Graficare la funzione seno

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Qual è l'ampiezza di $y = \sin(x)$ ?
1. a) $2$
2. b) $\pi$
3. c) $1$
4. d) $2\pi$
Risposta: $1$
La funzione seno base oscilla tra $-1$ e $1$ , quindi l'ampiezza (distanza dalla linea mediana 0 al picco 1) è $1$ .
2.
Qual è il periodo di $y = \sin(x)$ ?
1. a) $1$
2. b) $\pi$
3. c) $2\pi$
4. d) $360$
Risposta: $2\pi$
La funzione seno completa un ciclo completo da 0 a $2\pi$ radianti (o 360 gradi). In radianti, il periodo è $2\pi$ .
3.
Quanto vale $\sin(0)$ ?
Risposta: 0
$\sin(0) = 0$ . La curva seno passa per l'origine, iniziando la sua oscillazione da zero.
4.
Quanto vale $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$ ?
Risposta: 1
$\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ . A $\frac{\pi}{2}$ radianti (90 gradi), il seno raggiunge il suo valore massimo.
5.
Qual è l'insieme immagine di $y = \sin(x)$ ?
1. a)Tutti i numeri reali
2. b) $[-\pi, \pi]$
3. c) $[-1, 1]$
4. d) $[0, 1]$
Risposta: $[-1, 1]$
La funzione seno oscilla tra un minimo di $-1$ e un massimo di $1$ , quindi l'insieme immagine è $[-1, 1]$ .
6.
Qual è l'ampiezza di $y = 5\sin(x)$ ?
Risposta: 5
In $y = A\sin(x)$ , l'ampiezza è $|A|$ . Qui $A = 5$ , quindi l'ampiezza è $5$ .
7.
Qual è il periodo di $y = \sin(2x)$ ?
1. a) $\frac{\pi}{2}$
2. b) $4\pi$
3. c) $2\pi$
4. d) $\pi$
Risposta: $\pi$
Periodo $= \frac{2\pi}{|B|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$ . Il grafico completa un ciclo in $\pi$ radianti.
8.
Qual è il periodo di $y = \sin(4x)$ ? Esprimi la risposta in termini di $\pi$ .
Risposta: pi/2
Periodo $= \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ . Il coefficiente 4 comprime il grafico orizzontalmente.
9.
Qual è l'insieme immagine di $y = 3\sin(x)$ ?
1. a) $[-6, 6]$
2. b) $[-3, 3]$
3. c) $[0, 3]$
4. d) $[-1, 1]$
Risposta: $[-3, 3]$
Con ampiezza 3 e linea mediana a $y = 0$ , l'insieme immagine va da $0 - 3 = -3$ a $0 + 3 = 3$ , quindi $[-3, 3]$ .
10.
Trova l'ampiezza e il periodo di $y = 2\sin(3x)$ .
Risposta: Ampiezza = 2, periodo = 2π/3
1. Qual è il coefficiente davanti al seno (il valore di A)? 2
2. Qual è l'ampiezza? 2
3. Qual è il coefficiente di x dentro il seno (il valore di B)? 3
4. Qual è il periodo? (Usa la formula) 2pi/3
11.
In quale direzione si sposta $y = \sin(x - \frac{\pi}{3})$ rispetto a $y = \sin(x)$ ?
1. a)Verso l'alto di $\frac{\pi}{3}$
2. b)Verso sinistra di $\frac{\pi}{3}$
3. c)Verso destra di $\frac{\pi}{3}$
4. d)Verso il basso di $\frac{\pi}{3}$
Risposta: Verso destra di $\frac{\pi}{3}$
Quando abbiamo $(x - c)$ dentro il seno, il grafico si sposta verso DESTRA di $c$ . Qui $c = \frac{\pi}{3}$ , quindi si sposta a destra di $\frac{\pi}{3}$ .
12.
Trova l'insieme immagine di $y = 2\sin(x) + 3$ .
Risposta: [1, 5]
1. Qual è l'ampiezza di questa funzione? 2
2. Qual è la traslazione verticale (linea mediana)? 3
3. Qual è il valore minimo (linea mediana - ampiezza)? 1
4. Qual è il valore massimo (linea mediana + ampiezza)? 5
13.
Per $y = 3\sin(2x - \frac{\pi}{2}) + 1$ , trova l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.
Risposta: Ampiezza = 3, periodo = π, sfasamento = π/4 verso destra, traslazione verticale = 1 verso l'alto
1. Qual è l'ampiezza (|A|)? 3
2. Quanto vale B (coefficiente di x)? 2
3. Qual è il periodo (2π/|B|)? pi
4. Quanto vale C (il valore sottratto da Bx)? pi/2
5. Qual è lo sfasamento (C/B)? Includi la direzione. π/4 verso destra
6. Qual è la traslazione verticale (D)? 1
14.
Qual è l'insieme immagine di $y = -2\sin(x) + 4$ ?
1. a) $[-6, -2]$
2. b) $[-2, 2]$
3. c) $[2, 6]$
4. d) $[4, 6]$
Risposta: $[2, 6]$
Ampiezza = 2 (il segno meno ribalta il grafico ma non cambia l'insieme immagine). Linea mediana = 4. Insieme immagine: $[4-2, 4+2] = [2, 6]$ .
15.
Un'onda sonora ha una frequenza di 440 Hz. Qual è il suo periodo in secondi? Arrotonda a 4 decimali.
Risposta: 0.0023
Periodo $= \frac{1}{440} \approx 0,00227$ secondi, che si arrotonda a $0,0023$ secondi.
16.
Scrivi l'equazione per una funzione seno con ampiezza 4, periodo $\pi$ , sfasamento $\frac{\pi}{6}$ verso destra e linea mediana $y = -2$ .
Risposta: y = 4sin(2x - pi/3) - 2
1. Quanto vale A (l'ampiezza)? 4
2. Se periodo = π, quanto vale B? (Usa 2π/B = π) 2
3. Sfasamento = C/B = π/6. Con B=2, quanto vale C? pi/3
4. Quanto vale D (la traslazione verticale)? -2
5. Scrivi l'equazione completa nella forma y = A sin(Bx - C) + D y = 4sin(2x - pi/3) - 2