Perché eleviamo i residui al quadrato invece di sommarli e basta?

I residui semplici si compensano (per la retta dei minimi quadrati la loro somma è sempre $0$). Elevandoli al quadrato ogni scarto conta come positivo e gli scarti grandi pesano molto di più.

Un residuo grande è un errore?

Non per forza. Significa solo che il punto non segue bene l'andamento. Controlla se c'è un errore di battitura nei dati, ma anche i dati reali possono contenere casi insoliti.

In che cosa un grafico dei residui è diverso da un diagramma di dispersione?

Un diagramma di dispersione mostra $y$ in funzione di $x$. Un grafico dei residui mostra il residuo $e$ in funzione di $x$, quindi la retta di regressione diventa la retta orizzontale $e = 0$ e qualsiasi andamento sfuggito alla retta si vede subito.

Risorse per insegnanti

Residui

Q: Perché si chiama residuo?

"Residuo" significa "ciò che resta". È la parte di $y$ che la retta non spiega: il valore che rimane quando togli la previsione.

Impara che cos'è un residuo, come calcolare i residui in una tabella e come un grafico dei residui mostra se una retta si adatta ai dati.

Avanzato25 minLezione

Scheda da stampare

Definizione

Un residuo è la distanza verticale tra un punto dei dati e la retta di regressione. Indica di quanto la previsione della retta si è allontanata dal valore reale:

e = y - \hat{y}

$y$ è il valore osservato (ciò che è successo davvero)
$\hat{y}$ è il valore previsto dalla retta (si legge "y cappello")
$e$ è il residuo, sempre osservato meno previsto

Il segno di un residuo ti dice dove si trova il punto:

$e > 0$ : il punto è sopra la retta (la retta ha previsto troppo poco)
$e < 0$ : il punto è sotto la retta (la retta ha previsto troppo)
$e = 0$ : il punto è esattamente sulla retta

Un residuo ha la stessa unità di misura di

y

. Per la retta di regressione dei minimi quadrati, la somma dei residui è sempre zero:

\sum e = 0

Prova subito

Quale formula dà il residuo di un punto dei dati?

Esempi svolti

La retta di regressione tra ore di studio (

x

) e punteggio della verifica (

y

) è

\hat{y} = 5x + 50

. Mia ha studiato

4

ore e ha preso

72

. Calcola il suo residuo.

Calcola il punteggio previsto

\hat{y} = 5(4) + 50 = 20 + 50

→

\hat{y} = 70

Sottrai: osservato meno previsto

e = y - \hat{y} = 72 - 70

→

e = 2

Interpreta il segno

e > 0

, quindi il punto di Mia è sopra la retta → Ha preso 2 punti in più del previsto

Risposta: Il residuo di Mia è $2$ : ha preso 2 punti in più di quanto prevedeva la retta, quindi il suo punto è sopra la retta.

Errori comuni

Calcolare previsto meno osservato ( $\hat{y} - y$ )

Perché è sbagliato: Così tutti i segni si invertono: i punti sopra la retta avrebbero residui negativi e quelli sotto residui positivi.

Corretto: Usa sempre osservato meno previsto: $e = y - \hat{y}$ . Positivo significa sopra la retta.

Giudicare una retta dalla semplice somma dei suoi residui

Perché è sbagliato: Per la retta dei minimi quadrati la somma è sempre $0$ , anche quando la retta si adatta male, perché i residui positivi e negativi si compensano.

Corretto: Prima eleva i residui al quadrato e poi sommali (SQR), oppure guarda il grafico dei residui.

Pensare che un grafico dei residui curvo vada bene perché in media i punti sono vicini a zero

Perché è sbagliato: Una curva netta (a U, a collina) significa che i dati seguono una curvatura che una retta non può seguire.

Corretto: Un modello lineare va bene solo quando il grafico dei residui sembra una dispersione casuale intorno a $0$ , senza alcun andamento.

Dimenticare l'unità di misura o la grandezza di un residuo

Perché è sbagliato: Un residuo di $-3$ su un punteggio significa 3 punti, non il 3 %. La sua grandezza ha senso solo nell'unità di $y$ .

Corretto: Dillo nel contesto: "La retta ha sovrastimato il punteggio di Leo di 3 punti."

Visuale interattivo

Grafico a dispersione

Ore di studio e punteggi con i residui

ŷ = 5x + 50

r = 0,963 · correlazione positiva forte

Tocca un punto per vedere le sue coordinate.

Grafico a dispersione

Grafico dei residui: dispersione casuale (il modello lineare va bene)

residuo = 0

Tocca un punto per vedere le sue coordinate.

Grafico a dispersione

Grafico dei residui: curva a U (il modello lineare non va bene)

residuo = 0

Tocca un punto per vedere le sue coordinate.

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Un punto dei dati si trova sotto la retta di regressione. Che segno ha il suo residuo?

Perché è importante

Con i residui gli statistici controllano un modello invece di fidarsi ciecamente:

La retta è buona? Residui piccoli significano che le previsioni sono vicine alla realtà.
Una retta è la forma giusta? Un grafico dei residui (i residui in funzione di x) mostra una nuvola casuale quando una retta va bene e una curva quando non va bene.
Qual è la retta migliore? La retta dei minimi quadrati è quella con la più piccola somma dei quadrati dei residui.
Casi insoliti: un residuo molto grande segnala un punto che non segue l'andamento, per esempio un errore di battitura nei dati o un caso particolare.

I servizi meteo, le app di consegna, i medici e gli scienziati dello sport confrontano continuamente previsioni con ciò che è successo davvero, e ognuno di questi confronti è un residuo.

Applicazioni nel mondo reale

Stima dei tempi di consegna

Le app di consegna prevedono il tempo di un ordine in base alla distanza. Dopo ogni consegna, il residuo mostra se la stima era troppo corta o troppo lunga.

Esempio:

Con $\hat{y} = 2x + 10$ minuti per $x$ km, per un ordine di 5 km si prevedono $20$ minuti. Se ci sono voluti $18$ minuti, il residuo è $18 - 20 = -2$ .

1Provaci tu stesso

Il modello dell'app è $\hat{y} = 2x + 10$ (minuti, $x$ in km). Un ordine di $6$ km ha richiesto $25$ minuti.

Qual è il residuo di questo ordine?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Osservato meno previsto:

Esperimenti sulla crescita delle piante

I biologi adattano una retta all'altezza delle piante nel tempo. A una pianta con un grande residuo negativo forse mancano luce o acqua.

Esempio:

Con $\hat{y} = 1{,}5x + 4$ cm dopo $x$ settimane, ci si aspetta che una pianta sia alta $10$ cm dopo 4 settimane.

2Provaci tu stesso

Il modello di crescita è $\hat{y} = 1{,}5x + 4$ (cm, $x$ in settimane). Dopo $8$ settimane una pianta è alta $14{,}5$ cm.

Qual è il residuo di questa pianta?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Osservato meno previsto:

Modelli nelle scienze dello sport

Gli allenatori prevedono l'altezza del salto di un atleta dai dati di allenamento e giudicano il modello dalla somma dei quadrati dei residui: più è piccola, meglio è.

Esempio:

Se un modello sbaglia di $3$ cm e di $-3$ cm per due atleti, la somma dei residui è $0$ , ma la somma dei quadrati dei residui è $9 + 9 = 18$ .

3Provaci tu stesso

Un modello dei minimi quadrati per l'altezza del salto ha residui di $2$ , $-1$ e $-1$ cm per tre atleti.

Qual è la somma dei quadrati dei residui?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Eleva ogni residuo al quadrato e somma:

Punti chiave

1Un residuo è osservato meno previsto: $e = y - \hat{y}$
2Un residuo positivo significa che il punto è sopra la retta, uno negativo che è sotto
3I residui hanno la stessa unità di misura di $y$ e si organizzano facilmente in una tabella: $x$ , $y$ , $\hat{y}$ , $e$
4La somma dei residui della retta dei minimi quadrati è sempre $0$
5Un grafico dei residui con dispersione casuale intorno a $0$ significa che una retta va bene; un andamento curvo significa che non va bene
6La retta dei minimi quadrati è la retta con la più piccola somma dei quadrati dei residui

Domande frequenti

"Residuo" significa "ciò che resta". È la parte di

y

che la retta non spiega: il valore che rimane quando togli la previsione.

Glossario

Residuo: Valore osservato meno valore previsto: $e = y - \hat{y}$
Valore osservato: Il vero valore di $y$ di un punto dei dati, misurato o raccolto
Valore previsto: Il valore $\hat{y}$ che la retta di regressione dà per un certo $x$
Grafico dei residui: Un grafico dei residui in funzione di $x$ , con una retta orizzontale a $0$
Somma dei quadrati dei residui (SQR): La somma $\sum (y - \hat{y})^2$ ; la retta dei minimi quadrati la rende la più piccola possibile
Retta dei minimi quadrati: La retta di regressione con la più piccola somma dei quadrati dei residui

Scheda formule

Residuo

e = y - \hat{y}

Osservato meno previsto; positivo sopra la retta, negativo sotto

Somma dei residui

\sum e = 0

Vale sempre per la retta di regressione dei minimi quadrati

Somma dei quadrati dei residui

\text{SQR} = \sum (y - \hat{y})^2

La retta dei minimi quadrati rende questo valore il più piccolo possibile (si scrive anche $SS_{\text{res}}$)

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Somma dei residui

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