Tangente e cotangente da seno e coseno

Per un angolo $\theta$ sappiamo che $\sin\theta = \frac{3}{5}$ e $\cos\theta = \frac{4}{5}$. Trova $\tan\theta$ e $\cot\theta$.

Scrivi l'identità del quoziente per la tangente: $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{3/5}{4/5}$ = Dividere le due frazioni

Dividi (i quinti si semplificano): $\frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$ = $\tan\theta = \frac{3}{4}$

Usa l'identità del quoziente per la cotangente: $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$ = $\cot\theta = \frac{4}{3}$

Controlla con l'identità reciproca: $\tan\theta \cdot \cot\theta = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = 1$ = Corretto

Answer: $\tan\theta = \frac{3}{4}$ e $\cot\theta = \frac{4}{3}$

Valori esatti a 60°

Usa $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ e $\cos 60° = \frac{1}{2}$ per trovare i valori esatti di $\tan 60°$ e $\cot 60°$.

La tangente è il seno diviso il coseno: $\tan 60° = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2}$ = Lo stesso denominatore 2 sopra e sotto

Semplifica le metà: $\frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{1} = \sqrt{3}$ = $\tan 60° = \sqrt{3}$

La cotangente è il coseno diviso il seno: $\cot 60° = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ = $\cot 60° = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Razionalizza il denominatore: $\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ = $\cot 60° = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577$

Answer: $\tan 60° = \sqrt{3} \approx 1{,}732$ e $\cot 60° = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577$

Riscrivere in seni e coseni

Semplifica $\cot\theta \cdot \sin\theta \cdot \sec\theta$.

Sostituisci $\cot\theta$ con l'identità del quoziente: $\frac{\cos\theta}{\sin\theta} \cdot \sin\theta \cdot \sec\theta$ = Resta da riscrivere solo $\sec\theta$

Sostituisci $\sec\theta$ con l'identità reciproca: $\frac{\cos\theta}{\sin\theta} \cdot \sin\theta \cdot \frac{1}{\cos\theta}$ = Tutto è scritto con $\sin$ e $\cos$

Scrivi tutto come un'unica frazione: $\frac{\cos\theta \cdot \sin\theta}{\sin\theta \cdot \cos\theta}$ = Numeratore e denominatore hanno gli stessi fattori

Semplifica: $\frac{\cos\theta \sin\theta}{\sin\theta \cos\theta} = 1$ = $1$ (per $\sin\theta \neq 0$ e $\cos\theta \neq 0$)

Answer: $\cot\theta \cdot \sin\theta \cdot \sec\theta = 1$

Una semplificazione breve

Semplifica $\frac{\tan\theta}{\sin\theta}$.

Sostituisci $\tan\theta$: $\frac{\tan\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta / \cos\theta}{\sin\theta}$ = Una frazione divisa per $\sin\theta$

Dividere per $\sin\theta$ significa moltiplicare per $\frac{1}{\sin\theta}$: $\frac{\sin\theta}{\cos\theta} \cdot \frac{1}{\sin\theta}$ = $\sin\theta$ compare sopra e sotto

Semplifica $\sin\theta$: $\frac{1}{\cos\theta}$ = $\frac{1}{\cos\theta}$

Dagli un nome con un'identità reciproca: $\frac{1}{\cos\theta} = \sec\theta$ = $\sec\theta$

Answer: $\frac{\tan\theta}{\sin\theta} = \sec\theta$ (per $\sin\theta \neq 0$, $\cos\theta \neq 0$)

Un angolo nel III quadrante

L'angolo $\theta$ è nel III quadrante e $\sin\theta = -\frac{5}{13}$. Trova $\tan\theta$ e $\cot\theta$.

Trova $\cos^2\theta$ con l'identità pitagorica: $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$ = $\cos\theta = \pm\frac{12}{13}$

Scegli il segno: nel III quadrante $x < 0$: $\cos\theta < 0$ = $\cos\theta = -\frac{12}{13}$

Identità del quoziente per la tangente: $\tan\theta = \frac{-5/13}{-12/13} = \frac{5}{12}$ = $\tan\theta = \frac{5}{12}$ (positiva, come nel III quadrante)

Identità del quoziente per la cotangente: $\cot\theta = \frac{-12/13}{-5/13} = \frac{12}{5}$ = $\cot\theta = \frac{12}{5}$

Answer: $\tan\theta = \frac{5}{12}$ e $\cot\theta = \frac{12}{5}$

Mistake: Scrivere $\tan\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$

Why: La frazione è capovolta: quella è la cotangente. Sulla circonferenza goniometrica la tangente è la pendenza $\frac{y}{x}$, e $y = \sin\theta$.

Correct: $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ (il seno sopra, come $y$ fratto $x$) e $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$

Mistake: Dire che $\tan 90° = 0$ oppure $\cot 0° = 0$

Why: A $90°$ il coseno vale $0$, e non si può dividere per $0$. A $0°$ il seno vale $0$, quindi la cotangente ha denominatore zero.

Correct: $\tan 90° = \frac{1}{0}$ non è definita, e $\cot 0° = \frac{1}{0}$ non è definita. Il grafico di $\tan$ lì ha asintoti verticali.

Mistake: Mescolare due angoli: $\frac{\sin 40°}{\cos 20°} = \tan 20°$ oppure $\tan 40°$

Why: L'identità vale solo quando seno e coseno hanno lo **stesso** angolo.

Correct: $\frac{\sin 40°}{\cos 40°} = \tan 40°$, ma $\frac{\sin 40°}{\cos 20°} \approx 0{,}684$ non è né $\tan 20° \approx 0{,}364$ né $\tan 40° \approx 0{,}839$.

Mistake: Perdere il segno nel II, III e IV quadrante

Why: Spesso si prende la radice positiva per $\cos\theta$ o $\sin\theta$ e si ottiene $\tan\theta > 0$ ovunque.

Correct: Ricava prima i segni dal quadrante: nel II quadrante $\sin > 0$ e $\cos < 0$, quindi $\tan\theta < 0$; nel III quadrante sono entrambi negativi, quindi $\tan\theta > 0$.

Piste da sci e pendenze stradali

La pendenza di un pendio (dislivello diviso distanza orizzontale) è la tangente del suo angolo di inclinazione. Un sensore del telefono misura seno e coseno dell'inclinazione, e l'app li divide.

Un pendio con $\sin\theta = 0{,}6$ e $\cos\theta = 0{,}8$ ha $\tan\theta = 0{,}75$: scende di $75$ m ogni $100$ m di distanza orizzontale.

Attrito su una rampa

Una cassa su una rampa resta ferma finché il coefficiente di attrito $\mu$ è almeno $\tan\theta$. Gli ingegneri lo usano per decidere quanto possono essere ripidi nastri trasportatori e rampe di carico.

Su una rampa con $\tan\theta = 0{,}5$, una cassa con $\mu = 0{,}6$ resta ferma, ma una cassa con $\mu = 0{,}4$ scivola.

Lunghezza delle ombre

Quando il sole ha un'altezza angolare $\theta$, un palo alto $h$ proietta un'ombra lunga $h \cot\theta = h \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$. Gli architetti lo usano per progettare ombra e luce solare.

Con il sole a $45°$, $\cot 45° = 1$, quindi ogni oggetto proietta un'ombra lunga quanto la sua altezza.

Q: Perché si chiamano identità del quoziente?

A: Un quoziente è il risultato di una divisione. Queste identità esprimono $\tan$ e $\cot$ come una funzione divisa per un'altra: $\sin\theta \div \cos\theta$ e $\cos\theta \div \sin\theta$.

Q: $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ è un'identità del quoziente o un'identità reciproca?

A: I due punti di vista portano allo stesso risultato. L'identità reciproca dice $\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$; sostituendo $\tan\theta$ con $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ e capovolgendo si ottiene la forma di quoziente $\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$. La forma di quoziente funziona anche a $90°$, dove $\tan$ non è definita ma $\cot 90° = \frac{0}{1} = 0$.

Q: Perché $y = \tan x$ e $y = \frac{\sin x}{\cos x}$ hanno lo stesso grafico?

A: Perché sono la stessa funzione. Entrambe hanno asintoti verticali dove $\cos x = 0$ ($x = \pm 90°, \pm 270°, ...$) e zeri dove $\sin x = 0$. Attiva e disattiva le due curve nel grafico qui sopra: si sovrappongono esattamente.

Q: Posso controllare un'identità del quoziente con la calcolatrice?

A: Sì. Scrivi $\sin(40) / \cos(40)$ e $\tan(40)$ in modalità gradi: entrambe danno circa $0{,}8391$. Un controllo numerico per alcuni angoli è una buona prova, ma solo un ragionamento algebrico dimostra un'identità per tutti gli angoli.