Valore esatto di sin 75°

Trova il valore esatto di $\sin 75^\circ$.

Scrivi $75^\circ$ come somma di angoli notevoli: $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$ = $A = 45^\circ$, $B = 30^\circ$

Applica la formula di addizione del seno: $\sin 75^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ$ = Due prodotti di valori noti

Sostituisci i valori esatti: $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$ = $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Controlla con la calcolatrice: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx \frac{2{,}4495 + 1{,}4142}{4} \approx 0{,}9659$ e $\sin 75^\circ \approx 0{,}9659$ = I valori coincidono

Answer: $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659$

Valore esatto di cos 15° con una differenza

Trova il valore esatto di $\cos 15^\circ$.

Scrivi $15^\circ$ come differenza di angoli notevoli: $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$ = $A = 45^\circ$, $B = 30^\circ$

Applica la formula di sottrazione del coseno (il segno diventa $+$): $\cos 15^\circ = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ$ = Segno più per una differenza

Sostituisci e semplifica: $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ = $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Nota il collegamento: $\cos 15^\circ = \sin 75^\circ$ perché $15^\circ + 75^\circ = 90^\circ$ (angoli complementari) = Lo stesso valore dell'esempio 1

Answer: $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659$

Valore esatto di tan 105°

Trova il valore esatto di $\tan 105^\circ$ e semplificalo.

Scrivi $105^\circ$ come somma: $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$, con $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$ e $\tan 45^\circ = 1$ = $A = 60^\circ$, $B = 45^\circ$

Applica la formula di addizione della tangente: $\tan 105^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$ = Il denominatore $1 - \sqrt{3}$ è negativo

Razionalizza: moltiplica sopra e sotto per $1 + \sqrt{3}$: $\frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2}$ = $-2 - \sqrt{3}$

Controlla il segno: $105^\circ$ è nel secondo quadrante, dove la tangente è negativa; $-2 - \sqrt{3} \approx -3{,}7321$ = Negativo, come previsto

Answer: $\tan 105^\circ = -2 - \sqrt{3} \approx -3{,}7321$

Angoli di quadranti diversi

$\sin A = \frac{3}{5}$ con $A$ nel secondo quadrante e $\cos B = \frac{5}{13}$ con $B$ nel primo quadrante. Trova $\sin(A + B)$ e $\cos(A + B)$.

Trova $\cos A$ con l'identità pitagorica: $\cos^2 A = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$, e il coseno è negativo nel secondo quadrante = $\cos A = -\frac{4}{5}$

Trova $\sin B$: $\sin^2 B = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$, e il seno è positivo nel primo quadrante = $\sin B = \frac{12}{13}$

Applica la formula di addizione del seno: $\sin(A + B) = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{13} + \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{12}{13} = \frac{15}{65} - \frac{48}{65}$ = $\sin(A + B) = -\frac{33}{65}$

Applica la formula di addizione del coseno: $\cos(A + B) = \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{5}{13} - \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} = -\frac{20}{65} - \frac{36}{65}$ = $\cos(A + B) = -\frac{56}{65}$

Verifica con l'identità pitagorica: $\left(\frac{33}{65}\right)^2 + \left(\frac{56}{65}\right)^2 = \frac{1089 + 3136}{4225} = 1$ = I risultati sono coerenti

Answer: $\sin(A + B) = -\frac{33}{65}$ e $\cos(A + B) = -\frac{56}{65}$, quindi $A + B$ è nel terzo quadrante

Riconoscere una formula al contrario

Semplifica $\sin 70^\circ \cos 20^\circ + \cos 70^\circ \sin 20^\circ$ e $\cos 80^\circ \cos 20^\circ + \sin 80^\circ \sin 20^\circ$ senza calcolatrice.

Associa la prima espressione a una formula: $\sin A \cos B + \cos A \sin B$ con $A = 70^\circ$, $B = 20^\circ$ = È $\sin(70^\circ + 20^\circ)$

Calcola: $\sin 90^\circ = 1$ = Prima espressione $= 1$

Associa la seconda espressione: $\cos A \cos B + \sin A \sin B$ (segno più) è $\cos(A - B)$ = È $\cos(80^\circ - 20^\circ)$

Calcola: $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ = Seconda espressione $= \frac{1}{2}$

Answer: La prima espressione vale $1$, la seconda vale $\frac{1}{2}$

Mistake: Scrivere $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$

Why: Il seno non è una funzione lineare, quindi non si può distribuire su una somma. Con $A = 30^\circ$ e $B = 60^\circ$: $\sin 90^\circ = 1$, ma $\sin 30^\circ + \sin 60^\circ \approx 1{,}366$, che non è nemmeno un valore possibile del seno.

Correct: $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$. Muovi i cursori del grafico: la curva rossa $\sin x + \sin b$ si stacca dalle altre due.

Mistake: Mantenere il segno nella formula del coseno: $\cos(A + B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$

Why: Il coseno cambia il segno. Provalo con $A = B = 45^\circ$: $\cos 90^\circ = 0$, ma $\cos^2 45^\circ + \sin^2 45^\circ = 1$.

Correct: $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ e $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$.

Mistake: Prendere positivo ogni valore mancante, per esempio $\cos A = \frac{4}{5}$ quando $\sin A = \frac{3}{5}$ e $A$ è nel secondo quadrante

Why: L'identità pitagorica dà solo il valore assoluto. È il quadrante a decidere il segno, e un segno sbagliato cambia tutto il risultato.

Correct: Usa il quadrante: nel secondo quadrante il coseno è negativo, quindi $\cos A = -\frac{4}{5}$. Ricorda: primo quadrante tutto positivo, secondo solo il seno, terzo solo la tangente, quarto solo il coseno.

Mistake: Usare $1 + \tan A \tan B$ al denominatore di $\tan(A + B)$

Why: Nella formula della tangente il numeratore mantiene il segno ma il denominatore lo cambia, proprio come nel coseno.

Correct: $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ e $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$.

Unire due onde

In fisica ed elettronica una somma come $3\sin t + 4\cos t$ descrive due onde sovrapposte. La formula di addizione del seno mostra che è un'unica onda $R\sin(t + \varphi)$, e $R$ è la sua ampiezza (quanto è forte).

$R\sin(t + \varphi) = R\cos\varphi \sin t + R\sin\varphi \cos t$. Confrontando con $3\sin t + 4\cos t$ si ottiene $R\cos\varphi = 3$ e $R\sin\varphi = 4$.

Ruotare punti nei videogiochi e nella robotica

Un punto a distanza $r$ e con angolo $\alpha$ ha coordinate $x = r\cos\alpha$, $y = r\sin\alpha$. Ruotarlo di $\beta$ dà l'angolo $\alpha + \beta$, e le formule di addizione lo trasformano nelle formule di rotazione $x' = x\cos\beta - y\sin\beta$ e $y' = x\sin\beta + y\cos\beta$.

Rotazione di $(1, 0)$ di $90^\circ$: $x' = 1 \cdot 0 - 0 \cdot 1 = 0$ e $y' = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1$, quindi il punto va in $(0, 1)$.

L'angolo tra due strade

Una retta con pendenza $m$ forma con l'asse $x$ un angolo $\theta$ con $\tan\theta = m$. La formula di sottrazione della tangente dà l'angolo tra due rette direttamente dalle pendenze, e i progettisti la usano per incroci, rampe e tetti.

Rette con pendenze $1$ e $0$: $\tan(\alpha - \beta) = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$, quindi si incontrano a $45^\circ$.

Q: Perché non esiste una regola semplice come $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$?

A: Perché il seno non è una funzione lineare. Raddoppiare un angolo non raddoppia il suo seno: $\sin 30^\circ = 0{,}5$, ma $\sin 60^\circ \approx 0{,}866$, non $1$. La formula di addizione è il sostituto corretto di quella regola sbagliata.

Q: Che legame c'è tra le formule di addizione e quelle di duplicazione?

A: Poni $B = A$. Allora $\sin(2A) = \sin A \cos A + \cos A \sin A = 2\sin A \cos A$ e $\cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A$. La formula della tangente dà $\tan(2A) = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}$.

Q: Quale coppia di angoli notevoli devo usare?

A: Va bene qualsiasi coppia che dia l'angolo: $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$, $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$ oppure $60^\circ - 45^\circ$, $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$, $165^\circ = 120^\circ + 45^\circ$ oppure $135^\circ + 30^\circ$. Coppie diverse portano allo stesso valore finale.

Q: Quando $\tan(A + B)$ non è definita?

A: Quando $1 - \tan A \tan B = 0$, cioè quando $\tan A \tan B = 1$. Allora $A + B$ vale $90^\circ$ (o $270^\circ$), dove la tangente non esiste. Esempio: $\tan 30^\circ \tan 60^\circ = 1$ e $30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$.