Calcolo della deviazione standard (Piccolo insieme di dati)

Trova la deviazione standard di: $4, 8, 6, 5, 7$

Trova la media: $\bar{x} = \frac{4 + 8 + 6 + 5 + 7}{5} = \frac{30}{5} = 6$ = Media = $6$

Trova ogni scostamento dalla media: $4-6=-2$, $8-6=2$, $6-6=0$, $5-6=-1$, $7-6=1$ = Scostamenti: $-2, 2, 0, -1, 1$

Eleva al quadrato ogni scostamento: $(-2)^2=4$, $(2)^2=4$, $(0)^2=0$, $(-1)^2=1$, $(1)^2=1$ = Quadrati: $4, 4, 0, 1, 1$

Trova la media dei quadrati degli scostamenti (varianza): $\text{Varianza} = \frac{4+4+0+1+1}{5} = \frac{10}{5} = 2$ = Varianza = $2$

Calcola la radice quadrata per ottenere la deviazione standard: $\sigma = \sqrt{2} \approx 1{,}41$ = $\sigma \approx 1{,}41$

Answer: La deviazione standard è circa $1{,}41$, il che significa che i valori tipicamente differiscono dalla media di circa $1{,}41$ unità.

Confronto di due insiemi di dati

Voti della classe A: $70, 72, 68, 71, 69$ (Media = $70$) Voti della classe B: $50, 90, 60, 80, 70$ (Media = $70$) Quale classe ha voti più costanti?

Calcola scostamenti e quadrati per la classe A: $(70-70)^2 + (72-70)^2 + (68-70)^2 + (71-70)^2 + (69-70)^2$ $= 0 + 4 + 4 + 1 + 1 = 10$ = Somma dei quadrati = $10$

Calcola la deviazione standard della classe A: $\sigma_A = \sqrt{\frac{10}{5}} = \sqrt{2} \approx 1{,}41$ = $\sigma_A \approx 1{,}41$

Calcola scostamenti e quadrati per la classe B: $(50-70)^2 + (90-70)^2 + (60-70)^2 + (80-70)^2 + (70-70)^2$ $= 400 + 400 + 100 + 100 + 0 = 1000$ = Somma dei quadrati = $1000$

Calcola la deviazione standard della classe B: $\sigma_B = \sqrt{\frac{1000}{5}} = \sqrt{200} \approx 14{,}14$ = $\sigma_B \approx 14{,}14$

Confronta i risultati: $\sigma_A \approx 1{,}41$ vs $\sigma_B \approx 14{,}14$ = La classe A è molto più costante

Answer: La classe A ha voti più costanti. Anche se entrambe le classi hanno la stessa media ($70$), la deviazione standard della classe A ($1{,}41$) è molto minore di quella della classe B ($14{,}14$).

Trovare la varianza dalla deviazione standard

Un insieme di dati ha una deviazione standard di $\sigma = 5$. Qual è la varianza?

Ricorda la relazione: Varianza = $(\sigma)^2$ Deviazione standard = $\sqrt{\text{Varianza}}$ = La varianza è il quadrato della deviazione standard

Eleva al quadrato la deviazione standard: Varianza = $5^2 = 25$ = Varianza = $25$

Verifica invertendo: $\sqrt{25} = 5 = \sigma$ (corretto!) = Verifica superata

Answer: La varianza è $25$. Poiché la deviazione standard è la radice quadrata della varianza, elevare al quadrato la deviazione standard dà la varianza.

Mistake: Dimenticare di elevare al quadrato gli scostamenti

Why: Senza elevare al quadrato, gli scostamenti positivi e negativi si annullerebbero, dando un risultato fuorviante di zero.

Correct: Eleva sempre al quadrato gli scostamenti: $(x_i - \bar{x})^2$. Questo assicura che tutti i valori siano positivi.

Mistake: Dimenticare la radice quadrata finale

Why: Senza la radice quadrata, hai la varianza, non la deviazione standard. Misurano la stessa cosa ma in unità diverse.

Correct: Deviazione standard = $\sqrt{\text{varianza}}$. Calcola sempre la radice quadrata alla fine.

Mistake: Confondere le formule di popolazione e campione

Why: La deviazione standard campionaria divide per $(n-1)$ invece di $n$ per correggere la distorsione quando si stima da un campione.

Correct: Popolazione: dividi per $n$. Campione: dividi per $(n-1)$. In questa lezione, usiamo la formula della popolazione.

Controllo qualità nella produzione

Le fabbriche misurano le dimensioni dei prodotti per assicurare l'uniformità. La deviazione standard mostra quanta variazione esiste.

Una fabbrica di bulloni punta a bulloni di $10$ mm di diametro. Se la deviazione standard è $0{,}1$ mm, la maggior parte dei bulloni è tra $9{,}9$ e $10{,}1$ mm.

Analisi del rischio negli investimenti

Gli analisti finanziari usano la deviazione standard per misurare quanto fluttuano i rendimenti di un investimento (volatilità).

L'azione A ha rendimenti con deviazione standard del $5\%$. L'azione B ha deviazione standard del $20\%$. L'azione B è più rischiosa perché i suoi rendimenti variano di più.

Q: Qual è la differenza tra deviazione standard e varianza?

A: La varianza è la media dei quadrati degli scostamenti dalla media. La deviazione standard è la radice quadrata della varianza. Misurano la stessa cosa, ma la deviazione standard è nelle stesse unità dei tuoi dati, rendendola più facile da interpretare.

Q: La deviazione standard può essere negativa?

A: No. La deviazione standard è sempre zero o positiva. Poiché eleviamo tutti gli scostamenti al quadrato (rendendoli positivi) e poi calcoliamo la radice quadrata, il risultato non può essere negativo. Una deviazione standard di zero significa che tutti i valori sono identici.

Q: Perché eleviamo al quadrato gli scostamenti?

A: Se sommassimo semplicemente gli scostamenti, i valori positivi e negativi si annullerebbero (la loro somma è zero). Elevare al quadrato assicura che tutti i valori diventino positivi, così si accumulano invece di annullarsi.