Deviazione standard

Impara a misurare la dispersione dei dati usando la deviazione standard e comprendi cosa ci dice su un insieme di dati.

Avanzato25 minLezione
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Definizione

La deviazione standard è una misura di quanto i numeri sono dispersi rispetto alla media. Ci dice quanto i valori dei dati tipicamente differiscono dalla media.
σ=∑(xi−xˉ)2n\sigma = \sqrt{\frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n}}
Dove:
  • σ\sigma (sigma) = deviazione standard
  • xix_i = ogni valore dei dati
  • xˉ\bar{x} = la media
  • nn = numero di valori
  • ∑\sum = somma di tutti i valori
Punto chiave: Una deviazione standard piccola significa che i dati sono vicini alla media. Una deviazione standard grande significa che i dati sono lontani dalla media.

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Cosa misura la deviazione standard?

Esempi svolti

Trova la deviazione standard di: 4,8,6,5,74, 8, 6, 5, 7
1

Trova la media

xˉ=4+8+6+5+75=305=6\bar{x} = \frac{4 + 8 + 6 + 5 + 7}{5} = \frac{30}{5} = 6 → Media = 66
2

Trova ogni scostamento dalla media

4−6=−24-6=-2, 8−6=28-6=2, 6−6=06-6=0, 5−6=−15-6=-1, 7−6=17-6=1 → Scostamenti: −2,2,0,−1,1-2, 2, 0, -1, 1
3

Eleva al quadrato ogni scostamento

(−2)2=4(-2)^2=4, (2)2=4(2)^2=4, (0)2=0(0)^2=0, (−1)2=1(-1)^2=1, (1)2=1(1)^2=1 → Quadrati: 4,4,0,1,14, 4, 0, 1, 1
4

Trova la media dei quadrati degli scostamenti (varianza)

Varianza=4+4+0+1+15=105=2\text{Varianza} = \frac{4+4+0+1+1}{5} = \frac{10}{5} = 2 → Varianza = 22
5

Calcola la radice quadrata per ottenere la deviazione standard

σ=2≈1,41\sigma = \sqrt{2} \approx 1{,}41 → σ≈1,41\sigma \approx 1{,}41

Errori comuni

Dimenticare di elevare al quadrato gli scostamenti

Perché è sbagliato: Senza elevare al quadrato, gli scostamenti positivi e negativi si annullerebbero, dando un risultato fuorviante di zero.

Corretto: Eleva sempre al quadrato gli scostamenti: (xi−xˉ)2(x_i - \bar{x})^2. Questo assicura che tutti i valori siano positivi.

Dimenticare la radice quadrata finale

Perché è sbagliato: Senza la radice quadrata, hai la varianza, non la deviazione standard. Misurano la stessa cosa ma in unità diverse.

Corretto: Deviazione standard = varianza\sqrt{\text{varianza}}. Calcola sempre la radice quadrata alla fine.

Confondere le formule di popolazione e campione

Perché è sbagliato: La deviazione standard campionaria divide per (n−1)(n-1) invece di nn per correggere la distorsione quando si stima da un campione.

Corretto: Popolazione: dividi per nn. Campione: dividi per (n−1)(n-1). In questa lezione, usiamo la formula della popolazione.

Visuale interattivo

Diagramma a punti

Classe A: 70, 72, 68, 71, 69

5060708090

Ogni punto è un valore (5 valori in tutto).

Media = 70

Tocca una colonna per contare i suoi punti.

Diagramma a punti

Classe B: 50, 90, 60, 80, 70

5060708090

Ogni punto è un valore (5 valori in tutto).

Media = 70

Tocca una colonna per contare i suoi punti.

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

15 esercizi
Problema 1 di 15
Facile
Cosa misura la deviazione standard?

Perché è importante

La deviazione standard è ovunque nella vita reale:
  • Controllo qualità: Le fabbriche la usano per assicurare che i prodotti siano uniformi. Una bassa deviazione standard significa prodotti affidabili.
  • Voti degli esami: Gli insegnanti la usano per capire quanto varia il rendimento degli studenti.
  • Finanza: Gli investitori la usano per misurare il rischio. Deviazione standard più alta = più volatilità = più rischio.
  • Meteo: I meteorologi la usano per descrivere la variabilità della temperatura.
  • Sport: Gli allenatori analizzano la costanza delle prestazioni dei giocatori.
Senza la deviazione standard, non potremmo sapere se i dati sono raggruppati o dispersi!

Applicazioni nel mondo reale

Controllo qualità nella produzione

Le fabbriche misurano le dimensioni dei prodotti per assicurare l'uniformità. La deviazione standard mostra quanta variazione esiste.

Esempio:

Una fabbrica di bulloni punta a bulloni di 1010 mm di diametro. Se la deviazione standard è 0,10{,}1 mm, la maggior parte dei bulloni è tra 9,99{,}9 e 10,110{,}1 mm.

1Provaci tu stesso

La fabbrica A produce bulloni con diametro medio di 1010 mm e deviazione standard di 0,050{,}05 mm. La fabbrica B produce anche bulloni con media di 1010 mm ma deviazione standard di 0,20{,}2 mm.

Quale fabbrica produce bulloni più uniformi?

Passo 1: Scegli la risposta giusta

Confronta le deviazioni standard e scegli la fabbrica:

Analisi del rischio negli investimenti

Gli analisti finanziari usano la deviazione standard per misurare quanto fluttuano i rendimenti di un investimento (volatilità).

Esempio:

L'azione A ha rendimenti con deviazione standard del 5%5\%. L'azione B ha deviazione standard del 20%20\%. L'azione B è più rischiosa perché i suoi rendimenti variano di più.

2Provaci tu stesso

Due fondi di investimento hanno entrambi un rendimento annuale medio dell'8%8\%. Il fondo X ha una deviazione standard del 3%3\%, mentre il fondo Y ha una deviazione standard del 12%12\%.

Quale fondo è meno rischioso per un investitore prudente?

Passo 1: Scegli la risposta giusta

Confronta i livelli di rischio e scegli il fondo:

Punti chiave

  • 1La deviazione standard misura quanto i dati sono dispersi rispetto alla media
  • 2Formula: σ=∑(xi−xˉ)2n\sigma = \sqrt{\frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n}}
  • 3Deviazione standard piccola = dati raggruppati vicino alla media
  • 4Deviazione standard grande = dati lontani dalla media
  • 5Per calcolare: trova la media, trova gli scostamenti, elevali al quadrato, trova la media dei quadrati, calcola la radice quadrata

Domande frequenti

La varianza è la media dei quadrati degli scostamenti dalla media. La deviazione standard è la radice quadrata della varianza. Misurano la stessa cosa, ma la deviazione standard è nelle stesse unità dei tuoi dati, rendendola più facile da interpretare.
La varianza è la media dei quadrati degli scostamenti dalla media. La deviazione standard è la radice quadrata della varianza. Misurano la stessa cosa, ma la deviazione standard è nelle stesse unità dei tuoi dati, rendendola più facile da interpretare.
No. La deviazione standard è sempre zero o positiva. Poiché eleviamo tutti gli scostamenti al quadrato (rendendoli positivi) e poi calcoliamo la radice quadrata, il risultato non può essere negativo. Una deviazione standard di zero significa che tutti i valori sono identici.
Se sommassimo semplicemente gli scostamenti, i valori positivi e negativi si annullerebbero (la loro somma è zero). Elevare al quadrato assicura che tutti i valori diventino positivi, così si accumulano invece di annullarsi.

Glossario

Deviazione standard
Una misura di quanto i numeri sono dispersi rispetto alla media, calcolata come radice quadrata della varianza
Varianza
La media dei quadrati delle differenze dalla media; il quadrato della deviazione standard
Scostamento
La differenza tra un punto di dati e la media (xi−xˉx_i - \bar{x})
Media
La somma di un insieme di numeri divisa per la loro quantità
Popolazione
L'intero gruppo studiato; la deviazione standard della popolazione divide per nn
Campione
Un sottoinsieme della popolazione; la deviazione standard campionaria divide per (n−1)(n-1)
Sfida di oggiUn problema, tre tentativi

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