Problemi sulla regressione

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Il modello $\hat{y} = 6x + 48$ prevede il punteggio del test $\hat{y}$ (punti) dalle ore di studio settimanali $x$ . Che cosa significa la pendenza $6$ ?
1. a)Uno studente che studia 0 ore prende 6 punti
2. b)Ogni ora di studio in più alla settimana si accompagna a circa 6 punti in più, in media
3. c)Allo studio hanno partecipato 6 studenti
4. d)Il punteggio è sempre 6 volte il numero di ore
Risposta: Ogni ora di studio in più alla settimana si accompagna a circa 6 punti in più, in media
La pendenza è un tasso: per ogni ora di studio in più alla settimana, il punteggio previsto sale di circa $6$ punti, in media. Il numero $48$ è l'intercetta, non la pendenza.
2.
Con $\hat{y} = 6x + 48$ (punteggio del test in base alle ore di studio settimanali $x$ ), prevedi il punteggio di uno studente che studia $4$ ore a settimana.
Risposta: 72
$\hat{y} = 6 \cdot 4 + 48 = 24 + 48 = 72$ punti.
3.
Una retta di regressione è stata adattata a dati con valori di $x$ da $2$ a $10$ . Per quale valore di $x$ una previsione è un'estrapolazione?
1. a)5
2. b)15
3. c)7,5
4. d)9
Risposta: 15
Solo $15$ è fuori dall'intervallo da $2$ a $10$ , quindi prevedere lì è un'estrapolazione. $5$ , $7{,}5$ e $9$ sono dentro i dati (interpolazione).
4.
Un punto ha valore osservato $y = 80$ e la retta di regressione prevede per esso $\hat{y} = 74$ . Qual è il suo residuo?
Risposta: 6
$e = y - \hat{y} = 80 - 74 = 6$ . Il residuo è positivo, quindi il punto sta $6$ unità sopra la retta.
5.
Una regressione del voto d'esame sul tempo di studio ha $R^2 = 0{,}64$ . Quale affermazione è corretta?
1. a)Il 64 % dei punti sta esattamente sulla retta
2. b)Il 64 % della variabilità dei voti è spiegato dalla relazione lineare con il tempo di studio
3. c)Il coefficiente di correlazione è r = 0,64
4. d)Ogni ora di studio in più aggiunge 0,64 punti
Risposta: Il 64 % della variabilità dei voti è spiegato dalla relazione lineare con il tempo di studio
$R^2 = 0{,}64$ significa che il $64\,\%$ della variabilità dei voti è spiegato dalla relazione lineare con il tempo di studio. Non dice nulla su quanti punti stanno sulla retta, e $r = \pm 0{,}8$ , non $0{,}64$ .
6.
La correlazione tra passi giornalieri e calorie bruciate è $r = 0{,}7$ . Quanto vale $R^2$ ? Scrivilo come numero decimale.
Risposta: 0.49
$R^2 = r^2 = 0{,}7^2 = 0{,}49$ : circa il $49\,\%$ della variabilità delle calorie bruciate è spiegato dal numero di passi.
7.
Il modello di un concessionario per le auto usate è $\hat{y} = 18000 - 1500x$ , dove $\hat{y}$ è il prezzo in € e $x$ l'età in anni (dati per auto da 0 a 8 anni). Che cosa significa l'intercetta $18000$ ?
1. a)Per un'auto nuova (età 0) si prevede un prezzo di circa 18000 €
2. b)Un'auto nuova vale 1500 €
3. c)Dopo 18000 anni l'auto non vale più nulla
4. d)L'auto perde 18000 € ogni anno
Risposta: Per un'auto nuova (età 0) si prevede un prezzo di circa 18000 €
Per $x = 0$ (un'auto nuova) il modello prevede $\hat{y} = 18000$ €. L'età $0$ fa parte dei dati, quindi l'interpretazione ha senso. Il $1500$ è la pendenza: il valore previsto cala di circa $1500$ € all'anno.
8.
Un bar usa $\hat{y} = 110 - 3x$ per prevedere il numero di bevande calde vendute dalla temperatura del mattino $x$ in °C (dati da $0$ a $20$ °C). Quante bevande calde prevede per $12$ °C?
Risposta: 74
$\hat{y} = 110 - 3 \cdot 12 = 110 - 36 = 74$ bevande calde. Poiché $12$ °C è dentro l'intervallo dei dati, è un'interpolazione.
9.
In un modello dei tempi di consegna, una consegna ha un residuo di $-5$ minuti. Che cosa significa?
1. a)La consegna è durata 5 minuti più del previsto
2. b)Il modello ha previsto un tempo di 5 minuti
3. c)La pendenza del modello è -5
4. d)La consegna è durata 5 minuti meno del previsto
Risposta: La consegna è durata 5 minuti meno del previsto
$e = y - \hat{y} = -5$ significa $y = \hat{y} - 5$ : la consegna è durata $5$ minuti meno del previsto, quindi il punto sta sotto la retta.
10.
L'altezza di una pianta è modellata da $\hat{y} = 2{,}5x + 4$ (cm, $x$ in settimane). Di quanti cm aumenta l'altezza prevista in altre $4$ settimane?
Risposta: 10
Variazione di $\hat{y}$ = pendenza $\cdot$ variazione di $x$ = $2{,}5 \cdot 4 = 10$ cm.
11.
Il modello del bar è $\hat{y} = 110 - 3x$ (bevande calde, $x$ in °C). In una mattina a $15$ °C il bar ha venduto $75$ bevande calde. Trova il residuo di quella mattina.
Risposta: 10
1. Quanto fa $3 \cdot 15$ ? 45
2. Qual è il numero previsto di bevande calde $\hat{y}$ ? 65
3. Qual è il residuo $y - \hat{y}$ ? 10
12.
Per i dati delle ore di studio, la somma dei quadrati dei residui è $SS_{\text{res}} = 40$ e la variabilità totale dei punteggi è $SS_{\text{tot}} = 400$ . Trova $R^2$ e indica quale percentuale della variabilità dei punteggi spiega la retta.
Risposta: 0.9
1. Quanto vale $\frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}} = \frac{40}{400}$ ? 0.1
2. Quanto vale $R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}$ ? 0.9
3. Quale percentuale della variabilità spiega la retta (solo il numero)? 90
13.
Il modello $\hat{y} = 6x + 48$ è stato adattato a studenti che studiano da $1$ a $5$ ore a settimana (test su $100$ punti). Prevedi il punteggio per $12$ ore e decidi che tipo di previsione è.
Risposta: 120
1. Quanto fa $6 \cdot 12$ ? 72
2. Quale punteggio prevede il modello per 12 ore? 120
3. Questa previsione è un'interpolazione o un'estrapolazione? estrapolazione
14.
Il modello del concessionario è $\hat{y} = 18000 - 1500x$ (prezzo in €, $x$ = età in anni, dati da 0 a 8 anni). Un'auto di $4$ anni è stata venduta a 13000 €. Trova il prezzo previsto e il residuo. L'auto è stata venduta sopra o sotto il prezzo previsto?
Risposta: 1000
1. Quanto fa $1500 \cdot 4$ ? 6000
2. Qual è il prezzo previsto $\hat{y}$ (solo il numero)? 12000
3. Qual è il residuo (solo il numero)? 1000
4. L'auto è stata venduta sopra o sotto il prezzo previsto? sopra
15.
Una studentessa conta i piegamenti $y$ che riesce a fare dopo $x$ settimane di allenamento:
$x$ 1 2 3 4
$y$ 3 5 6 10
Trova la retta di regressione $\hat{y} = mx + b$ con il metodo dei minimi quadrati.
Risposta: y = 2.2x + 0.5
1. Quanto vale la media $\bar{x}$ ? 2.5
2. Quanto vale la media $\bar{y}$ ? 6
3. Quanto vale $\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y})$ ? 11
4. Quanto vale $\sum(x-\bar{x})^2$ ? 5
5. Quanto vale la pendenza $m$ ? 2.2
6. Quanto vale l'intercetta $b = \bar{y} - m\bar{x}$ ? 0.5
16.
Il modello del bar è $\hat{y} = 110 - 3x$ (bevande calde, $x$ in °C, dati da $0$ a $20$ °C), con $R^2 = 0{,}9$ . In una mattina a $8$ °C il bar ha venduto $90$ bevande calde. Trova la previsione, il residuo, il coefficiente di correlazione $r$ e la percentuale di variabilità spiegata.
Risposta: -0.95
1. Che cosa prevede il modello per $8$ °C? 86
2. Qual è il residuo di quella mattina? 4
3. Quanto vale $r$ , arrotondato a due cifre decimali? -0.95
4. Quale percentuale della variabilità delle bevande calde vendute è spiegata (solo il numero)? 90
17.
Una gelateria ha raccolto dati per temperature da $10$ a $30$ °C. La retta di regressione dei gelati venduti all'ora in funzione della temperatura ha pendenza $1{,}5$ , e le medie sono $\bar{x} = 20$ °C e $\bar{y} = 50$ gelati. Trova l'intercetta, prevedi le vendite a $30$ °C e trova il residuo di un'ora a $30$ °C con $61$ gelati venduti.
Risposta: -4
1. Quanto fa $1{,}5 \cdot 20$ ? 30
2. Quanto vale l'intercetta $b = \bar{y} - m\bar{x}$ ? 20
3. Che cosa prevede la retta a $30$ °C? 65
4. Qual è il residuo dell'ora con $61$ gelati? -4
18.
Con $\hat{y} = 6x + 48$ (punteggio in base alle ore di studio settimanali, dati da $1$ a $5$ ore), quante ore di studio servono secondo il modello per un punteggio previsto di $84$ ? Ci si può fidare di questa risposta?
Risposta: 6
1. Sottrai l'intercetta: quanto fa $84 - 48$ ? 36
2. Dividi per la pendenza: quanto vale $x$ ? 6
3. $x = 6$ è un'interpolazione o un'estrapolazione? estrapolazione