Introduzione ai rapporti trigonometrici

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
In SOH-CAH-TOA, cosa significa 'SOH'?
1. a)Seno = Opposto / Adiacente
2. b)Seno = Ipotenusa / Opposto
3. c)Seno = Adiacente / Ipotenusa
4. d)Seno = Opposto / Ipotenusa
Risposta: Seno = Opposto / Ipotenusa
SOH significa Seno = Opposto / Ipotenusa. La regola mnemonica aiuta a ricordare che il seno è il rapporto del lato opposto all'ipotenusa.
2.
Quale lato di un triangolo rettangolo è sempre il più lungo?
1. a)Dipende dall'angolo
2. b)Adiacente
3. c)Ipotenusa
4. d)Opposto
Risposta: Ipotenusa
L'ipotenusa è sempre il lato più lungo di un triangolo rettangolo. Si trova di fronte all'angolo retto (90 gradi).
3.
In un triangolo rettangolo, il lato opposto misura 3 e l'ipotenusa misura 5. Quanto vale $\sin(\theta)$ ? Scrivi il risultato come numero decimale.
Risposta: 0.6
$\sin(\theta) = \frac{\text{opposto}}{\text{ipotenusa}} = \frac{3}{5} = 0{,}6$
4.
In un triangolo rettangolo, il lato adiacente misura 4 e l'ipotenusa misura 5. Quanto vale $\cos(\theta)$ ? Scrivi il risultato come numero decimale.
Risposta: 0.8
$\cos(\theta) = \frac{\text{adiacente}}{\text{ipotenusa}} = \frac{4}{5} = 0{,}8$
5.
Quale rapporto trigonometrico usa i lati opposto e adiacente (non l'ipotenusa)?
1. a)Seno
2. b)Secante
3. c)Coseno
4. d)Tangente
Risposta: Tangente
Tangente (TOA) = Opposto / Adiacente. È l'unico rapporto primario che non include l'ipotenusa.
6.
In un triangolo rettangolo, il lato opposto misura 5 e il lato adiacente misura 12. Quanto vale $\tan(\theta)$ ? Scrivi il risultato come frazione (ad esempio 2/3).
Risposta: 5/12
$\tan(\theta) = \frac{\text{opposto}}{\text{adiacente}} = \frac{5}{12}$
7.
Un triangolo rettangolo ha lati di 5, 12 e 13. Trova tutti e tre i rapporti trigonometrici per l'angolo opposto al lato di lunghezza 5.
Risposta: sin = 5/13, cos = 12/13, tan = 5/12
1. Quale lato è l'ipotenusa? 13
2. Quale lato è opposto al nostro angolo? 5
3. Quale lato è adiacente al nostro angolo? 12
4. Calcola sin (opposto/ipotenusa) 5/13
5. Calcola cos (adiacente/ipotenusa) 12/13
6. Calcola tan (opposto/adiacente) 5/12
8.
Se $\sin(\theta) = 0{,}5$ , cosa puoi concludere sul lato opposto e l'ipotenusa?
1. a)L'opposto è il doppio dell'ipotenusa
2. b)L'opposto è uguale all'ipotenusa
3. c)L'adiacente è metà dell'ipotenusa
4. d)L'opposto è metà dell'ipotenusa
Risposta: L'opposto è metà dell'ipotenusa
Poiché $\sin(\theta) = \frac{\text{opposto}}{\text{ipotenusa}} = 0{,}5 = \frac{1}{2}$ , il lato opposto è metà dell'ipotenusa.
9.
In un triangolo rettangolo, il lato opposto è 8 e l'ipotenusa è 10. Trova tutti e tre i rapporti trigonometrici.
Risposta: sin = 0,8; cos = 0,6; tan = 4/3
1. Calcola sin (opposto/ipotenusa) come decimale 0.8
2. Usa Pitagora per trovare l'adiacente: sqrt(10^2 - 8^2) 6
3. Calcola cos (adiacente/ipotenusa) come decimale 0.6
4. Calcola tan (opposto/adiacente) come frazione 8/6
10.
In un triangolo rettangolo, $\tan(\theta) = 1$ e il cateto adiacente a $\theta$ è lungo 7 cm. Quanto è lungo il cateto opposto, in cm?
Risposta: 7
$\tan(\theta) = \frac{\text{opposto}}{\text{adiacente}} = 1$ significa che il cateto opposto è lungo quanto quello adiacente, cioè 7 cm. (Succede quando $\theta = 45°$ .)
11.
Una scala di 10 metri è appoggiata a un muro. Il piede della scala è a 6 metri dal muro. Trova il seno dell'angolo che la scala forma con il terreno.
Risposta: 0,8
1. Qual è l'ipotenusa in questo problema? 10
2. Qual è il lato adiacente (distanza dal muro)? 6
3. Usa Pitagora per trovare l'altezza: sqrt(10^2 - 6^2) 8
4. Calcola sin (altezza/lunghezza scala) 0.8
12.
Per quale angolo $\sin(\theta) = \cos(\theta)$ ?
1. a)30 gradi
2. b)90 gradi
3. c)45 gradi
4. d)60 gradi
Risposta: 45 gradi
A 45 gradi, i lati opposto e adiacente sono uguali, quindi $\frac{\text{opp}}{\text{ipo}} = \frac{\text{adi}}{\text{ipo}}$ , il che significa $\sin(45°) = \cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
13.
In un triangolo rettangolo, $\sin(\theta) = \frac{5}{13}$ . Trova $\cos(\theta)$ e $\tan(\theta)$ .
Risposta: cos = 12/13, tan = 5/12
1. Da sin = 5/13, qual è il lato opposto? 5
2. Qual è l'ipotenusa? 13
3. Trova l'adiacente con Pitagora: sqrt(13^2 - 5^2) 12
4. Calcola cos (adiacente/ipotenusa) 12/13
5. Calcola tan (opposto/adiacente) 5/12
14.
Se $\cos(\theta) = 0{,}6$ e l'ipotenusa è 15, qual è la lunghezza del lato adiacente?
Risposta: 9
Adiacente = $\cos(\theta) \times \text{ipotenusa} = 0{,}6 \times 15 = 9$
15.
Una rampa sale di 3 metri su una distanza orizzontale di 4 metri. Trova seno, coseno e tangente dell'angolo che la rampa forma con il terreno.
Risposta: sin = 0,6; cos = 0,8; tan = 0,75
1. Di quanto sale la rampa (lato opposto)? 3
2. Qual è la distanza orizzontale (lato adiacente)? 4
3. Trova l'ipotenusa: sqrt(3^2 + 4^2) 5
4. Calcola sin (opposto/ipotenusa) come numero decimale 0.6
5. Calcola cos (adiacente/ipotenusa) come numero decimale 0.8
6. Calcola tan (opposto/adiacente) come numero decimale 0.75