Passare a seno e coseno

Dimostra che $\tan x \cos x = \sin x$.

Scegli il membro su cui lavorare: Il primo membro contiene due funzioni, il secondo solo una. Parti dal primo. = $\tan x \cos x$

Usa l'identità del quoziente: Sostituisci $\tan x$ con $\frac{\sin x}{\cos x}$ = $\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x$

Semplifica il fattore comune: $\cos x$ al numeratore e al denominatore si semplificano (quando $\cos x \neq 0$) = $\sin x$

Confronta con il secondo membro: Il primo membro ora è esattamente uguale al secondo = $\sin x = \sin x$ ✓

Answer: $\tan x \cos x = \sin x$ è un'identità per ogni $x$ con $\cos x \neq 0$.

Ridurre le frazioni, poi Pitagora

Dimostra che $\sec x - \cos x = \sin x \tan x$.

Passare a seno e coseno: $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ = $\frac{1}{\cos x} - \cos x$

Usare un denominatore comune: $\cos x = \frac{\cos^2 x}{\cos x}$ = $\frac{1 - \cos^2 x}{\cos x}$

Applicare l'identità pitagorica: $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ = $\frac{\sin^2 x}{\cos x}$

Separare un fattore: $\frac{\sin^2 x}{\cos x} = \sin x \cdot \frac{\sin x}{\cos x}$ = $\sin x \tan x$ ✓

Answer: $\sec x - \cos x = \sin x \tan x$ è un'identità (per $\cos x \neq 0$). Verifica per $x = 60°$: $2 - 0{,}5 = 1{,}5$ e $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = 1{,}5$.

Moltiplicare per il coniugato

Dimostra che $\dfrac{\sin x}{1 - \cos x} = \dfrac{1 + \cos x}{\sin x}$.

Scegliere il trucco: Il denominatore $1 - \cos x$ ha come coniugato $1 + \cos x$. Moltiplica il primo membro per $\frac{1 + \cos x}{1 + \cos x}$, che vale 1. = $\frac{\sin x\,(1 + \cos x)}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}$

Sviluppare il denominatore: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ = $\frac{\sin x\,(1 + \cos x)}{1 - \cos^2 x}$

Applicare l'identità pitagorica: $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ = $\frac{\sin x\,(1 + \cos x)}{\sin^2 x}$

Semplificare un $\sin x$: $\frac{\sin x}{\sin^2 x} = \frac{1}{\sin x}$ = $\frac{1 + \cos x}{\sin x}$ ✓

Answer: Le due frazioni sono uguali per ogni $x$ con $\sin x \neq 0$. Il coniugato ha trasformato $1 - \cos x$ in $\sin^2 x$.

Partire dal secondo membro

Dimostra che $\dfrac{\cos x}{1 - \sin x} = \sec x + \tan x$.

Scegliere il membro: Il secondo membro contiene due funzioni diverse che si possono riunire, quindi parti da lì. = $\sec x + \tan x$

Convertire e riunire: $\frac{1}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x}$ = $\frac{1 + \sin x}{\cos x}$

Moltiplicare per il coniugato di $1 + \sin x$: $\frac{1 + \sin x}{\cos x} \cdot \frac{1 - \sin x}{1 - \sin x} = \frac{1 - \sin^2 x}{\cos x\,(1 - \sin x)}$ = $\frac{\cos^2 x}{\cos x\,(1 - \sin x)}$

Semplificare un $\cos x$: $\frac{\cos^2 x}{\cos x} = \cos x$ = $\frac{\cos x}{1 - \sin x}$ ✓

Answer: Partendo dal secondo membro siamo arrivati al primo, quindi l'identità è dimostrata (dove $\cos x \neq 0$ e $\sin x \neq 1$).

Confutare con un solo angolo

$\sin x + \cos x = 1$ è un'identità?

Provare angoli semplici: $x = 0°$: $0 + 1 = 1$. $x = 90°$: $1 + 0 = 1$. = Vera per questi due angoli

Provare un angolo intermedio: $x = 45°$: $\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \approx 1{,}414$ = $1{,}414 \neq 1$

Trarre la conclusione: Basta un controesempio: per $45°$ i due membri sono diversi. = Non è un'identità

Vederlo su un grafico: $y = \sin x + \cos x$ è un'onda e $y = 1$ è una retta: si incontrano solo in alcuni punti. = I grafici non si sovrappongono

Answer: $\sin x + \cos x = 1$ è un'equazione (vera per $0°$, $90°$, $360°$, ...), non un'identità. Il controesempio $x = 45°$ la confuta.

Mistake: Lavorare su entrambi i membri come in un'equazione, per esempio moltiplicare in croce $\frac{\sin x}{1 - \cos x} = \frac{1 + \cos x}{\sin x}$ per ottenere $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$

Why: Moltiplicare in croce, spostare termini o dividere entrambi i membri partono tutti dall'affermazione che i due membri sono uguali, cioè proprio ciò che vuoi dimostrare.

Correct: Trasforma un membro finché non diventa l'altro. Il segno di uguale resta intatto fino alla fine.

Mistake: Controllare uno o due angoli e considerare l'identità dimostrata

Why: $\sin x + \cos x = 1$ funziona per $0°$ e $90°$, ma non per $45°$. Qualche esempio vero non dimostra mai che qualcosa vale per ogni angolo.

Correct: Usa i numeri solo per testare o confutare. Una dimostrazione richiede algebra con identità valide per ogni $x$.

Mistake: Spezzare una frazione al denominatore: $\frac{\sin x}{1 - \cos x} = \frac{\sin x}{1} - \frac{\sin x}{\cos x}$

Why: Puoi spezzare una somma al numeratore, $\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$, ma mai una somma al denominatore. Per $x = 60°$ il primo membro vale $1{,}732$ e il secondo $-0{,}866$.

Correct: Per eliminare $1 - \cos x$ da un denominatore, moltiplica numeratore e denominatore per il coniugato $1 + \cos x$.

Mistake: Scrivere $(1 - \cos x)(1 + \cos x) = 1 - \cos x$ oppure $1 + \cos^2 x$

Why: Il prodotto di due coniugati è una differenza di quadrati: entrambi i termini vanno al quadrato e il segno è meno.

Correct: $(1 - \cos x)(1 + \cos x) = 1 - \cos^2 x = \sin^2 x$

Come il calcolo simbolico verifica le identità

I software di matematica controllano se due formule sono uguali sostituendo molti angoli a caso prima di tentare una dimostrazione simbolica completa. Se anche un solo angolo dà valori diversi, le formule sono diverse.

Per confrontare $\sec x - \cos x$ e $\sin x \tan x$, un programma calcola entrambe per angoli come $17°$, $60°$ e $133°$ e trova ogni volta gli stessi valori.

Fisica: semplificare una formula del piano inclinato

Le formule della fisica escono spesso da un calcolo in una forma scomoda. Un'identità le trasforma in una forma più breve, più veloce da calcolare e più facile da capire.

Una forza su un piano inclinato è risultata $F = \dfrac{P\sin\theta}{\tan\theta}$. Poiché $\frac{\sin\theta}{\tan\theta} = \sin\theta \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \cos\theta$, la formula è semplicemente $F = P\cos\theta$.

Computer grafica: le rotazioni conservano le lunghezze

I videogiochi ruotano i punti con $x' = x\cos\theta - y\sin\theta$ e $y' = x\sin\theta + y\cos\theta$. Sviluppando $x'^2 + y'^2$ e usando $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ si dimostra che $x'^2 + y'^2 = x^2 + y^2$ per ogni angolo, quindi gli oggetti non si deformano mai.

Il punto $(3, 4)$ ruotato di $30°$, $90°$ o $217°$ resta sempre a distanza 5 dall'origine.

Q: Perché non posso semplicemente fare la stessa cosa su entrambi i membri?

A: Fare la stessa operazione su entrambi i membri parte dall'idea che siano uguali, cioè proprio ciò che vuoi dimostrare. Alcune di queste operazioni (elevare al quadrato, moltiplicare per un'espressione che può valere 0) possono perfino rendere vera un'affermazione falsa. Lavorare su un solo membro evita il problema.

Q: Da quale membro devo partire?

A: Di solito dal più complicato: quello con più termini, frazioni o funzioni come $\sec$, $\csc$, $\tan$, $\cot$. Semplificare è più facile che inventare complicazioni.

Q: Che cosa faccio se mi blocco a metà strada?

A: Prova un altro attrezzo: passare a $\sin$ e $\cos$, ridurre le frazioni, raccogliere o moltiplicare per un coniugato. Puoi anche semplificare i due membri separatamente finché arrivano alla stessa espressione, purché ogni membro venga trasformato per conto suo.

Q: Guardare il grafico è una dimostrazione?

A: No. Se i grafici dei due membri si sovrappongono ovunque, l'identità è molto probabilmente vera, e se non si sovrappongono è falsa. Ma un'immagine mostra solo una finestra limitata, quindi una dimostrazione richiede comunque passaggi algebrici.