L'ordine delle trasformazioni conta davvero?

Sì, per una traslazione e una dilatazione nella stessa direzione. Se trasli $\sin(x)$ di $\frac{\pi}{2}$ a destra e POI comprimi di un fattore $2$, ottieni $\sin(2x - \frac{\pi}{2}) = \sin(2(x - \frac{\pi}{4}))$, uno spostamento di soli $\frac{\pi}{4}$. I cambiamenti orizzontali e verticali non si influenzano, quindi puoi eseguire questi due gruppi in qualsiasi ordine.

I punti chiave funzionano allo stesso modo per il coseno?

Sì. Parti da $x = C$ e avanza con passi di $\frac{\text{periodo}}{4}$ come per il seno. Cambia solo lo schema dei valori di y: il coseno fa massimo, linea mediana, minimo, linea mediana, massimo (o il contrario se $A < 0$).

E se $B$ è negativo?

Riscrivi prima la funzione. Il seno è dispari, $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$, quindi $\sin(-2x) = -\sin(2x)$. Il coseno è pari, $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$, quindi $\cos(-2x) = \cos(2x)$. A quel punto $B > 0$ e il metodo funziona come sempre.

Risorse per insegnanti

Trasformazioni dei grafici goniometrici

Q: Perché lo sfasamento di $\sin(2x - \pi)$ non è $\pi$?

Perché $B = 2$ moltiplica tutta la parentesi. Raccoglilo: $\sin(2x - \pi) = \sin(2(x - \frac{\pi}{2}))$. Il ciclo inizia dove la parentesi vale $0$, in $x = \frac{\pi}{2}$, quindi lo spostamento è $\frac{\pi}{2}$.

Q: E se $B$ è negativo?

Riscrivi prima la funzione. Il seno è dispari, $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$, quindi $\sin(-2x) = -\sin(2x)$. Il coseno è pari, $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$, quindi $\cos(-2x) = \cos(2x)$. A quel punto $B > 0$ e il metodo funziona come sempre.

Disegna qualsiasi funzione seno o coseno della forma y = A sin(B(x - C)) + D: cosa fa ogni parametro, il giusto ordine delle trasformazioni e il metodo dei cinque punti chiave.

Avanzato30 minLezione

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Scheda da stampare

Definizione

Un grafico di seno o coseno trasformato ha la forma generale

y = A\sin(B(x - C)) + D \quad \text{oppure} \quad y = A\cos(B(x - C)) + D

Ognuno dei quattro parametri modifica il grafico di partenza

y = \sin(x)

y = \cos(x)

in un solo modo (in questa lezione

B > 0

Parametro	Cosa fa	Caratteristica
$A$	dilatazione o compressione verticale; se $A < 0$ riflette anche l'onda rispetto alla sua linea mediana	ampiezza $= \lvert A \rvert$
$B$	compressione ( $B > 1$ ) o dilatazione ( $B < 1$ ) orizzontale	periodo $= \frac{2\pi}{B}$
$C$	traslazione orizzontale: a destra se $C > 0$ , a sinistra se $C < 0$	sfasamento $= C$
$D$	traslazione verticale	linea mediana $y = D$

L'ordine: prima dilatare, poi traslare

Dentro la parentesi si comprime o si dilata prima con

B

, poi si trasla di

C

. Fuori si dilata prima con

A

(e si riflette se

A < 0

), poi si trasla di

D

. **Raccogli sempre

B

** prima di leggere lo sfasamento:

\sin(2x - \pi) = \sin(2(x - \frac{\pi}{2}))

, quindi lo spostamento è

\frac{\pi}{2}

, non

\pi

Il metodo dei cinque punti chiave

1.Un ciclo inizia in $x = C$ e finisce in $x = C + \text{periodo}$ .
2.Dividilo in quattro passi uguali: $\text{passo} = \frac{\text{periodo}}{4}$ .
3.Inserisci i valori di y. Seno: linea mediana, massimo, linea mediana, minimo, linea mediana. Coseno: massimo, linea mediana, minimo, linea mediana, massimo. Se $A < 0$ , scambia massimo e minimo.
4.Massimo $= D + |A|$ , minimo $= D - |A|$ , valore sulla linea mediana $= D$ .

Dominio: tutti i numeri reali. Insieme immagine:

[D - |A|,\ D + |A|]

Prova subito

Qual è l'ampiezza di

y = -4\sin(2x) + 1

Esempi svolti

Per

y = 3\sin(2(x - \frac{\pi}{6})) - 1

, trova ampiezza, periodo, sfasamento, linea mediana e insieme immagine.

Confrontare con la forma generale

Confronta con

y = A\sin(B(x - C)) + D

→

A = 3,\ B = 2,\ C = \frac{\pi}{6},\ D = -1

Ampiezza e periodo

Ampiezza

= |3| = 3

, periodo

= \frac{2\pi}{2} = \pi

→ Ampiezza

3

, periodo

\pi

Sfasamento e linea mediana

C = \frac{\pi}{6} > 0

, quindi lo spostamento è verso destra;

D = -1

→

\frac{\pi}{6}

a destra, linea mediana

y = -1

Insieme immagine

[D - |A|,\ D + |A|] = [-1 - 3,\ -1 + 3]

→

[-4, 2]

Risposta: Ampiezza $3$ , periodo $\pi$ , sfasamento $\frac{\pi}{6}$ a destra, linea mediana $y = -1$ , insieme immagine $[-4, 2]$ .

Errori comuni

Leggere lo sfasamento di $y = \sin(2x - \pi)$ come $\pi$

Perché è sbagliato: Lo spostamento è il numero sottratto alla $x$ stessa, non a $2x$ . $B$ moltiplica tutta la parentesi, quindi comprime anche lo spostamento.

Corretto: Raccogli prima $B$ : $\sin(2(x - \frac{\pi}{2}))$ , quindi lo spostamento è $\frac{\pi}{2}$ a destra.

Traslare $y = \cos(x + \frac{\pi}{3})$ verso destra

Perché è sbagliato: La forma generale contiene $x - C$ . Qui $x + \frac{\pi}{3} = x - (-\frac{\pi}{3})$ , quindi $C = -\frac{\pi}{3}$ è negativo.

Corretto: Un segno più dentro la parentesi indica uno spostamento verso sinistra: $\frac{\pi}{3}$ a sinistra.

Far partire i punti chiave da $x = 0$ o avanzare di un periodo intero

Perché è sbagliato: Dopo uno sfasamento il ciclo non parte più da $0$ , e i cinque punti devono dividere UN periodo in quattro parti uguali.

Corretto: Parti da $x = C$ e avanza con passi di $\frac{\text{periodo}}{4}$ . Con periodo $\pi$ il passo è $\frac{\pi}{4}$ .

Tenere il solito ordine di massimo e minimo quando $A < 0$

Perché è sbagliato: Un $A$ negativo riflette l'onda rispetto alla sua linea mediana: ogni massimo diventa un minimo e viceversa.

Corretto: Per $y = -2\sin(x)$ lo schema è linea mediana, minimo, linea mediana, massimo, linea mediana. L'ampiezza resta $2$ .

Visuale interattivo

Grafico della funzione

A = 1B = 1C = 0D = 0

y = sin(x)

Sfida 1 di 6

Allunga e alza

Muovi i cursori finché la tua curva non coincide esattamente con la curva obiettivo tratteggiata.

Vicinanza

0 su 6 risolte

A: più grande
B: giusto
C: giusto
D: più grande

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

y = A·sin(B(x − C)) + DAllunga e alza

Grafico della funzione

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

Tocca un nome per mostrare o nascondere il suo grafico.

Tabella dei valori

x	0,785398	1,5708	2,35619	3,14159	3,92699
sin(x)	0,707107	1	0,707107	-1,02068 × 10^-11	-0,707107
2·sin(2(x − π/4)) + 1	1	3	1	-1	1
Linea mediana y = 1	1	1	1	1	1

Sandbox interattivo

Graficatore interattivo

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

Prova questi esempi:

2sin(2(x - pi/4)) + 1

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Qual è l'ampiezza di

y = -4\sin(2x) + 1

Perché è importante

Quasi tutti i fenomeni che si ripetono in natura e nella tecnica si modellano con un seno o un coseno trasformato, e i quattro parametri hanno sempre un significato concreto:

Ruota panoramica: il raggio è l'ampiezza, l'altezza del centro è la linea mediana, un giro è il periodo
Maree: la profondità dell'acqua sale e scende attorno a una profondità media circa ogni 12 ore
Ore di luce: la durata del giorno oscilla attorno alle 12 ore con un periodo di 365 giorni
Suono ed elettricità: l'ampiezza è il volume o la tensione, il periodo fissa l'altezza del suono o la frequenza

Se sai trasformare un'equazione in uno schizzo in un minuto, leggi direttamente nella formula i valori più alti e più bassi e i momenti in cui si verificano. È proprio quello che fanno ingegneri, oceanografi e climatologi con questi modelli.

Applicazioni nel mondo reale

Altezza sulla ruota panoramica

L'altezza di una cabina su una ruota panoramica che gira è un coseno trasformato: il centro della ruota dà la linea mediana e il raggio dà l'ampiezza.

Esempio:

Una ruota di raggio 20 m, con il centro a 22 m da terra, compie un giro ogni 30 minuti. Una cabina che parte dal basso si trova all'altezza $h(t) = -20\cos(\frac{\pi}{15}t) + 22$ metri dopo $t$ minuti, e il periodo è $\frac{2\pi}{\pi/15} = 30$ .

1Provaci tu stesso

L'altezza della cabina è $h(t) = -20\cos(\frac{\pi}{15}t) + 22$ metri, con $t$ in minuti.

A che altezza da terra si trova la cabina nel suo punto più alto (in metri)?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Punto più alto = linea mediana + ampiezza:

Le maree in un porto

Le capitanerie di porto prevedono la profondità dell'acqua con un modello sinusoidale di periodo circa 12 ore, così le navi sanno quando possono entrare.

Esempio:

La profondità $d(t) = 1{,}5\sin(\frac{\pi}{6}(t - 3)) + 4$ metri, $t$ ore dopo mezzanotte, ha linea mediana 4 m, ampiezza 1,5 m e periodo $\frac{2\pi}{\pi/6} = 12$ ore. La profondità oscilla tra 2,5 m e 5,5 m.

2Provaci tu stesso

Una grande nave ha bisogno dell'alta marea. La profondità è $d(t) = 1{,}5\sin(\frac{\pi}{6}(t - 3)) + 4$ metri, $t$ ore dopo mezzanotte.

In quale momento $t$ (in ore dopo mezzanotte) c'è la prima alta marea dopo $t = 3$ ?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Inizio del ciclo più un quarto di periodo:

Ore di luce

Il numero di ore di luce durante l'anno segue un'onda sinusoidale con periodo di 365 giorni. La linea mediana è a 12 ore, la durata del giorno agli equinozi.

Esempio:

In una città del Nord Europa, $L(t) = 4\sin(\frac{2\pi}{365}(t - 80)) + 12$ ore, dove $t$ è il giorno dell'anno. Il giorno 80 (verso il 21 marzo) è l'equinozio di primavera, e la durata del giorno oscilla tra 8 e 16 ore.

3Provaci tu stesso

La durata del giorno è $L(t) = 4\sin(\frac{2\pi}{365}(t - 80)) + 12$ ore, dove $t$ è il giorno dell'anno.

In quale giorno dell'anno la luce dura di più? Arrotonda a un giorno intero.

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Inizio del ciclo più un quarto di periodo, arrotondato:

Punti chiave

1In $y = A\sin(B(x - C)) + D$ : $|A|$ è l'ampiezza, $\frac{2\pi}{B}$ il periodo, $C$ lo sfasamento e $y = D$ la linea mediana
2Prima dilatare, poi traslare: dentro la parentesi $B$ prima di $C$ , fuori $A$ prima di $D$
3Raccogli sempre $B$ prima di leggere lo sfasamento: $\sin(2x - \pi) = \sin(2(x - \frac{\pi}{2}))$
4 $x - C$ sposta di $C$ a destra, $x + C$ sposta di $C$ a sinistra
5Cinque punti chiave: inizio in $x = C$ , passo $= \frac{\text{periodo}}{4}$ . Seno: linea mediana, massimo, linea mediana, minimo, linea mediana; coseno: massimo, linea mediana, minimo, linea mediana, massimo; $A < 0$ scambia massimo e minimo
6Il dominio è l'insieme dei numeri reali e l'insieme immagine è $[D - |A|,\ D + |A|]$

Domande frequenti

Perché

B = 2

moltiplica tutta la parentesi. Raccoglilo:

\sin(2x - \pi) = \sin(2(x - \frac{\pi}{2}))

. Il ciclo inizia dove la parentesi vale

0

, in

x = \frac{\pi}{2}

, quindi lo spostamento è

\frac{\pi}{2}

Glossario

Ampiezza: Distanza dalla linea mediana a un massimo o a un minimo: $|A|$
Periodo: Lunghezza orizzontale di un ciclo completo: $\frac{2\pi}{B}$
Sfasamento: Traslazione orizzontale del grafico: $C$ in $x - C$ (a destra se positivo, a sinistra se negativo)
Linea mediana: La retta orizzontale $y = D$ a metà strada tra massimo e minimo (detta anche retta media)
Punti chiave: I cinque punti che dividono un ciclo in quattro passi uguali: inizio, un quarto, metà, tre quarti, fine
Riflessione: Ribaltamento dell'onda rispetto alla sua linea mediana, causato da un $A$ negativo

Scheda formule

Forma generale

y = A\sin(B(x - C)) + D

Stesse lettere per il coseno: $y = A\cos(B(x - C)) + D$

Ampiezza

|A|

Dilatazione verticale; $A < 0$ riflette anche l'onda

Periodo

\frac{2\pi}{B}

Lunghezza di un ciclo

Sfasamento e linea mediana

C

y = D

A destra se $C > 0$, a sinistra se $C < 0$; in alto se $D > 0$, in basso se $D < 0$

Passo dei punti chiave

\frac{\text{periodo}}{4}

Parti da $x = C$ e aggiungi il passo quattro volte

Insieme immagine

[D - |A|,\ D + |A|]

Dal minimo al massimo

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Le maree in un porto

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Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Forma generale

Ampiezza

Periodo

Sfasamento e linea mediana

Passo dei punti chiave

Insieme immagine

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