Un'onda che parte da un massimo

Un grafico ha un massimo di $5$ in $x = 0$, un minimo di $1$ e periodo $2\pi$. Scrivi la sua equazione.

Trova la linea mediana D: $D = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2}$ = $D = 3$

Trova l'ampiezza A: $A = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2}$ = $A = 2$

Trova B dal periodo: $B = \frac{2\pi}{2\pi}$ = $B = 1$

Scegli la forma e C: L'onda parte da un massimo in $x = 0$, quindi usa il coseno con $C = 0$ = $C = 0$

Answer: $y = 2\cos(x) + 3$

Un'equazione con il coseno da una descrizione

Un'onda ha un massimo di $4$ in $x = \frac{\pi}{4}$, un minimo di $-2$ e periodo $\pi$. Scrivi un'equazione con il coseno.

Trova la linea mediana D: $D = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2}$ = $D = 1$

Trova l'ampiezza A: $A = \frac{4 - (-2)}{2} = \frac{6}{2}$ = $A = 3$

Trova B: $B = \frac{2\pi}{\pi}$ = $B = 2$

Trova C dal massimo: Il coseno parte da un massimo, e il massimo è in $x = \frac{\pi}{4}$ = $C = \frac{\pi}{4}$

Verifica un punto: In $x = \frac{\pi}{4}$: $3\cos(0) + 1 = 3 + 1$ = $4$, il massimo

Answer: $y = 3\cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) + 1$

La stessa onda con il seno

Scrivi l'onda dell'esempio precedente (max $4$ in $x = \frac{\pi}{4}$, min $-2$, periodo $\pi$) come equazione con il seno.

Tieni A, B e D: Non dipendono dalla forma = $A = 3$, $B = 2$, $D = 1$

Trova un quarto di periodo: Un quarto del periodo: $\frac{1}{4} \cdot \pi$ = $\frac{\pi}{4}$

Trova dove l'onda attraversa la linea mediana salendo: Il seno raggiunge il massimo un quarto di periodo dopo la partenza: $\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}$ = $C = 0$

Verifica un punto: In $x = \frac{\pi}{4}$: $3\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 1 = 3 + 1$ = $4$, il massimo

Answer: $y = 3\sin(2x) + 1$ disegna esattamente la stessa onda di $y = 3\cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) + 1$

Altezza sulla ruota panoramica

Una ruota panoramica ha un diametro di $40$ m e il suo centro è a $22$ m dal suolo. Fa un giro ogni $8$ minuti. Sali nel punto più basso a $t = 0$. Scrivi la tua altezza $h$ (in m) dopo $t$ minuti.

Trova l'altezza massima e minima: Raggio $= 20$ m: in basso $22 - 20$, in alto $22 + 20$ = min $= 2$ m, max $= 42$ m

Trova D e l'ampiezza: $D = \frac{42 + 2}{2}$, ampiezza $= \frac{42 - 2}{2}$ = $D = 22$, ampiezza $= 20$

Trova B: $B = \frac{2\pi}{8}$ = $B = \frac{\pi}{4}$

Scegli la forma: A $t = 0$ sei nel minimo. Un coseno con $A$ negativa parte da un minimo = $A = -20$, $C = 0$

Verifica: $t = 0$: $-20\cos(0) + 22 = 2$; $t = 4$: $-20\cos(\pi) + 22 = 42$ = In basso alla partenza, in alto dopo mezzo giro

Answer: $h(t) = -20\cos\left(\frac{\pi}{4}t\right) + 22$, oppure la stessa onda come $h(t) = 20\cos\left(\frac{\pi}{4}(t - 4)\right) + 22$

Modello delle maree

In un porto l'acqua è profonda $7$ m con l'alta marea delle 2:00 e $3$ m con la bassa marea successiva, alle 8:00. Scrivi un modello per la profondità $y$ dopo $x$ ore (dalla mezzanotte) e trova la profondità alle 6:00.

Trova il periodo: Dall'alta alla bassa marea c'è mezzo ciclo: $8 - 2 = 6$ ore, quindi il periodo è $2 \cdot 6$ = periodo $= 12$ ore

Trova A e D: $A = \frac{7 - 3}{2}$, $D = \frac{7 + 3}{2}$ = $A = 2$, $D = 5$

Trova B: $B = \frac{2\pi}{12}$ = $B = \frac{\pi}{6}$

Trova C: Usa il coseno: il massimo è in $x = 2$ = $C = 2$

Trova la profondità alle 6:00: $y = 2\cos\left(\frac{\pi}{6}(6 - 2)\right) + 5 = 2\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + 5 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 5$ = $y = 4$ m

Answer: $y = 2\cos\left(\frac{\pi}{6}(x - 2)\right) + 5$; alle 6:00 l'acqua è profonda $4$ m

Mistake: Usare il massimo come ampiezza (max $7$, min $3$, quindi $A = 7$)

Why: L'ampiezza si misura dalla linea mediana, non dall'asse x. L'onda sale solo di $2$ unità sopra la sua linea mediana $y = 5$.

Correct: $A = \frac{\text{max} - \text{min}}{2} = \frac{7 - 3}{2} = 2$, e il $5$ va in $D$.

Mistake: Scrivere il periodo al posto di B (periodo $12$, quindi $B = 12$)

Why: B non è il periodo. Una B più grande fa ripetere l'onda più in fretta, quindi il periodo diventa più corto.

Correct: $B = \frac{2\pi}{\text{periodo}} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$.

Mistake: Sbagliare il segno di C: un massimo in $x = 2$ scritto come $\cos(B(x + 2))$

Why: Dentro la parentesi lo spostamento ha il segno opposto. $(x + 2)$ sposta l'onda verso sinistra.

Correct: Un massimo in $x = 2$ significa $\cos(B(x - 2))$. Verifica: in $x = 2$ la parentesi vale $0$ e $\cos(0) = 1$.

Mistake: Usare il seno e mettere C nel massimo

Why: Il seno non parte da un massimo. In $x = C$ l'onda del seno è sulla linea mediana e sta salendo.

Correct: Con il seno prendi il punto in cui l'onda attraversa la linea mediana salendo, un quarto di periodo prima del massimo. Oppure usa il coseno e prendi il massimo.

Ore di luce

Astronomi e ingegneri solari descrivono la durata del giorno con un'onda di coseno che si ripete ogni anno.

In una città del nord il giorno più lungo (giorno $172$, intorno al 21 giugno) ha $16$ ore di luce e il più corto $8$. Un modello è $y = 4\cos\left(\frac{2\pi}{365}(d - 172)\right) + 12$.

Ruote panoramiche

I progettisti di attrazioni usano l'equazione dell'altezza per controllare quanto velocemente salgono i passeggeri e quanto tempo restano in cima.

Una ruota di $50$ m di diametro con il centro a $30$ m di altezza fa un giro ogni $12$ minuti. Salendo nel punto più basso vale $h(t) = -25\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 30$.

Un peso appeso a una molla

Gli ingegneri descrivono le vibrazioni (sospensioni delle auto, ponti, sensori) con le stesse equazioni di un peso che oscilla appeso a una molla.

Un peso oscilla tra $4$ cm e $16$ cm sopra un tavolo e impiega $2$ secondi per un'oscillazione completa.

Q: Devo usare il seno o il coseno?

A: Vanno bene entrambi. Usa quello che rende $C$ più semplice: il coseno se leggi bene un massimo, il seno se vedi dove l'onda attraversa la linea mediana salendo.

Q: La mia risposta è diversa da quella del libro. È sbagliata?

A: Non per forza. Verifica un massimo e un minimo in entrambe le equazioni. Se danno gli stessi valori nella stessa $x$, disegnano la stessa onda. Per esempio $y = 3\sin(2x) + 1$ e $y = 3\cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) + 1$ sono lo stesso grafico.

Q: Come trovo il periodo se vedo solo una parte dell'onda?

A: Misura la distanza orizzontale tra due massimi vicini (un periodo intero), oppure tra un massimo e il minimo successivo (mezzo periodo) e raddoppiala.

Q: E se il problema usa ore o giorni invece dei radianti?

A: Il metodo non cambia: $B = \frac{2\pi}{\text{periodo}}$, con il periodo nella stessa unità di $x$. Una marea con periodo $12$ ore ha $B = \frac{\pi}{6}$, un andamento annuale ha $B = \frac{2\pi}{365}$.