Che legame c'è tra le formule di addizione e quelle di duplicazione?

Poni $B = A$. Allora $\sin(2A) = \sin A \cos A + \cos A \sin A = 2\sin A \cos A$ e $\cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A$. La formula della tangente dà $\tan(2A) = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}$.

Quale coppia di angoli notevoli devo usare?

Va bene qualsiasi coppia che dia l'angolo: $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$, $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$ oppure $60^\circ - 45^\circ$, $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$, $165^\circ = 120^\circ + 45^\circ$ oppure $135^\circ + 30^\circ$. Coppie diverse portano allo stesso valore finale.

Quando $\tan(A + B)$ non è definita?

Quando $1 - \tan A \tan B = 0$, cioè quando $\tan A \tan B = 1$. Allora $A + B$ vale $90^\circ$ (o $270^\circ$), dove la tangente non esiste. Esempio: $\tan 30^\circ \tan 60^\circ = 1$ e $30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$.

Risorse per insegnanti

Formule di addizione e sottrazione

Impara le formule di addizione e sottrazione di seno, coseno e tangente, trova valori esatti come sin 75° e combina angoli di quadranti diversi.

Avanzato30 minLezione

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Definizione

Le formule di addizione e sottrazione danno seno, coseno e tangente di

A + B

o di

A - B

partendo solo dai valori di

A

e di

B

Seno

\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B

\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B

Coseno

\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B

\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B

Tangente

\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}

\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}

Come ricordare i segni:

Il seno mantiene il segno: un $+$ in $A + B$ dà un $+$ nella formula, e mescola seno e coseno.
Il coseno cambia il segno: $A + B$ dà un meno, $A - B$ dà un più, e abbina coseno con coseno, seno con seno.
Tangente: il numeratore mantiene il segno, il denominatore lo cambia.

Attenzione:

\sin(A + B)

non è

\sin A + \sin B

. Per esempio

\sin(30^\circ + 60^\circ) = \sin 90^\circ = 1

, ma

\sin 30^\circ + \sin 60^\circ \approx 1{,}366

Con gli angoli notevoli

30^\circ

45^\circ

60^\circ

queste formule danno valori esatti per nuovi angoli come

15^\circ = 45^\circ - 30^\circ

75^\circ = 45^\circ + 30^\circ

105^\circ = 60^\circ + 45^\circ

165^\circ = 120^\circ + 45^\circ

. Se poni

B = A

, ottieni le formule di duplicazione.

Prova subito

Quale espressione è uguale a

\sin(A + B)

Esempi svolti

Trova il valore esatto di

\sin 75^\circ

Scrivi $75^\circ$ come somma di angoli notevoli

75^\circ = 45^\circ + 30^\circ

→

A = 45^\circ

B = 30^\circ

Applica la formula di addizione del seno

\sin 75^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ

→ Due prodotti di valori noti

Sostituisci i valori esatti

\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}

→

\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

Controlla con la calcolatrice

\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx \frac{2{,}4495 + 1{,}4142}{4} \approx 0{,}9659

\sin 75^\circ \approx 0{,}9659

→ I valori coincidono

Risposta: $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659$

Errori comuni

Scrivere $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$

Perché è sbagliato: Il seno non è una funzione lineare, quindi non si può distribuire su una somma. Con $A = 30^\circ$ e $B = 60^\circ$ : $\sin 90^\circ = 1$ , ma $\sin 30^\circ + \sin 60^\circ \approx 1{,}366$ , che non è nemmeno un valore possibile del seno.

Corretto: $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ . Muovi i cursori del grafico: la curva rossa $\sin x + \sin b$ si stacca dalle altre due.

Mantenere il segno nella formula del coseno: $\cos(A + B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$

Perché è sbagliato: Il coseno cambia il segno. Provalo con $A = B = 45^\circ$ : $\cos 90^\circ = 0$ , ma $\cos^2 45^\circ + \sin^2 45^\circ = 1$ .

Corretto: $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ e $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ .

Prendere positivo ogni valore mancante, per esempio $\cos A = \frac{4}{5}$ quando $\sin A = \frac{3}{5}$ e $A$ è nel secondo quadrante

Perché è sbagliato: L'identità pitagorica dà solo il valore assoluto. È il quadrante a decidere il segno, e un segno sbagliato cambia tutto il risultato.

Corretto: Usa il quadrante: nel secondo quadrante il coseno è negativo, quindi $\cos A = -\frac{4}{5}$ . Ricorda: primo quadrante tutto positivo, secondo solo il seno, terzo solo la tangente, quarto solo il coseno.

Usare $1 + \tan A \tan B$ al denominatore di $\tan(A + B)$

Perché è sbagliato: Nella formula della tangente il numeratore mantiene il segno ma il denominatore lo cambia, proprio come nel coseno.

Corretto: $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ e $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ .

Visuale interattivo

Grafico della funzione

a (°) = 45b (°) = 30

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

sin(a + b) = 0,9659
sin a · cos b + cos a · sin b = 0,9659
sin a + sin b = 1,2071

Tocca un nome per mostrare o nascondere il suo grafico.

Dimostra

\sin(x + 90^\circ) = \cos x

Partiamo dal membro di sinistra
$\sin(x + 90^\circ)$

Verifica con i numeri

Angolo30°

Membro di sinistra

\sin(x + 90^\circ)

= 0,866

Membro di destra

\cos x

= 0,866

I due membri hanno lo stesso valore.

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Quale espressione è uguale a

\sin(A + B)

Perché è importante

Le formule di addizione sono le formule madri di quasi tutte le altre identità goniometriche:

Valori esatti: la calcolatrice dà $\sin 75^\circ \approx 0{,}9659$ , ma la formula dà il valore esatto $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ , quello che serve nelle verifiche e nelle dimostrazioni.
Altre identità: duplicazione, bisezione e angoli complementari derivano tutte da qui (poni $B = A$ oppure $A = 90^\circ$ ).
Onde e suono: in fisica si riscrive $3\sin t + 4\cos t$ come un'unica onda $5\sin(t + \varphi)$ per leggerne l'ampiezza.
Rotazioni: ogni videogioco e ogni braccio robotico ruota i punti con $x' = x\cos\beta - y\sin\beta$ e $y' = x\sin\beta + y\cos\beta$ , che è proprio la formula di addizione.
Angoli tra rette: la formula di sottrazione della tangente dà l'angolo tra due strade, rampe o linee di un tetto direttamente dalle loro pendenze.

Applicazioni nel mondo reale

Unire due onde

In fisica ed elettronica una somma come $3\sin t + 4\cos t$ descrive due onde sovrapposte. La formula di addizione del seno mostra che è un'unica onda $R\sin(t + \varphi)$, e $R$ è la sua ampiezza (quanto è forte).

Esempio:

$R\sin(t + \varphi) = R\cos\varphi \sin t + R\sin\varphi \cos t$ . Confrontando con $3\sin t + 4\cos t$ si ottiene $R\cos\varphi = 3$ e $R\sin\varphi = 4$ .

1Provaci tu stesso

Un segnale è $3\sin t + 4\cos t$ . Vuoi scriverlo come $R\sin(t + \varphi)$ con $R > 0$ .

Quanto vale l'ampiezza $R$ ?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Usa $R^2 = (R\cos\varphi)^2 + (R\sin\varphi)^2$ :

Ruotare punti nei videogiochi e nella robotica

Un punto a distanza $r$ e con angolo $\alpha$ ha coordinate $x = r\cos\alpha$, $y = r\sin\alpha$. Ruotarlo di $\beta$ dà l'angolo $\alpha + \beta$, e le formule di addizione lo trasformano nelle formule di rotazione $x' = x\cos\beta - y\sin\beta$ e $y' = x\sin\beta + y\cos\beta$.

Esempio:

Rotazione di $(1, 0)$ di $90^\circ$ : $x' = 1 \cdot 0 - 0 \cdot 1 = 0$ e $y' = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1$ , quindi il punto va in $(0, 1)$ .

2Provaci tu stesso

Un braccio robotico tiene un utensile nel punto $(4, 3)$ . Ruota di un angolo $\beta$ con $\cos\beta = 0{,}8$ e $\sin\beta = 0{,}6$ .

Qual è la nuova coordinata $y$ dell'utensile?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Usa $y' = x\sin\beta + y\cos\beta$ :

L'angolo tra due strade

Una retta con pendenza $m$ forma con l'asse $x$ un angolo $\theta$ con $\tan\theta = m$. La formula di sottrazione della tangente dà l'angolo tra due rette direttamente dalle pendenze, e i progettisti la usano per incroci, rampe e tetti.

Esempio:

Rette con pendenze $1$ e $0$ : $\tan(\alpha - \beta) = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$ , quindi si incontrano a $45^\circ$ .

3Provaci tu stesso

Su una mappa, una strada ha pendenza $3$ e una seconda strada ha pendenza $\frac{1}{2}$ .

Qual è l'angolo tra le strade, in gradi?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Usa $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta}$ con $\tan\alpha = 3$ , $\tan\beta = \frac{1}{2}$ :

Punti chiave

1 $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ : il seno mantiene il segno e mescola seno e coseno
2 $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ : il coseno cambia il segno
3 $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ : il numeratore mantiene il segno, il denominatore lo cambia
4I valori esatti di $15^\circ$ , $75^\circ$ , $105^\circ$ , $165^\circ$ nascono da somme e differenze di $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ (e $120^\circ$ , $135^\circ$ )
5Con angoli in altri quadranti, trova il seno o il coseno mancante con l'identità pitagorica e prendi il segno dal quadrante
6 $\sin(A + B) \neq \sin A + \sin B$ ; ponendo $B = A$ si ottengono le formule di duplicazione

Domande frequenti

Perché il seno non è una funzione lineare. Raddoppiare un angolo non raddoppia il suo seno:

\sin 30^\circ = 0{,}5

, ma

\sin 60^\circ \approx 0{,}866

, non

1

. La formula di addizione è il sostituto corretto di quella regola sbagliata.

Glossario

Formula di addizione: Una formula per una funzione goniometrica di $A + B$ , per esempio $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$
Formula di sottrazione: Una formula per una funzione goniometrica di $A - B$ , per esempio $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$
Valore esatto: Un valore scritto con interi, frazioni e radici, come $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ , invece di un decimale arrotondato
Angoli notevoli: $30^\circ$ , $45^\circ$ e $60^\circ$ (e i loro associati sulla circonferenza goniometrica), di cui seno, coseno e tangente sono noti esattamente
Segno nel quadrante: Il segno di un valore goniometrico in ogni quadrante: I tutto positivo, II seno, III tangente, IV coseno

Scheda formule

Seno di una somma

\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B

Mantiene il segno, mescola seno e coseno

Seno di una differenza

\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B

Meno tra i due prodotti

Coseno di una somma

\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B

Il segno diventa meno

Coseno di una differenza

\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B

Il segno diventa più

Tangente di una somma

\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}

Il numeratore mantiene il segno, il denominatore lo cambia

Tangente di una differenza

\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}

Numeratore con meno, denominatore con più

Sfida di oggiUn problema, tre tentativi

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Scheda formule

Seno di una somma

Seno di una differenza

Coseno di una somma

Coseno di una differenza

Tangente di una somma

Tangente di una differenza

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Identità reciproche

Identità pitagoriche

Identità trigonometriche pari e dispari

Identità delle cofunzioni