La mia risposta è diversa da quella del libro. È sbagliata?

Non per forza. Verifica un massimo e un minimo in entrambe le equazioni. Se danno gli stessi valori nella stessa $x$, disegnano la stessa onda. Per esempio $y = 3\sin(2x) + 1$ e $y = 3\cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) + 1$ sono lo stesso grafico.

Come trovo il periodo se vedo solo una parte dell'onda?

Misura la distanza orizzontale tra due massimi vicini (un periodo intero), oppure tra un massimo e il minimo successivo (mezzo periodo) e raddoppiala.

E se il problema usa ore o giorni invece dei radianti?

Il metodo non cambia: $B = \frac{2\pi}{\text{periodo}}$, con il periodo nella stessa unità di $x$. Una marea con periodo $12$ ore ha $B = \frac{\pi}{6}$, un andamento annuale ha $B = \frac{2\pi}{365}$.

Risorse per insegnanti

Scrivere l'equazione di una sinusoide dal grafico

Q: Devo usare il seno o il coseno?

Vanno bene entrambi. Usa quello che rende $C$ più semplice: il coseno se leggi bene un massimo, il seno se vedi dove l'onda attraversa la linea mediana salendo.

Leggi massimo, minimo, periodo e un punto di partenza su un'onda e trasformali in y = A sin(B(x - C)) + D o in un'equazione con il coseno.

Avanzato30 minLezione

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Scheda da stampare

Definizione

Nelle lezioni precedenti sei passato dall'equazione al grafico. Ora facciamo il contrario: guardi un'onda (o ne leggi la descrizione) e scrivi la sua equazione.

Ogni onda di seno o coseno si può scrivere in una di queste forme:

y = A\sin(B(x - C)) + D \qquad y = A\cos(B(x - C)) + D

Ti servono solo quattro letture dal grafico: il massimo, il minimo, il periodo e un punto di partenza.

Lettera	Che cosa indica	Come trovarla
$D$	linea mediana (traslazione verticale)	$D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$
$A$	ampiezza	$A = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$
$B$	quanto in fretta l'onda si ripete	$B = \frac{2\pi}{\text{periodo}}$
$C$	sfasamento (traslazione orizzontale)	dove inizia un ciclo

**Come scegliere

C

:**

Il coseno parte da un massimo: $C$ = la $x$ di un massimo.
Il seno parte sulla linea mediana, salendo: $C$ = la $x$ in cui il grafico attraversa la linea mediana mentre sale.

Lo stesso grafico ha molte equazioni corrette. Puoi partire da qualsiasi massimo (aggiungere o togliere un periodo intero a

C

), passare dal seno al coseno (spostare

C

di un quarto di periodo) o usare una

A

negativa (allora il coseno parte da un minimo). Tutte disegnano la stessa onda.

Prova subito

Una sinusoide ha un massimo di

8

e un minimo di

2

. Qual è la sua linea mediana?

Esempi svolti

Un grafico ha un massimo di

5

x = 0

, un minimo di

1

e periodo

2\pi

. Scrivi la sua equazione.

Trova la linea mediana D

D = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2}

→

D = 3

Trova l'ampiezza A

A = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2}

→

A = 2

Trova B dal periodo

B = \frac{2\pi}{2\pi}

→

B = 1

Scegli la forma e C

L'onda parte da un massimo in

x = 0

, quindi usa il coseno con

C = 0

Risposta: $y = 2\cos(x) + 3$

Errori comuni

Usare il massimo come ampiezza (max $7$ , min $3$ , quindi $A = 7$ )

Perché è sbagliato: L'ampiezza si misura dalla linea mediana, non dall'asse x. L'onda sale solo di $2$ unità sopra la sua linea mediana $y = 5$ .

Corretto: $A = \frac{\text{max} - \text{min}}{2} = \frac{7 - 3}{2} = 2$ , e il $5$ va in $D$ .

Scrivere il periodo al posto di B (periodo $12$ , quindi $B = 12$ )

Perché è sbagliato: B non è il periodo. Una B più grande fa ripetere l'onda più in fretta, quindi il periodo diventa più corto.

Corretto: $B = \frac{2\pi}{\text{periodo}} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$ .

Sbagliare il segno di C: un massimo in $x = 2$ scritto come $\cos(B(x + 2))$

Perché è sbagliato: Dentro la parentesi lo spostamento ha il segno opposto. $(x + 2)$ sposta l'onda verso sinistra.

Corretto: Un massimo in $x = 2$ significa $\cos(B(x - 2))$ . Verifica: in $x = 2$ la parentesi vale $0$ e $\cos(0) = 1$ .

Usare il seno e mettere C nel massimo

Perché è sbagliato: Il seno non parte da un massimo. In $x = C$ l'onda del seno è sulla linea mediana e sta salendo.

Corretto: Con il seno prendi il punto in cui l'onda attraversa la linea mediana salendo, un quarto di periodo prima del massimo. Oppure usa il coseno e prendi il massimo.

Visuale interattivo

Grafico della funzione

A = 1B = 1C = 0D = 0

y = sin(x)

Sfida 1 di 5

Muovi i cursori finché la tua curva non coincide esattamente con la curva obiettivo tratteggiata.

Vicinanza

0 su 5 risolte

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

y = A·sin(B(x − C)) + DCurva obiettivo

Grafico della funzione

A = 1B = 1C = 0D = 0

y = cos(x)

Sfida 1 di 3

Muovi i cursori finché la tua curva non coincide esattamente con la curva obiettivo tratteggiata.

Vicinanza

0 su 3 risolte

A: più piccolo
B: giusto
C: giusto
D: più grande

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

y = A·cos(B(x − C)) + DCurva obiettivo

Grafico della funzione

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

livello dell'acqualinea mediana y = 5

Sandbox interattivo

Graficatore interattivo

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

Prova questi esempi:

2cos(x) + 3

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Una sinusoide ha un massimo di

8

e un minimo di

2

. Qual è la sua linea mediana?

Perché è importante

Tutto ciò che si ripete con un ciclo regolare si può descrivere con un'equazione di seno o coseno, e nella vita reale non ti danno quasi mai prima l'equazione. Ti danno dei dati: un valore più alto, un valore più basso e quanto dura un ciclo.

Ruote panoramiche: la tua altezza dal suolo sale e scende a ogni giro
Maree: il livello del mare passa dall'alta alla bassa marea circa ogni 12 ore
Ore di luce: le ore di luce sono massime in estate e si ripetono ogni 365 giorni
Molle e pendoli: un peso oscilla su e giù in un tempo fisso
Temperatura: la temperatura media giornaliera segue un'onda annuale

Quando sai scrivere l'equazione, puoi fare previsioni: l'altezza dopo 2 minuti, il livello dell'acqua alle 6:00, le ore di luce il giorno del tuo compleanno.

Applicazioni nel mondo reale

Ore di luce

Astronomi e ingegneri solari descrivono la durata del giorno con un'onda di coseno che si ripete ogni anno.

Esempio:

In una città del nord il giorno più lungo (giorno $172$ , intorno al 21 giugno) ha $16$ ore di luce e il più corto $8$ . Un modello è $y = 4\cos\left(\frac{2\pi}{365}(d - 172)\right) + 12$ .

1Provaci tu stesso

Un'altra città ha $15$ ore di luce nel giorno più lungo e $9$ ore nel più corto. L'andamento si ripete ogni $365$ giorni.

Quale valore di B va nel modello $y = A\cos(B(d - C)) + D$ ?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Usa $B = \frac{2\pi}{\text{periodo}}$ :

Ruote panoramiche

I progettisti di attrazioni usano l'equazione dell'altezza per controllare quanto velocemente salgono i passeggeri e quanto tempo restano in cima.

Esempio:

Una ruota di $50$ m di diametro con il centro a $30$ m di altezza fa un giro ogni $12$ minuti. Salendo nel punto più basso vale $h(t) = -25\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 30$ .

2Provaci tu stesso

Sali sulla ruota descritta sopra ( $50$ m di diametro, centro a $30$ m, un giro ogni $12$ minuti) nel punto più basso a $t = 0$ .

A che altezza sei dopo $2$ minuti (in m)?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Sostituisci $t = 2$ in $h(t) = -25\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 30$ :

Un peso appeso a una molla

Gli ingegneri descrivono le vibrazioni (sospensioni delle auto, ponti, sensori) con le stesse equazioni di un peso che oscilla appeso a una molla.

Esempio:

Un peso oscilla tra $4$ cm e $16$ cm sopra un tavolo e impiega $2$ secondi per un'oscillazione completa.

3Provaci tu stesso

Il peso descritto sopra viene lasciato andare dal punto più alto ( $16$ cm) a $t = 0$ . Un'oscillazione completa dura $2$ secondi e il punto più basso è a $4$ cm.

A che altezza è il peso dopo $\frac{1}{3}$ di secondo (in cm)?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Usa $y = 6\cos(\pi t) + 10$ con $t = \frac{1}{3}$ :

Punti chiave

1Linea mediana: $D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$ ; ampiezza: $A = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$
2Dal periodo: $B = \frac{2\pi}{\text{periodo}}$ (da un massimo al minimo successivo c'è mezzo periodo)
3Coseno: $C$ è la $x$ di un massimo; seno: $C$ è il punto in cui l'onda attraversa la linea mediana salendo
4Un'onda che parte da un minimo è un coseno con $A$ negativa
5Un grafico ha molte equazioni corrette: aggiungere periodi interi a $C$ , spostarsi di un quarto di periodo per passare dal seno al coseno, oppure cambiare il segno di $A$ e spostarsi di mezzo periodo
6Verifica sempre un punto (un massimo o un minimo) nella tua equazione finale

Domande frequenti

Vanno bene entrambi. Usa quello che rende

C

più semplice: il coseno se leggi bene un massimo, il seno se vedi dove l'onda attraversa la linea mediana salendo.

Glossario

Linea mediana: La retta orizzontale $y = D$ a metà tra il massimo e il minimo dell'onda (detta anche retta media)
Ampiezza: La distanza dalla linea mediana a un massimo: $\frac{\text{max} - \text{min}}{2}$
Periodo: La lunghezza orizzontale di un ciclo completo; $B = \frac{2\pi}{\text{periodo}}$
Sfasamento: La traslazione orizzontale $C$ : dove inizia un ciclo dell'onda base di seno o coseno
Modello sinusoidale: Un'equazione $y = A\sin(B(x - C)) + D$ o $y = A\cos(B(x - C)) + D$ che descrive una grandezza reale che si ripete

Scheda formule

Forme generali

y = A\sin(B(x - C)) + D

y = A\cos(B(x - C)) + D

Ogni onda di seno o coseno rientra in una di queste forme

Linea mediana

D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}

La media tra il valore più alto e quello più basso

Ampiezza

A = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}

Metà dell'altezza totale dell'onda

B dal periodo

B = \frac{2\pi}{\text{periodo}}

Il periodo è la distanza tra due massimi

Punto di partenza C

\cos

C = x_{\text{max}}

;

\sin

C = x_{\text{linea mediana, sale}}

Il coseno parte da un massimo, il seno dalla linea mediana salendo

Sfida di oggiUn problema, tre tentativi

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Domande frequenti

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Ampiezza

B dal periodo

Punto di partenza C

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