x$ , il valore previsto di $y$ cambia di $m$ unità, in media.
**Intercetta $b$ nel contesto**: il valore previsto di $y$ quando $x = 0$ . Ha un significato reale solo se $x = 0$ ha senso ed è vicino ai dati.
Previsione: sostituisci $x$ nell'equazione per ottenere il valore previsto $\hat{y}$ .
Interpolazione o estrapolazione: una previsione per un $x$ all'interno dell'intervallo dei dati è un'interpolazione (di solito affidabile); fuori da quell'intervallo è un'estrapolazione (rischiosa).
Residuo: $e = y - \hat{y}$ (valore osservato meno valore previsto). Positivo significa che il punto sta sopra la retta.
r e R²: $r$ indica il verso e la forza della relazione lineare; $R^2 = r^2$ è la parte della variabilità di $y$ spiegata dalla relazione lineare con $x$ .

Una buona risposta usa sempre le unità e le parole del problema, non solo numeri.

Prova subito

Il modello

\hat{y} = 6x + 48

prevede il punteggio del test

\hat{y}

(punti) dalle ore di studio settimanali

x

. Che cosa significa la pendenza

6

Esempi svolti

Un bar ha annotato per cinque mattine la temperatura esterna

x

(in °C, da

0

20

) e il numero

y

di bevande calde vendute. La retta di regressione è

\hat{y} = 110 - 3x

. Interpreta la pendenza e l'intercetta.

Individuare pendenza e intercetta

\hat{y} = -3x + 110

, quindi

m = -3

b = 110

→

m = -3

b = 110

Interpretare la pendenza con le unità

Per ogni grado in più, il numero previsto di bevande calde cambia di

-3

→ Circa 3 bevande calde in meno per ogni grado in più, in media

Interpretare l'intercetta con le unità

Per

x = 0

°C il modello prevede

\hat{y} = 110 - 3 \cdot 0 = 110

→ Circa 110 bevande calde in una mattina a 0 °C

Controllare che l'intercetta abbia senso

0

°C è una temperatura reale ed è dentro l'intervallo dei dati, da

0

20

→ Qui l'intercetta ha un significato reale

Risposta: Pendenza: per ogni aumento di 1 °C, il modello prevede che il bar venda circa 3 bevande calde in meno. Intercetta: in una mattina a 0 °C il modello prevede circa 110 bevande calde, e questo ha senso perché 0 °C fa parte dei dati.

Errori comuni

Dare la pendenza come un numero nudo: "la pendenza è 6"

Perché è sbagliato: Un numero senza contesto non risponde alla domanda. La pendenza è un tasso di variazione: servono le unità e la parola "previsto" o "in media", perché i punti reali sono sparsi attorno alla retta.

Corretto: Di': "Per ogni ora di studio in più alla settimana, il punteggio previsto sale di circa 6 punti."

Fidarsi di una previsione molto lontana dai dati (estrapolazione)

Perché è sbagliato: La retta è stata adattata solo all'intervallo osservato. Fuori da esso l'andamento può cambiare e la retta può dare valori impossibili, come un punteggio di 120 su 100 o un numero di vendite negativo.

Corretto: Controlla prima l'intervallo di $x$ . Dentro: interpolazione. Fuori: estrapolazione, quindi di' che la previsione non è affidabile.

Calcolare il residuo al contrario: $\hat{y} - y$

Perché è sbagliato: Così il segno si inverte e "sopra la retta" diventa "sotto la retta". Per convenzione il residuo è valore osservato meno valore previsto.

Corretto: Usa sempre $e = y - \hat{y}$ : positivo significa che il modello ha sottostimato, negativo che ha sovrastimato.

Leggere $R^2 = 0{,}9$ come "il 90 % dei punti sta sulla retta" o "il modello ha ragione il 90 % delle volte"

Perché è sbagliato: $R^2$ misura quanta parte della variabilità di $y$ è spiegata dalla relazione lineare. Tutti i punti possono stare fuori dalla retta e $R^2$ può comunque valere 0,9.

Corretto: Di': "Il 90 % della variabilità di $y$ è spiegato dalla relazione lineare con $x$ ."

Visuale interattivo

Grafico a dispersione

Ore di studio settimanali e punteggio del test

ŷ = 6x + 48

r = 0,949 · correlazione positiva forte

Tocca un punto per vedere le sue coordinate.

Grafico a dispersione

Temperatura esterna e bevande calde vendute

ŷ = −3x + 110

r = -0,949 · correlazione negativa forte

Tocca un punto per vedere le sue coordinate.

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

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Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Il modello

\hat{y} = 6x + 48

prevede il punteggio del test

\hat{y}

(punti) dalle ore di studio settimanali

x

. Che cosa significa la pendenza

6

Esercizi pratici: Problemi sulla regressione

1. Il modello \hat{y} = 6x + 48 prevede il punteggio del test \hat{y} (punti) dalle ore di studio settimanali x. Che cosa significa la pendenza 6?
2. Con \hat{y} = 6x + 48 (punteggio del test in base alle ore di studio settimanali x), prevedi il punteggio di uno studente che studia 4 ore a settimana.
3. Una retta di regressione è stata adattata a dati con valori di x da 2 a 10. Per quale valore di x una previsione è un'estrapolazione?
4. Un punto ha valore osservato y = 80 e la retta di regressione prevede per esso \hat{y} = 74. Qual è il suo residuo?
5. Una regressione del voto d'esame sul tempo di studio ha R² = 0,64. Quale affermazione è corretta?
6. La correlazione tra passi giornalieri e calorie bruciate è r = 0,7. Quanto vale R²? Scrivilo come numero decimale.
7. Il modello di un concessionario per le auto usate è \hat{y} = 18000 - 1500x, dove \hat{y} è il prezzo in € e x l'età in anni (dati per auto da 0 a 8 anni). Che cosa significa l'intercetta 18000?
8. Un bar usa \hat{y} = 110 - 3x per prevedere il numero di bevande calde vendute dalla temperatura del mattino x in °C (dati da 0 a 20 °C). Quante bevande calde prevede per 12 °C?
9. In un modello dei tempi di consegna, una consegna ha un residuo di -5 minuti. Che cosa significa?
10. L'altezza di una pianta è modellata da \hat{y} = 2{,}5x + 4 (cm, x in settimane). Di quanti cm aumenta l'altezza prevista in altre 4 settimane?
11. Il modello del bar è \hat{y} = 110 - 3x (bevande calde, x in °C). In una mattina a 15 °C il bar ha venduto 75 bevande calde. Trova il residuo di quella mattina.
12. Per i dati delle ore di studio, la somma dei quadrati dei residui è SS_{\text{res}} = 40 e la variabilità totale dei punteggi è SS_{\text{tot}} = 400. Trova R^2 e indica quale percentuale della variabilità dei punteggi spiega la retta.
13. Il modello \hat{y} = 6x + 48 è stato adattato a studenti che studiano da 1 a 5 ore a settimana (test su 100 punti). Prevedi il punteggio per 12 ore e decidi che tipo di previsione è.
14. Il modello del concessionario è \hat{y} = 18000 - 1500x (prezzo in €, x = età in anni, dati da 0 a 8 anni). Un'auto di 4 anni è stata venduta a 13000 €. Trova il prezzo previsto e il residuo. L'auto è stata venduta sopra o sotto il prezzo previsto?
15. Una studentessa conta i piegamenti y che riesce a fare dopo x settimane di allenamento: | x | 1 | 2 | 3 | 4 | |---|---|---|---|---| | y | 3 | 5 | 6 | 10 | Trova la retta di regressione \hat{y} = mx + b con il metodo dei minimi quadrati.
16. Il modello del bar è \hat{y} = 110 - 3x (bevande calde, x in °C, dati da 0 a 20 °C), con R^2 = 0{,}9. In una mattina a 8 °C il bar ha venduto 90 bevande calde. Trova la previsione, il residuo, il coefficiente di correlazione r e la percentuale di variabilità spiegata.
17. Una gelateria ha raccolto dati per temperature da 10 a 30 °C. La retta di regressione dei gelati venduti all'ora in funzione della temperatura ha pendenza 1{,}5, e le medie sono \bar{x} = 20 °C e \bar{y} = 50 gelati. Trova l'intercetta, prevedi le vendite a 30 °C e trova il residuo di un'ora a 30 °C con 61 gelati venduti.
18. Con \hat{y} = 6x + 48 (punteggio in base alle ore di studio settimanali, dati da 1 a 5 ore), quante ore di studio servono secondo il modello per un punteggio previsto di 84? Ci si può fidare di questa risposta?

Perché è importante

La regressione è il modo in cui i dati diventano decisioni:

Negozi e bar prevedono quanta merce ordinare in base alle previsioni del tempo.
Le scuole studiano come il tempo di studio è legato ai risultati e quali studenti vanno meglio o peggio del previsto.
Medici e scienziati usano la regressione per stimare dosi, velocità di crescita e rischi.
Concessionari e banche stimano di quanto cala ogni anno il valore di un'auto.

In tutti questi casi, la parte difficile non è il calcolo ma l'interpretazione: dire che cosa significa la pendenza, sapere quando ci si può fidare di una previsione e spiegare quanto bene si adatta la retta. È proprio ciò che chiedono le verifiche e il mondo del lavoro, ed è ciò che allena questa lezione.

Applicazioni nel mondo reale

Laboratorio di biologia: la crescita di una pianta

Nel laboratorio di biologia si misura una piantina ogni settimana e si adatta una retta di regressione dell'altezza in funzione del tempo per descriverne la velocità di crescita.

Esempio:

Con $\hat{y} = 2{,}5x + 4$ (altezza in cm, $x$ in settimane, dati dalla settimana 0 alla settimana 8), la pendenza dice che la pianta cresce di circa 2,5 cm a settimana e l'intercetta che era alta circa 4 cm all'inizio delle misure.

1Provaci tu stesso

Il modello della classe è $\hat{y} = 2{,}5x + 4$ , con l'altezza $\hat{y}$ in cm e il tempo $x$ in settimane (dati dalla settimana 0 alla settimana 8).

Quale altezza prevede il modello alla settimana 6?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Sostituisci $x = 6$ nell'equazione:

Tempi di consegna di un negozio online

Le aziende di consegne modellano il tempo di consegna in base alla distanza per comunicare ai clienti un orario di arrivo e individuare i percorsi più lenti del previsto.

Esempio:

Con $\hat{y} = 12 + 3x$ (minuti, $x$ = distanza in km, dati da 1 a 10 km), per una consegna di 4 km si prevedono $12 + 12 = 24$ minuti.

2Provaci tu stesso

Il modello è $\hat{y} = 12 + 3x$ (tempo in minuti, $x$ = distanza in km). Una consegna di 6 km ha richiesto in realtà 33 minuti.

Qual è il residuo di questa consegna?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Residuo = tempo reale meno tempo previsto:

Test della batteria degli smartphone

Chi recensisce dispositivi mette in relazione il tempo di schermo con il consumo della batteria e indica quanto è forte il legame, così i lettori sanno quanto possono fidarsi della retta di regressione.

Esempio:

Se tempo di schermo e batteria consumata hanno $r = 0{,}8$ , allora $R^2 = 0{,}64$ : il 64 % della variabilità del consumo è spiegato dal tempo di schermo.

3Provaci tu stesso

In un test della batteria la correlazione tra la temperatura della stanza e la durata della batteria è $r = -0{,}9$ .

Quale percentuale della variabilità della durata della batteria è spiegata dalla relazione lineare con la temperatura della stanza?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Eleva r al quadrato e trasformalo in percentuale:

Punti chiave

1Interpreta la pendenza come un tasso con le unità: per ogni aumento di 1 di $x$ , il valore previsto di $y$ cambia di $m$ , in media
2L'intercetta è il valore previsto di $y$ per $x = 0$ ; ha significato solo se $x = 0$ ha senso ed è vicino ai dati
3Per prevedere, sostituisci $x$ in $\hat{y} = mx + b$ ; dentro l'intervallo dei dati è interpolazione, fuori è un'estrapolazione rischiosa
4Un residuo è valore osservato meno valore previsto, $e = y - \hat{y}$ : positivo sopra la retta, negativo sotto
5 $r$ indica verso e forza; $R^2 = r^2$ è la parte della variabilità di $y$ spiegata dalla retta
6Un buon adattamento mostra un legame, non una causa: rispondi sempre con le parole e le unità del problema

Domande frequenti

No. È il valore previsto di

y

per

x = 0

. Se

x = 0

è impossibile (una persona alta 0 cm) o molto lontano dai dati (una casa di 0 m²), l'intercetta è solo un numero che posiziona la retta, non qualcosa da interpretare.

Glossario

Valore previsto $\hat{y}$: Il valore di $y$ che la retta di regressione dà per un $x$ scelto
Pendenza nel contesto: La variazione prevista di $y$ , nelle unità di $y$ , per ogni aumento di 1 unità di $x$
Intercetta nel contesto: Il valore previsto di $y$ per $x = 0$ , sensato solo se $x = 0$ è realistico e vicino ai dati
Interpolazione: Prevedere $y$ per un $x$ all'interno dell'intervallo dei dati
Estrapolazione: Prevedere $y$ per un $x$ fuori dall'intervallo dei dati; spesso poco affidabile
Coefficiente di determinazione R²: La parte della variabilità di $y$ spiegata dalla relazione lineare con $x$ ; per una retta è uguale a $r^2$

Scheda formule

Retta di regressione

\hat{y} = mx + b

Sostituisci x per ottenere il valore previsto

Pendenza dei minimi quadrati

m = \frac{\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\sum(x-\bar{x})^2}

Si calcola dagli scarti dalle medie

Intercetta dei minimi quadrati

b = \bar{y} - m\bar{x}

La retta passa sempre per il punto delle medie

Residuo

e = y - \hat{y}

Osservato meno previsto; positivo sopra la retta

Coefficiente di determinazione

R^2 = r^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}

$SS_{\text{res}}$ è la somma dei quadrati dei residui, $SS_{\text{tot}}$ la somma dei quadrati degli scarti di y dalla sua media

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Laboratorio di biologia: la crescita di una pianta

Tempi di consegna di un negozio online

Test della batteria degli smartphone

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Retta di regressione

Pendenza dei minimi quadrati

Intercetta dei minimi quadrati

Residuo

Coefficiente di determinazione

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