Identità del quoziente

Impara perché la tangente è il seno diviso il coseno e la cotangente è il coseno diviso il seno, dove sono definite e come usarle per semplificare le espressioni.

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Definizione

Le identità del quoziente scrivono la tangente e la cotangente come quoziente (una divisione) tra seno e coseno dello stesso angolo:
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ(cos⁡θ≠0)\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \qquad (\cos\theta \neq 0)
cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ(sin⁡θ≠0)\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \qquad (\sin\theta \neq 0)

Da dove vengono: il triangolo rettangolo

Per un angolo acuto θ\theta in un triangolo rettangolo, sin⁡θ=oppostoipotenusa\sin\theta = \frac{\text{opposto}}{\text{ipotenusa}} e cos⁡θ=adiacenteipotenusa\cos\theta = \frac{\text{adiacente}}{\text{ipotenusa}}. Se li dividi, l'ipotenusa si semplifica:
sin⁡θcos⁡θ=opposto/ipotenusaadiacente/ipotenusa=oppostoadiacente=tan⁡θ\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\text{opposto}/\text{ipotenusa}}{\text{adiacente}/\text{ipotenusa}} = \frac{\text{opposto}}{\text{adiacente}} = \tan\theta

Da dove vengono: la circonferenza goniometrica

L'angolo θ\theta incontra la circonferenza goniometrica nel punto P=(cos⁡θ,sin⁡θ)P = (\cos\theta, \sin\theta). La pendenza del raggio OPOP è yx=sin⁡θcos⁡θ\frac{y}{x} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, e questa pendenza è tan⁡θ\tan\theta. Questo vale per ogni angolo, non solo per quelli acuti, quindi i segni tornano in tutti e quattro i quadranti.

Dove sono definite

  • tan⁡θ\tan\theta non è definita quando cos⁡θ=0\cos\theta = 0: a 90°90°, 270°270°, ... (cioè θ=90°+k⋅180°\theta = 90° + k \cdot 180°).
  • cot⁡θ\cot\theta non è definita quando sin⁡θ=0\sin\theta = 0: a 0°0°, 180°180°, 360°360°, ... (cioè θ=k⋅180°\theta = k \cdot 180°).

Legame con le identità reciproche

Dalle identità reciproche, cot⁡θ=1tan⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}. Capovolgere sin⁡θcos⁡θ\frac{\sin\theta}{\cos\theta} dà cos⁡θsin⁡θ\frac{\cos\theta}{\sin\theta}, quindi i due punti di vista coincidono, e tan⁡θ⋅cot⁡θ=1\tan\theta \cdot \cot\theta = 1 ovunque siano definite entrambe.

Prova subito

Quale espressione è uguale a tan⁡θ\tan\theta?

Esempi svolti

Per un angolo θ\theta sappiamo che sin⁡θ=35\sin\theta = \frac{3}{5} e cos⁡θ=45\cos\theta = \frac{4}{5}. Trova tan⁡θ\tan\theta e cot⁡θ\cot\theta.
1

Scrivi l'identità del quoziente per la tangente

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=3/54/5\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{3/5}{4/5} → Dividere le due frazioni
2

Dividi (i quinti si semplificano)

3/54/5=35⋅54=34\frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3}{4} → tan⁡θ=34\tan\theta = \frac{3}{4}
3

Usa l'identità del quoziente per la cotangente

cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=4/53/5=43\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3} → cot⁡θ=43\cot\theta = \frac{4}{3}
4

Controlla con l'identità reciproca

tan⁡θ⋅cot⁡θ=34⋅43=1\tan\theta \cdot \cot\theta = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = 1 → Corretto

Errori comuni

Scrivere tan⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\tan\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

Perché è sbagliato: La frazione è capovolta: quella è la cotangente. Sulla circonferenza goniometrica la tangente è la pendenza yx\frac{y}{x}, e y=sin⁡θy = \sin\theta.

Corretto: tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} (il seno sopra, come yy fratto xx) e cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

Dire che tan⁡90°=0\tan 90° = 0 oppure cot⁡0°=0\cot 0° = 0

Perché è sbagliato: A 90°90° il coseno vale 00, e non si può dividere per 00. A 0°0° il seno vale 00, quindi la cotangente ha denominatore zero.

Corretto: tan⁡90°=10\tan 90° = \frac{1}{0} non è definita, e cot⁡0°=10\cot 0° = \frac{1}{0} non è definita. Il grafico di tan⁡\tan lì ha asintoti verticali.

Mescolare due angoli: sin⁡40°cos⁡20°=tan⁡20°\frac{\sin 40°}{\cos 20°} = \tan 20° oppure tan⁡40°\tan 40°

Perché è sbagliato: L'identità vale solo quando seno e coseno hanno lo stesso angolo.

Corretto: sin⁡40°cos⁡40°=tan⁡40°\frac{\sin 40°}{\cos 40°} = \tan 40°, ma sin⁡40°cos⁡20°≈0,684\frac{\sin 40°}{\cos 20°} \approx 0{,}684 non è né tan⁡20°≈0,364\tan 20° \approx 0{,}364 né tan⁡40°≈0,839\tan 40° \approx 0{,}839.

Perdere il segno nel II, III e IV quadrante

Perché è sbagliato: Spesso si prende la radice positiva per cos⁡θ\cos\theta o sin⁡θ\sin\theta e si ottiene tan⁡θ>0\tan\theta > 0 ovunque.

Corretto: Ricava prima i segni dal quadrante: nel II quadrante sin⁡>0\sin > 0 e cos⁡<0\cos < 0, quindi tan⁡θ<0\tan\theta < 0; nel III quadrante sono entrambi negativi, quindi tan⁡θ>0\tan\theta > 0.

Visuale interattivo

Dimostra

tan⁡θcos⁡θ=sin⁡θ\tan\theta \cos\theta = \sin\theta

  1. Partiamo dal membro di sinistra

    tan⁡θcos⁡θ\tan\theta \cos\theta

Verifica con i numeri

Membro di sinistra

tan⁡θcos⁡θ\tan\theta \cos\theta

= 0,5

Membro di destra

sin⁡θ\sin\theta

= 0,5

I due membri hanno lo stesso valore.

Grafico della funzione

-300-200-1000100200300-4-2024xyx = -270x = -90x = 90x = 270x = -270x = -90x = 90x = 270

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

  • sin(a) = 0,5
  • cos(a) = 0,87
  • sin(a)/cos(a) = 0,58
  • tan(a) = 0,58
  • cos(a)/sin(a) = 1,73
  • cot(a) = 1,73

Tocca un nome per mostrare o nascondere il suo grafico.

Asintoto

Circonferenza goniometrica

Gradi

0°

Radianti

0

sin(θ)

0

cos(θ)

1

tan(θ)

0

Coordinate (cos, sin)

(1, 0)

Clicca e trascina per ruotare l'angolo attorno alla circonferenza goniometrica.

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Esercizi pratici

18 esercizi
Problema 1 di 18
Facile
Quale espressione è uguale a tan⁡θ\tan\theta?

Perché è importante

Le identità del quoziente sono il ponte che trasforma ogni espressione trigonometrica in seni e coseni:
  • Semplificare: scrivere tan⁡\tan e cot⁡\cot come frazioni di sin⁡\sin e cos⁡\cos è il primo passo di quasi tutte le semplificazioni e dimostrazioni che seguono in questo argomento
  • Valori esatti: se conosci sin⁡θ\sin\theta e cos⁡θ\cos\theta (dalla circonferenza goniometrica o da un triangolo), ottieni tan⁡θ\tan\theta e cot⁡θ\cot\theta con una sola divisione
  • Pendenze e angoli: la pendenza di una retta, di una strada o di una rampa è la tangente del suo angolo di inclinazione
  • Fisica: un oggetto su un piano inclinato comincia a scivolare quando il coefficiente di attrito è minore di tan⁡θ\tan\theta, e le lunghezze delle ombre usano cot⁡θ\cot\theta
  • Analisi: la derivata di tan⁡x\tan x si trova scrivendola come sin⁡xcos⁡x\frac{\sin x}{\cos x} e usando la regola del quoziente

Applicazioni nel mondo reale

Piste da sci e pendenze stradali

La pendenza di un pendio (dislivello diviso distanza orizzontale) è la tangente del suo angolo di inclinazione. Un sensore del telefono misura seno e coseno dell'inclinazione, e l'app li divide.

Esempio:

Un pendio con sin⁡θ=0,6\sin\theta = 0{,}6 e cos⁡θ=0,8\cos\theta = 0{,}8 ha tan⁡θ=0,75\tan\theta = 0{,}75: scende di 7575 m ogni 100100 m di distanza orizzontale.

1Provaci tu stesso

Un sensore di inclinazione su una pista da sci segna sin⁡θ=0,6\sin\theta = 0{,}6 e cos⁡θ=0,8\cos\theta = 0{,}8. La discesa copre 200200 m di distanza orizzontale.

Di quanti metri è il dislivello della discesa?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Dislivello = tan⁡θ×\tan\theta \times distanza orizzontale:

Attrito su una rampa

Una cassa su una rampa resta ferma finché il coefficiente di attrito $\mu$ è almeno $\tan\theta$. Gli ingegneri lo usano per decidere quanto possono essere ripidi nastri trasportatori e rampe di carico.

Esempio:

Su una rampa con tan⁡θ=0,5\tan\theta = 0{,}5, una cassa con μ=0,6\mu = 0{,}6 resta ferma, ma una cassa con μ=0,4\mu = 0{,}4 scivola.

2Provaci tu stesso

Una rampa di carico ha sin⁡θ=941\sin\theta = \frac{9}{41} e cos⁡θ=4041\cos\theta = \frac{40}{41}. Una cassa di plastica sopra di essa ha coefficiente di attrito μ=0,2\mu = 0{,}2.

Qual è il più piccolo coefficiente di attrito che tiene ferma una cassa su questa rampa?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

μ\mu minimo = tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}:

Lunghezza delle ombre

Quando il sole ha un'altezza angolare $\theta$, un palo alto $h$ proietta un'ombra lunga $h \cot\theta = h \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$. Gli architetti lo usano per progettare ombra e luce solare.

Esempio:

Con il sole a 45°45°, cot⁡45°=1\cot 45° = 1, quindi ogni oggetto proietta un'ombra lunga quanto la sua altezza.

3Provaci tu stesso

A mezzogiorno l'altezza angolare del sole ha sin⁡θ=0,96\sin\theta = 0{,}96 e cos⁡θ=0,28\cos\theta = 0{,}28. Un'asta della bandiera è alta 1212 m.

Quanto è lunga l'ombra dell'asta, in metri?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Ombra = 12⋅cos⁡θsin⁡θ12 \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta}:

Punti chiave

  • 1tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} e cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}, sempre per lo stesso angolo θ\theta
  • 2In un triangolo rettangolo l'ipotenusa si semplifica: sin⁡θcos⁡θ=oppostoadiacente\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\text{opposto}}{\text{adiacente}}
  • 3Sulla circonferenza goniometrica, tan⁡θ\tan\theta è la pendenza yx\frac{y}{x} del raggio verso (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta), quindi vale in ogni quadrante
  • 4tan⁡θ\tan\theta non è definita dove cos⁡θ=0\cos\theta = 0 (90°90°, 270°270°, ...); cot⁡θ\cot\theta non è definita dove sin⁡θ=0\sin\theta = 0 (0°0°, 180°180°, ...)
  • 5tan⁡θ⋅cot⁡θ=1\tan\theta \cdot \cot\theta = 1 ovunque siano definite entrambe
  • 6Per semplificare, riscrivi prima tutto in sin⁡\sin e cos⁡\cos, poi semplifica i fattori comuni

Domande frequenti

Un quoziente è il risultato di una divisione. Queste identità esprimono tan⁡\tan e cot⁡\cot come una funzione divisa per un'altra: sin⁡θ÷cos⁡θ\sin\theta \div \cos\theta e cos⁡θ÷sin⁡θ\cos\theta \div \sin\theta.
Un quoziente è il risultato di una divisione. Queste identità esprimono tan⁡\tan e cot⁡\cot come una funzione divisa per un'altra: sin⁡θ÷cos⁡θ\sin\theta \div \cos\theta e cos⁡θ÷sin⁡θ\cos\theta \div \sin\theta.
I due punti di vista portano allo stesso risultato. L'identità reciproca dice cot⁡θ=1tan⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}; sostituendo tan⁡θ\tan\theta con sin⁡θcos⁡θ\frac{\sin\theta}{\cos\theta} e capovolgendo si ottiene la forma di quoziente cos⁡θsin⁡θ\frac{\cos\theta}{\sin\theta}. La forma di quoziente funziona anche a 90°90°, dove tan⁡\tan non è definita ma cot⁡90°=01=0\cot 90° = \frac{0}{1} = 0.
Perché sono la stessa funzione. Entrambe hanno asintoti verticali dove cos⁡x=0\cos x = 0 (x=±90°,±270°,...x = \pm 90°, \pm 270°, ...) e zeri dove sin⁡x=0\sin x = 0. Attiva e disattiva le due curve nel grafico qui sopra: si sovrappongono esattamente.
Sì. Scrivi sin⁡(40)/cos⁡(40)\sin(40) / \cos(40) e tan⁡(40)\tan(40) in modalità gradi: entrambe danno circa 0,83910{,}8391. Un controllo numerico per alcuni angoli è una buona prova, ma solo un ragionamento algebrico dimostra un'identità per tutti gli angoli.

Glossario

Quoziente
Il risultato di una divisione, per esempio ab\frac{a}{b} è il quoziente tra aa e bb
Identità del quoziente
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} e cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}
Identità
Un'uguaglianza vera per ogni valore della variabile per cui entrambi i membri sono definiti
Cotangente (cot⁡\cot)
Il rapporto cos⁡θsin⁡θ\frac{\cos\theta}{\sin\theta}, il reciproco della tangente
Dominio
L'insieme degli angoli per cui un'espressione è definita; per tan⁡θ\tan\theta tutti gli angoli con cos⁡θ≠0\cos\theta \neq 0

Scheda formule

Tangente

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

Definita per $\cos\theta \neq 0$

Cotangente

cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

Definita per $\sin\theta \neq 0$

Prodotto

tan⁡θ⋅cot⁡θ=1\tan\theta \cdot \cot\theta = 1

Dove sono definite entrambe

Triangolo rettangolo

tan⁡θ=oppostoadiacente\tan\theta = \frac{\text{opposto}}{\text{adiacente}}

L'ipotenusa si semplifica in $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

Sfida di oggiUn problema, tre tentativi

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