Leggere tutti e quattro i parametri

Per $y = 3\sin(2(x - \frac{\pi}{6})) - 1$, trova ampiezza, periodo, sfasamento, linea mediana e insieme immagine.

Confrontare con la forma generale: Confronta con $y = A\sin(B(x - C)) + D$ = $A = 3,\ B = 2,\ C = \frac{\pi}{6},\ D = -1$

Ampiezza e periodo: Ampiezza $= |3| = 3$, periodo $= \frac{2\pi}{2} = \pi$ = Ampiezza $3$, periodo $\pi$

Sfasamento e linea mediana: $C = \frac{\pi}{6} > 0$, quindi lo spostamento è verso destra; $D = -1$ = $\frac{\pi}{6}$ a destra, linea mediana $y = -1$

Insieme immagine: $[D - |A|,\ D + |A|] = [-1 - 3,\ -1 + 3]$ = $[-4, 2]$

Answer: Ampiezza $3$, periodo $\pi$, sfasamento $\frac{\pi}{6}$ a destra, linea mediana $y = -1$, insieme immagine $[-4, 2]$.

Raccogliere B prima di leggere lo spostamento

Trova lo sfasamento e il periodo di $y = \sin(3x - \pi)$.

Raccogliere $B = 3$: $3x - \pi = 3\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ = $y = \sin(3(x - \frac{\pi}{3}))$

Leggere lo sfasamento: $C = \frac{\pi}{3} > 0$ = $\frac{\pi}{3}$ a destra

Trovare il periodo: $\frac{2\pi}{B} = \frac{2\pi}{3}$ = Periodo $\frac{2\pi}{3}$

Controllare dove inizia il ciclo: Il ciclo inizia dove la parentesi vale $0$: $3x - \pi = 0$ = $x = \frac{\pi}{3}$, torna

Answer: Lo sfasamento è $\frac{\pi}{3}$ a destra (non $\pi$) e il periodo è $\frac{2\pi}{3}$.

Disegnare con i cinque punti chiave

Disegna un periodo di $y = 2\sin(2(x - \frac{\pi}{4})) + 1$.

Leggere i parametri: Confronta con $y = A\sin(B(x - C)) + D$ = $A = 2,\ B = 2,\ C = \frac{\pi}{4},\ D = 1$

Periodo e passo: Periodo $= \frac{2\pi}{2} = \pi$, passo $= \frac{\pi}{4}$ = Passo $\frac{\pi}{4}$

I cinque valori di x: Parti da $x = C = \frac{\pi}{4}$ e aggiungi $\frac{\pi}{4}$ quattro volte = $\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{4},\ \pi,\ \frac{5\pi}{4}$

I cinque valori di y (schema del seno): Linea mediana $1$, massimo $1 + 2 = 3$, linea mediana $1$, minimo $1 - 2 = -1$, linea mediana $1$ = $1,\ 3,\ 1,\ -1,\ 1$

Segnare e unire: Traccia un'onda regolare per i cinque punti e ripetila da entrambi i lati = Insieme immagine $[-1, 3]$

Answer: Un ciclo va da $x = \frac{\pi}{4}$ a $x = \frac{5\pi}{4}$ passando per $(\frac{\pi}{4}, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 3)$, $(\frac{3\pi}{4}, 1)$, $(\pi, -1)$ e $(\frac{5\pi}{4}, 1)$. L'insieme immagine è $[-1, 3]$.

Un coseno riflesso

Disegna un periodo di $y = -3\cos(\frac{1}{2}(x + \pi)) + 2$.

Leggere i parametri: $x + \pi = x - (-\pi)$ = $A = -3,\ B = \frac{1}{2},\ C = -\pi,\ D = 2$

Periodo e passo: Periodo $= \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$, passo $= \frac{4\pi}{4} = \pi$ = Passo $\pi$

I cinque valori di x: Parti da $x = -\pi$ e aggiungi $\pi$ quattro volte = $-\pi,\ 0,\ \pi,\ 2\pi,\ 3\pi$

I cinque valori di y: Il coseno parte da un massimo, ma $A < 0$ lo capovolge: minimo, linea mediana, massimo, linea mediana, minimo con minimo $2 - 3$ e massimo $2 + 3$ = $-1,\ 2,\ 5,\ 2,\ -1$

Dominio e insieme immagine: $[D - |A|,\ D + |A|] = [2 - 3,\ 2 + 3]$ = Dominio tutti i reali, immagine $[-1, 5]$

Answer: Punti chiave $(-\pi, -1)$, $(0, 2)$, $(\pi, 5)$, $(2\pi, 2)$, $(3\pi, -1)$. L'insieme immagine è $[-1, 5]$.

L'ordine delle trasformazioni

Descrivi, nell'ordine giusto, come $y = \sin(x)$ diventa $y = 2\sin(3x + \frac{\pi}{2}) - 1$, e trova il primo massimo a destra dell'inizio del ciclo.

Raccogliere $B = 3$: $3x + \frac{\pi}{2} = 3\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ = $C = -\frac{\pi}{6}$

Cambiamenti orizzontali (dentro): Prima comprimere di un fattore $3$ (periodo $\frac{2\pi}{3}$), poi traslare = $\frac{\pi}{6}$ a sinistra

Cambiamenti verticali (fuori): Prima dilatare di un fattore $2$ (ampiezza $2$), poi traslare = $1$ verso il basso, linea mediana $y = -1$

Primo massimo: Inizio $x = -\frac{\pi}{6}$, passo $= \frac{2\pi/3}{4} = \frac{\pi}{6}$, quindi massimo in $-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}$ con $y = -1 + 2$ = $(0, 1)$

Verificare nell'equazione di partenza: $2\sin(3 \cdot 0 + \frac{\pi}{2}) - 1 = 2 \cdot 1 - 1$ = $1$, corretto

Answer: Comprimere orizzontalmente di $3$, traslare di $\frac{\pi}{6}$ a sinistra, dilatare verticalmente di $2$, traslare di $1$ verso il basso. Il ciclo inizia in $x = -\frac{\pi}{6}$ e il primo massimo è $(0, 1)$.

Mistake: Leggere lo sfasamento di $y = \sin(2x - \pi)$ come $\pi$

Why: Lo spostamento è il numero sottratto alla $x$ stessa, non a $2x$. $B$ moltiplica tutta la parentesi, quindi comprime anche lo spostamento.

Correct: Raccogli prima $B$: $\sin(2(x - \frac{\pi}{2}))$, quindi lo spostamento è $\frac{\pi}{2}$ a destra.

Mistake: Traslare $y = \cos(x + \frac{\pi}{3})$ verso destra

Why: La forma generale contiene $x - C$. Qui $x + \frac{\pi}{3} = x - (-\frac{\pi}{3})$, quindi $C = -\frac{\pi}{3}$ è negativo.

Correct: Un segno più dentro la parentesi indica uno spostamento verso sinistra: $\frac{\pi}{3}$ a sinistra.

Mistake: Far partire i punti chiave da $x = 0$ o avanzare di un periodo intero

Why: Dopo uno sfasamento il ciclo non parte più da $0$, e i cinque punti devono dividere UN periodo in quattro parti uguali.

Correct: Parti da $x = C$ e avanza con passi di $\frac{\text{periodo}}{4}$. Con periodo $\pi$ il passo è $\frac{\pi}{4}$.

Mistake: Tenere il solito ordine di massimo e minimo quando $A < 0$

Why: Un $A$ negativo riflette l'onda rispetto alla sua linea mediana: ogni massimo diventa un minimo e viceversa.

Correct: Per $y = -2\sin(x)$ lo schema è linea mediana, minimo, linea mediana, massimo, linea mediana. L'ampiezza resta $2$.

Altezza sulla ruota panoramica

L'altezza di una cabina su una ruota panoramica che gira è un coseno trasformato: il centro della ruota dà la linea mediana e il raggio dà l'ampiezza.

Una ruota di raggio 20 m, con il centro a 22 m da terra, compie un giro ogni 30 minuti. Una cabina che parte dal basso si trova all'altezza $h(t) = -20\cos(\frac{\pi}{15}t) + 22$ metri dopo $t$ minuti, e il periodo è $\frac{2\pi}{\pi/15} = 30$.

Le maree in un porto

Le capitanerie di porto prevedono la profondità dell'acqua con un modello sinusoidale di periodo circa 12 ore, così le navi sanno quando possono entrare.

La profondità $d(t) = 1{,}5\sin(\frac{\pi}{6}(t - 3)) + 4$ metri, $t$ ore dopo mezzanotte, ha linea mediana 4 m, ampiezza 1,5 m e periodo $\frac{2\pi}{\pi/6} = 12$ ore. La profondità oscilla tra 2,5 m e 5,5 m.

Ore di luce

Il numero di ore di luce durante l'anno segue un'onda sinusoidale con periodo di 365 giorni. La linea mediana è a 12 ore, la durata del giorno agli equinozi.

In una città del Nord Europa, $L(t) = 4\sin(\frac{2\pi}{365}(t - 80)) + 12$ ore, dove $t$ è il giorno dell'anno. Il giorno 80 (verso il 21 marzo) è l'equinozio di primavera, e la durata del giorno oscilla tra 8 e 16 ore.

Q: Perché lo sfasamento di $\sin(2x - \pi)$ non è $\pi$?

A: Perché $B = 2$ moltiplica tutta la parentesi. Raccoglilo: $\sin(2x - \pi) = \sin(2(x - \frac{\pi}{2}))$. Il ciclo inizia dove la parentesi vale $0$, in $x = \frac{\pi}{2}$, quindi lo spostamento è $\frac{\pi}{2}$.

Q: L'ordine delle trasformazioni conta davvero?

A: Sì, per una traslazione e una dilatazione nella stessa direzione. Se trasli $\sin(x)$ di $\frac{\pi}{2}$ a destra e POI comprimi di un fattore $2$, ottieni $\sin(2x - \frac{\pi}{2}) = \sin(2(x - \frac{\pi}{4}))$, uno spostamento di soli $\frac{\pi}{4}$. I cambiamenti orizzontali e verticali non si influenzano, quindi puoi eseguire questi due gruppi in qualsiasi ordine.

Q: I punti chiave funzionano allo stesso modo per il coseno?

A: Sì. Parti da $x = C$ e avanza con passi di $\frac{\text{periodo}}{4}$ come per il seno. Cambia solo lo schema dei valori di y: il coseno fa massimo, linea mediana, minimo, linea mediana, massimo (o il contrario se $A < 0$).

Q: E se $B$ è negativo?

A: Riscrivi prima la funzione. Il seno è dispari, $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$, quindi $\sin(-2x) = -\sin(2x)$. Il coseno è pari, $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$, quindi $\cos(-2x) = \cos(2x)$. A quel punto $B > 0$ e il metodo funziona come sempre.