Calcolare un residuo

La retta di regressione tra ore di studio ($x$) e punteggio della verifica ($y$) è $\hat{y} = 5x + 50$. Mia ha studiato $4$ ore e ha preso $72$. Calcola il suo residuo.

Calcola il punteggio previsto: $\hat{y} = 5(4) + 50 = 20 + 50$ = $\hat{y} = 70$

Sottrai: osservato meno previsto: $e = y - \hat{y} = 72 - 70$ = $e = 2$

Interpreta il segno: $e > 0$, quindi il punto di Mia è sopra la retta = Ha preso 2 punti in più del previsto

Answer: Il residuo di Mia è $2$: ha preso 2 punti in più di quanto prevedeva la retta, quindi il suo punto è sopra la retta.

Un residuo negativo

Con la stessa retta $\hat{y} = 5x + 50$, Leo ha studiato $3$ ore e ha preso $62$. Calcola il suo residuo e spiega che cosa significa.

Calcola il punteggio previsto: $\hat{y} = 5(3) + 50 = 15 + 50$ = $\hat{y} = 65$

Sottrai: osservato meno previsto: $e = 62 - 65$ = $e = -3$

Interpreta il segno: $e < 0$, quindi il punto di Leo è sotto la retta = La retta ha sovrastimato il suo punteggio di 3

Answer: Il residuo di Leo è $-3$: il suo punto è 3 punti sotto la retta, quindi la retta ha previsto troppo per lui.

Una tabella dei residui

Sei studenti hanno fornito questi dati (ore di studio, punteggio): $(1, 57)$, $(2, 58)$, $(3, 62)$, $(4, 72)$, $(5, 78)$, $(6, 78)$. La retta dei minimi quadrati è $\hat{y} = 5x + 50$. Fai una tabella dei residui e sommali.

Calcola il valore previsto per ogni x: $\hat{y} = 55, 60, 65, 70, 75, 80$ = Una previsione per ogni studente

Sottrai ogni previsione dal punteggio osservato: | $x$ | $y$ | $\hat{y}$ | $e = y - \hat{y}$ | |---|---|---|---| | 1 | 57 | 55 | 2 | | 2 | 58 | 60 | -2 | | 3 | 62 | 65 | -3 | | 4 | 72 | 70 | 2 | | 5 | 78 | 75 | 3 | | 6 | 78 | 80 | -2 | = Residui: $2, -2, -3, 2, 3, -2$

Somma i residui: $2 + (-2) + (-3) + 2 + 3 + (-2)$ = $\sum e = 0$

Answer: I residui sono $2, -2, -3, 2, 3, -2$ e la loro somma è $0$. Con la retta dei minimi quadrati succede sempre: gli scarti positivi e negativi si compensano.

Somma dei quadrati dei residui

Per gli stessi sei studenti, confronta la retta dei minimi quadrati $\hat{y} = 5x + 50$ con la retta $\hat{y} = 5x + 51$ usando la somma dei quadrati dei residui (SQR).

Eleva al quadrato i residui della retta dei minimi quadrati: $2^2 + (-2)^2 + (-3)^2 + 2^2 + 3^2 + (-2)^2 = 4 + 4 + 9 + 4 + 9 + 4$ = $\text{SQR} = 34$

Trova i residui dell'altra retta: Previsioni $56, 61, 66, 71, 76, 81$, quindi residui $1, -3, -4, 1, 2, -3$ = La loro somma è $-6$, non $0$

Elevali al quadrato e sommali: $1 + 9 + 16 + 1 + 4 + 9$ = $\text{SQR} = 40$

Confronta: $34 < 40$ = $\hat{y} = 5x + 50$ si adatta meglio

Answer: La retta dei minimi quadrati ha $\text{SQR} = 34$, l'altra retta $40$. Nessuna retta può scendere sotto $34$ con questi dati: è proprio questo il significato di "minimi quadrati".

Leggere un grafico dei residui

Un'app ha avuto questi download (in migliaia) nei mesi da $1$ a $6$: $20, 24, 31, 41, 54, 70$. La retta dei minimi quadrati è $\hat{y} = 10x + 5$. Calcola i residui e decidi se una retta è un buon modello.

Calcola le previsioni: $\hat{y} = 15, 25, 35, 45, 55, 65$ = Una previsione per ogni mese

Calcola i residui: $20 - 15, 24 - 25, 31 - 35, 41 - 45, 54 - 55, 70 - 65$ = $5, -1, -4, -4, -1, 5$

Osserva l'andamento nel grafico dei residui: Positivi ai due estremi, negativi al centro = Una curva a U

Trai la conclusione: Un andamento curvo significa che i dati si piegano allontanandosi dalla retta = Una retta non è un buon modello

Answer: I residui $5, -1, -4, -4, -1, 5$ formano una U. I download crescono sempre più in fretta, quindi un modello curvo si adatterebbe meglio di una retta, anche se la somma dei residui è comunque $0$.

Mistake: Calcolare previsto meno osservato ($\hat{y} - y$)

Why: Così tutti i segni si invertono: i punti sopra la retta avrebbero residui negativi e quelli sotto residui positivi.

Correct: Usa sempre osservato meno previsto: $e = y - \hat{y}$. Positivo significa sopra la retta.

Mistake: Giudicare una retta dalla semplice somma dei suoi residui

Why: Per la retta dei minimi quadrati la somma è sempre $0$, anche quando la retta si adatta male, perché i residui positivi e negativi si compensano.

Correct: Prima eleva i residui al quadrato e poi sommali (SQR), oppure guarda il grafico dei residui.

Mistake: Pensare che un grafico dei residui curvo vada bene perché in media i punti sono vicini a zero

Why: Una curva netta (a U, a collina) significa che i dati seguono una curvatura che una retta non può seguire.

Correct: Un modello lineare va bene solo quando il grafico dei residui sembra una dispersione casuale intorno a $0$, senza alcun andamento.

Mistake: Dimenticare l'unità di misura o la grandezza di un residuo

Why: Un residuo di $-3$ su un punteggio significa 3 punti, non il 3 %. La sua grandezza ha senso solo nell'unità di $y$.

Correct: Dillo nel contesto: "La retta ha sovrastimato il punteggio di Leo di 3 punti."

Stima dei tempi di consegna

Le app di consegna prevedono il tempo di un ordine in base alla distanza. Dopo ogni consegna, il residuo mostra se la stima era troppo corta o troppo lunga.

Con $\hat{y} = 2x + 10$ minuti per $x$ km, per un ordine di 5 km si prevedono $20$ minuti. Se ci sono voluti $18$ minuti, il residuo è $18 - 20 = -2$.

Esperimenti sulla crescita delle piante

I biologi adattano una retta all'altezza delle piante nel tempo. A una pianta con un grande residuo negativo forse mancano luce o acqua.

Con $\hat{y} = 1{,}5x + 4$ cm dopo $x$ settimane, ci si aspetta che una pianta sia alta $10$ cm dopo 4 settimane.

Modelli nelle scienze dello sport

Gli allenatori prevedono l'altezza del salto di un atleta dai dati di allenamento e giudicano il modello dalla somma dei quadrati dei residui: più è piccola, meglio è.

Se un modello sbaglia di $3$ cm e di $-3$ cm per due atleti, la somma dei residui è $0$, ma la somma dei quadrati dei residui è $9 + 9 = 18$.

Q: Perché si chiama residuo?

A: "Residuo" significa "ciò che resta". È la parte di $y$ che la retta non spiega: il valore che rimane quando togli la previsione.

Q: Perché eleviamo i residui al quadrato invece di sommarli e basta?

A: I residui semplici si compensano (per la retta dei minimi quadrati la loro somma è sempre $0$). Elevandoli al quadrato ogni scarto conta come positivo e gli scarti grandi pesano molto di più.

Q: Un residuo grande è un errore?

A: Non per forza. Significa solo che il punto non segue bene l'andamento. Controlla se c'è un errore di battitura nei dati, ma anche i dati reali possono contenere casi insoliti.

Q: In che cosa un grafico dei residui è diverso da un diagramma di dispersione?

A: Un diagramma di dispersione mostra $y$ in funzione di $x$. Un grafico dei residui mostra il residuo $e$ in funzione di $x$, quindi la retta di regressione diventa la retta orizzontale $e = 0$ e qualsiasi andamento sfuggito alla retta si vede subito.