Dimostrare identità trigonometriche

Impara a dimostrare un'identità trigonometrica passo dopo passo: lavorare su un solo membro, passare a seno e coseno, ridurre le frazioni, usare il coniugato e confutare affermazioni false con un solo angolo.

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Definizione

Un'identità trigonometrica è un'uguaglianza vera per ogni angolo xx per cui entrambi i membri sono definiti. Una normale equazione come sin⁡x=12\sin x = \frac{1}{2} è vera solo per alcuni angoli, e la *risolvi*. Un'identità come tan⁡xcos⁡x=sin⁡x\tan x \cos x = \sin x è vera per tutti gli angoli ammessi, e la *dimostri*.

Che cosa significa dimostrare

Per dimostrare un'identità parti da un membro e lo trasformi, un passaggio lecito alla volta, finché non diventa esattamente uguale all'altro membro:
tan⁡xcos⁡x⏟primo membro=sin⁡xcos⁡x⋅cos⁡x=sin⁡x⏟secondo membro\underbrace{\tan x \cos x}_{\text{primo membro}} = \frac{\sin x}{\cos x}\cdot\cos x = \underbrace{\sin x}_{\text{secondo membro}}

Le regole del gioco

  • Lavora su un solo membro (di solito il più complicato). L'altro membro resta com'è.
  • Non spostare mai termini dall'altra parte del segno di uguale e non moltiplicare né dividere mai entrambi i membri: significherebbe dare per scontato che l'identità sia già vera.
  • Ogni passaggio deve usare un'identità nota (reciproca, del quoziente, pitagorica) o un calcolo algebrico corretto (denominatore comune, raccoglimento, semplificazione).

La cassetta degli attrezzi

  1. 1.Parti dal membro più complicato.
  2. 2.Scrivi tutto con sin⁡\sin e cos⁡\cos (tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, sec⁡x=1cos⁡x\sec x = \frac{1}{\cos x}, ...).
  3. 3.Riduci le frazioni a denominatore comune.
  4. 4.Raccogli e scomponi (fattori comuni, differenza di quadrati).
  5. 5.Moltiplica per il coniugato, per esempio 1+cos⁡x1+cos⁡x\frac{1 + \cos x}{1 + \cos x}, per ottenere 1−cos⁡2x=sin⁡2x1 - \cos^2 x = \sin^2 x.
  6. 6.Usa le identità pitagoriche sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1, 1+tan⁡2x=sec⁡2x1 + \tan^2 x = \sec^2 x, 1+cot⁡2x=csc⁡2x1 + \cot^2 x = \csc^2 x.

Confutare

Un solo angolo per cui i due membri danno valori diversi (un controesempio) basta per mostrare che un'affermazione non è un'identità. Controllare qualche angolo numericamente è un buon test, ma non sostituisce mai una dimostrazione.

Prova subito

Quale affermazione è un'identità (vera per ogni angolo xx ammesso)?

Esempi svolti

Dimostra che tan⁡xcos⁡x=sin⁡x\tan x \cos x = \sin x.
1

Scegli il membro su cui lavorare

Il primo membro contiene due funzioni, il secondo solo una. Parti dal primo. → tan⁡xcos⁡x\tan x \cos x
2

Usa l'identità del quoziente

Sostituisci tan⁡x\tan x con sin⁡xcos⁡x\frac{\sin x}{\cos x} → sin⁡xcos⁡x⋅cos⁡x\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x
3

Semplifica il fattore comune

cos⁡x\cos x al numeratore e al denominatore si semplificano (quando cos⁡x≠0\cos x \neq 0) → sin⁡x\sin x
4

Confronta con il secondo membro

Il primo membro ora è esattamente uguale al secondo → sin⁡x=sin⁡x\sin x = \sin x ✓

Errori comuni

Lavorare su entrambi i membri come in un'equazione, per esempio moltiplicare in croce sin⁡x1−cos⁡x=1+cos⁡xsin⁡x\frac{\sin x}{1 - \cos x} = \frac{1 + \cos x}{\sin x} per ottenere sin⁡2x=1−cos⁡2x\sin^2 x = 1 - \cos^2 x

Perché è sbagliato: Moltiplicare in croce, spostare termini o dividere entrambi i membri partono tutti dall'affermazione che i due membri sono uguali, cioè proprio ciò che vuoi dimostrare.

Corretto: Trasforma un membro finché non diventa l'altro. Il segno di uguale resta intatto fino alla fine.

Controllare uno o due angoli e considerare l'identità dimostrata

Perché è sbagliato: sin⁡x+cos⁡x=1\sin x + \cos x = 1 funziona per 0°0° e 90°90°, ma non per 45°45°. Qualche esempio vero non dimostra mai che qualcosa vale per ogni angolo.

Corretto: Usa i numeri solo per testare o confutare. Una dimostrazione richiede algebra con identità valide per ogni xx.

Spezzare una frazione al denominatore: sin⁡x1−cos⁡x=sin⁡x1−sin⁡xcos⁡x\frac{\sin x}{1 - \cos x} = \frac{\sin x}{1} - \frac{\sin x}{\cos x}

Perché è sbagliato: Puoi spezzare una somma al numeratore, a+bc=ac+bc\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}, ma mai una somma al denominatore. Per x=60°x = 60° il primo membro vale 1,7321{,}732 e il secondo −0,866-0{,}866.

Corretto: Per eliminare 1−cos⁡x1 - \cos x da un denominatore, moltiplica numeratore e denominatore per il coniugato 1+cos⁡x1 + \cos x.

Scrivere (1−cos⁡x)(1+cos⁡x)=1−cos⁡x(1 - \cos x)(1 + \cos x) = 1 - \cos x oppure 1+cos⁡2x1 + \cos^2 x

Perché è sbagliato: Il prodotto di due coniugati è una differenza di quadrati: entrambi i termini vanno al quadrato e il segno è meno.

Corretto: (1−cos⁡x)(1+cos⁡x)=1−cos⁡2x=sin⁡2x(1 - \cos x)(1 + \cos x) = 1 - \cos^2 x = \sin^2 x

Visuale interattivo

Dimostra

(1+tan⁡2x)cos⁡2x=1(1 + \tan^2 x)\cos^2 x = 1

  1. Partiamo dal membro di sinistra

    (1+tan⁡2x)cos⁡2x(1 + \tan^2 x)\cos^2 x

Quale espressione viene dopo?

Verifica con i numeri

Membro di sinistra

(1+tan⁡2x)cos⁡2x(1 + \tan^2 x)\cos^2 x

= 1

Membro di destra

11

= 1

I due membri hanno lo stesso valore.

Grafico della funzione

-300-200-1000100200300-2-1012xy(45; 1,41)

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

  • (sin a + cos a)² = 2
  • 1 + 2 sin a cos a = 2
  • sin a + cos a (uguale a 1?) = 1,41

Tocca un nome per mostrare o nascondere il suo grafico.

Sandbox interattivo

Graficatore interattivo

-300-200-1000100200300-3-2-10123xy

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

Prova questi esempi:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi
Problema 1 di 18
Facile
Quale affermazione è un'identità (vera per ogni angolo xx ammesso)?

Perché è importante

Dimostrare identità allena l'abilità più utile dell'algebra: riscrivere un'espressione in una forma più furba senza cambiarne il valore.
  • Analisi: integrali come ∫sin⁡2x dx\int \sin^2 x\,dx o ∫sec⁡x dx\int \sec x\,dx diventano risolvibili solo dopo averli riscritti con un'identità.
  • Fisica e ingegneria: le formule di onde e segnali si semplificano con le identità prima di calcolare qualsiasi cosa.
  • Computer grafica: le rotazioni conservano le lunghezze perché cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1.
  • Ragionamento logico: una dimostrazione è una catena di passaggi giustificati, lo stesso tipo di ragionamento che si usa nella programmazione e in tutti i corsi di matematica successivi.
  • Controllare i risultati: sapere che due risposte dall'aspetto diverso sono la stessa identità ti evita di pensare che una delle due sia sbagliata.

Applicazioni nel mondo reale

Come il calcolo simbolico verifica le identità

I software di matematica controllano se due formule sono uguali sostituendo molti angoli a caso prima di tentare una dimostrazione simbolica completa. Se anche un solo angolo dà valori diversi, le formule sono diverse.

Esempio:

Per confrontare sec⁡x−cos⁡x\sec x - \cos x e sin⁡xtan⁡x\sin x \tan x, un programma calcola entrambe per angoli come 17°17°, 60°60° e 133°133° e trova ogni volta gli stessi valori.

1Provaci tu stesso

Un programma verifica l'identità sec⁡x−cos⁡x=sin⁡xtan⁡x\sec x - \cos x = \sin x \tan x per x=60°x = 60°, dove cos⁡60°=12\cos 60° = \frac{1}{2}, sec⁡60°=2\sec 60° = 2, sin⁡60°=32\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} e tan⁡60°=3\tan 60° = \sqrt{3}.

Quale valore danno i due membri per x=60°x = 60°?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola il primo membro sec⁡60°−cos⁡60°\sec 60° - \cos 60°:

Fisica: semplificare una formula del piano inclinato

Le formule della fisica escono spesso da un calcolo in una forma scomoda. Un'identità le trasforma in una forma più breve, più veloce da calcolare e più facile da capire.

Esempio:

Una forza su un piano inclinato è risultata F=Psin⁡θtan⁡θF = \dfrac{P\sin\theta}{\tan\theta}. Poiché sin⁡θtan⁡θ=sin⁡θ⋅cos⁡θsin⁡θ=cos⁡θ\frac{\sin\theta}{\tan\theta} = \sin\theta \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \cos\theta, la formula è semplicemente F=Pcos⁡θF = P\cos\theta.

2Provaci tu stesso

Una cassa di peso P=200P = 200 N si trova su un piano inclinato di angolo θ=60°\theta = 60°. La forza è F=Psin⁡θtan⁡θ=Pcos⁡θF = \dfrac{P\sin\theta}{\tan\theta} = P\cos\theta.

Quanto vale la forza FF in newton?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Usa la formula semplificata F=Pcos⁡θF = P\cos\theta:

Computer grafica: le rotazioni conservano le lunghezze

I videogiochi ruotano i punti con $x' = x\cos\theta - y\sin\theta$ e $y' = x\sin\theta + y\cos\theta$. Sviluppando $x'^2 + y'^2$ e usando $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ si dimostra che $x'^2 + y'^2 = x^2 + y^2$ per ogni angolo, quindi gli oggetti non si deformano mai.

Esempio:

Il punto (3,4)(3, 4) ruotato di 30°30°, 90°90° o 217°217° resta sempre a distanza 5 dall'origine.

3Provaci tu stesso

Un videogioco ruota il punto (3,4)(3, 4) attorno all'origine di un angolo θ\theta. L'identità x′2+y′2=x2+y2x'^2 + y'^2 = x^2 + y^2 vale per ogni θ\theta.

A che distanza dall'origine si trova il punto ruotato?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Usa x2+y2\sqrt{x^2 + y^2} con il punto di partenza:

Punti chiave

  • 1Un'identità è vera per ogni angolo ammesso; un'equazione solo per alcuni angoli
  • 2Si dimostra un'identità trasformando un membro, passo dopo passo, finché non coincide con l'altro
  • 3Non spostare mai termini oltre il segno di uguale e non fare mai la stessa operazione su entrambi i membri
  • 4Parti dal membro più complicato e scrivi tutto con sin⁡\sin e cos⁡\cos
  • 5Riduci le frazioni, raccogli, moltiplica per il coniugato e usa sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1
  • 6Un solo controesempio confuta un'affermazione; i controlli numerici testano un'identità ma non la dimostrano

Domande frequenti

Fare la stessa operazione su entrambi i membri parte dall'idea che siano uguali, cioè proprio ciò che vuoi dimostrare. Alcune di queste operazioni (elevare al quadrato, moltiplicare per un'espressione che può valere 0) possono perfino rendere vera un'affermazione falsa. Lavorare su un solo membro evita il problema.
Fare la stessa operazione su entrambi i membri parte dall'idea che siano uguali, cioè proprio ciò che vuoi dimostrare. Alcune di queste operazioni (elevare al quadrato, moltiplicare per un'espressione che può valere 0) possono perfino rendere vera un'affermazione falsa. Lavorare su un solo membro evita il problema.
Di solito dal più complicato: quello con più termini, frazioni o funzioni come sec⁡\sec, csc⁡\csc, tan⁡\tan, cot⁡\cot. Semplificare è più facile che inventare complicazioni.
Prova un altro attrezzo: passare a sin⁡\sin e cos⁡\cos, ridurre le frazioni, raccogliere o moltiplicare per un coniugato. Puoi anche semplificare i due membri separatamente finché arrivano alla stessa espressione, purché ogni membro venga trasformato per conto suo.
No. Se i grafici dei due membri si sovrappongono ovunque, l'identità è molto probabilmente vera, e se non si sovrappongono è falsa. Ma un'immagine mostra solo una finestra limitata, quindi una dimostrazione richiede comunque passaggi algebrici.

Glossario

Identità
Un'uguaglianza vera per ogni valore della variabile per cui entrambi i membri sono definiti, per esempio sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1
Primo membro / secondo membro
Le espressioni a sinistra e a destra del segno di uguale
Coniugato
Il coniugato di a−ba - b è a+ba + b (e viceversa); il loro prodotto è a2−b2a^2 - b^2
Denominatore comune
Un denominatore condiviso da più frazioni, così che si possano riunire in un'unica frazione
Controesempio
Un valore per cui una presunta identità è falsa; basta per confutare l'affermazione

Scheda formule

Identità reciproche

sec⁡x=1cos⁡x, csc⁡x=1sin⁡x, cot⁡x=1tan⁡x\sec x = \frac{1}{\cos x},\ \csc x = \frac{1}{\sin x},\ \cot x = \frac{1}{\tan x}

Servono a scrivere secante, cosecante e cotangente con seno e coseno

Identità del quoziente

tan⁡x=sin⁡xcos⁡x, cot⁡x=cos⁡xsin⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x},\ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}

Trasformano tangente e cotangente in frazioni di seno e coseno

Identità pitagoriche

sin⁡2x+cos⁡2x=1, 1+tan⁡2x=sec⁡2x, 1+cot⁡2x=csc⁡2x\sin^2 x + \cos^2 x = 1,\ 1 + \tan^2 x = \sec^2 x,\ 1 + \cot^2 x = \csc^2 x

Sostituiscono una somma o differenza di quadrati con un solo termine

Prodotti di coniugati

(1−cos⁡x)(1+cos⁡x)=sin⁡2x, (1−sin⁡x)(1+sin⁡x)=cos⁡2x(1 - \cos x)(1 + \cos x) = \sin^2 x,\ (1 - \sin x)(1 + \sin x) = \cos^2 x

Il motivo per cui moltiplicare per il coniugato funziona

Sfida di oggiUn problema, tre tentativi

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