Kwadraatafsplitsen

Beheers de techniek van kwadraatafsplitsen om kwadratische vergelijkingen op te lossen en om te schrijven naar topvorm.

Gevorderd30 minLes
Werkblad om te printen

Definitie

Kwadraatafsplitsen is een techniek om een kwadratische uitdrukking ax2+bx+cax^2 + bx + c te herschrijven in de vorm a(x−h)2+ka(x - h)^2 + k, genaamd topvorm.
Het kernidee: we tellen dezelfde waarde op en trekken deze af om een volkomen kwadraat te maken.
x2+bx+(b2)2=(x+b2)2x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2
Bijvoorbeeld:
x2+6x+9=(x+3)2x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2
Hier maakt (62)2=9\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9 het kwadraat compleet.

Probeer het meteen

Welke waarde maakt het kwadraat compleet voor x2+6xx^2 + 6x?

Uitgewerkte voorbeelden

Splits het kwadraat af: x2+8xx^2 + 8x
1

Identificeer de coëfficiënt van x

b=8b = 8 → De coëfficiënt is 8
2

Neem de helft van b

82=4\frac{8}{2} = 4 → De helft is 4
3

Kwadrateer het resultaat

42=164^2 = 16 → We moeten 16 optellen
4

Tel deze waarde op en trek af

x2+8x+16−16x^2 + 8x + 16 - 16 → Evenwicht behouden
5

Ontbind het volkomen kwadraat

(x+4)2−16(x + 4)^2 - 16 → Afgesplitste vorm

Veelgemaakte fouten

Vergeten om aan beide kanten op te tellen bij het oplossen van een vergelijking

Waarom het fout is: Bij kwadraatafsplitsen in een vergelijking moet wat aan één kant wordt opgeteld ook aan de andere kant worden opgeteld om de gelijkheid te behouden.

Correct: Na het optellen van (b2)2\left(\frac{b}{2}\right)^2 aan de linkerkant, tel dezelfde waarde op aan de rechterkant.

De hoofdcoëfficiënt niet eerst buiten haakjes halen

Waarom het fout is: Wanneer a≠1a \neq 1 in ax2+bx+cax^2 + bx + c, geeft direct kwadraatafsplitsen verkeerde resultaten.

Correct: Haal eerst aa buiten de x2x^2- en xx-termen, splits dan het kwadraat af binnen.

bb gebruiken in plaats van b2\frac{b}{2} om het kwadraat te completeren

Waarom het fout is: De formule vereist de helft van de coëfficiënt van xx, gekwadrateerd.

Correct: Gebruik altijd (b2)2\left(\frac{b}{2}\right)^2, niet b2b^2.

Vergeten te vermenigvuldigen bij het uitwerken

Waarom het fout is: Wanneer aa buiten haakjes staat, wordt de afgetrokken waarde binnen vermenigvuldigd met aa.

Correct: In 2(x2+6x+9−9)2(x^2 + 6x + 9 - 9) wordt −9-9 tot −18-18 bij uitwerken: 2(−9)=−182(-9) = -18.

Interactieve visualisatie

Oppervlaktemodel: kwadraat afsplitsen

x² + bx is een vierkant met een ontbrekende hoek. (b/2)² erbij maakt het compleet.

x2x^2
4x4x
4x4x
+16+16
xx
44
xx
44

Lengte × breedte = oppervlakte

x2+8x=(x+4)2−16x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 16

Tel 16 erbij om de hoek te vullen: zo krijg je een volledig kwadraat.

Vergelijkingsoplosser

Los op voor xx:

x2+6x+2=0x^{2} + 6x + 2 = 0
1
x2+6x+2=0x^{2} + 6x + 2 = 0
Trek 22 af van beide zijdenHoud links alleen de termen met de variabele

Tips:

  • • Wat je aan een kant doet, doe je aan de andere kant
  • • Maak bewerkingen ongedaan in omgekeerde volgorde
  • • Controleer je antwoord door te substitueren

Volg terwijl we de vergelijking stap voor stap oplossen.

Interactieve sandbox

Interactieve grafiek

-10-50510-10-50510xy

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

Probeer deze voorbeelden:

y = x^2 - 4x + 7

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

16 opgaven
Opgave 1 van 16
Makkelijk
Welke waarde maakt het kwadraat compleet voor x2+6xx^2 + 6x?

Waarom het belangrijk is

Kwadraatafsplitsen is een van de krachtigste algebraïsche technieken omdat het:
  • Elke kwadratische vergelijking oplost (zelfs wanneer ontbinden niet werkt)
  • Het toppunt onthult van een parabool direct uit de vergelijking
  • De ABC-formule afleidt (die komt van kwadraatafsplitsen!)
  • Cirkels transformeert van algemene naar standaardvorm in meetkunde
Zonder deze techniek zouden veel kwadratische vergelijkingen onoplosbaar zijn met de hand!

Toepassingen in de echte wereld

Projectielbeweging

Ingenieurs gebruiken kwadraatafsplitsen om de maximale hoogte van projectielen te vinden.

Voorbeeld:

De hoogte van een bal is h=−16t2+64t+5h = -16t^2 + 64t + 5 voet. Kwadraatafsplitsen: h=−16(t−2)2+69h = -16(t - 2)^2 + 69. De maximale hoogte is 69 voet bij t=2t = 2 seconden.

1Probeer het zelf

De hoogte van een raket wordt gegeven door h=−5t2+30t+10h = -5t^2 + 30t + 10 meter.

Wat is de maximale hoogte?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Splits het kwadraat af om het toppunt te vinden:

Architectuur en ontwerp

Architecten gebruiken kwadraatafsplitsen om parabolische bogen te ontwerpen en hun hoogste punten te bepalen.

Voorbeeld:

Een brugboog volgt y=−0,01x2+2xy = -0,01x^2 + 2x. In topvorm: y=−0,01(x−100)2+100y = -0,01(x - 100)^2 + 100. De boog bereikt 100 meter hoogte in het midden.

2Probeer het zelf

Een parabolische schotelantenne wordt gemodelleerd door y=−0,25x2+4x+3y = -0,25x^2 + 4x + 3.

Bij welke x-coördinaat is de schotel het diepst?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Vind de x-coördinaat van het toppunt:

Economie en winstoptimalisatie

Bedrijven gebruiken kwadratische modellen om de optimale prijs te vinden voor maximale winst.

Voorbeeld:

De winst van een bedrijf is P=−2x2+40x−150P = -2x^2 + 40x - 150 euro waar xx de prijs is. Topvorm: P=−2(x−10)2+50P = -2(x - 10)^2 + 50. Maximale winst van €50 treedt op bij prijs €10.

3Probeer het zelf

De omzet wordt gemodelleerd door R=−3x2+24xR = -3x^2 + 24x waar xx de verkochte eenheden in duizenden zijn.

Hoeveel eenheden maximaliseren de omzet?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Vind het toppunt:

Belangrijke punten

  • 1Kwadraatafsplitsen transformeert x2+bxx^2 + bx naar (x+b2)2−(b2)2(x + \frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2
  • 2De sleutelwaarde om op te tellen is altijd (b2)2\left(\frac{b}{2}\right)^2
  • 3Wanneer a≠1a \neq 1, haal eerst aa buiten de xx-termen
  • 4De topvorm a(x−h)2+ka(x - h)^2 + k onthult direct het toppunt (h,k)(h, k)
  • 5Deze techniek kan elke kwadratische vergelijking oplossen, zelfs wanneer ontbinden faalt

Veelgestelde vragen

Gebruik kwadraatafsplitsen wanneer: (1) de kwadratische niet mooi ontbindt met gehele getallen, (2) je het toppunt van een parabool moet vinden, of (3) je de ABC-formule afleidt. Ontbinden is sneller wanneer het werkt, maar kwadraatafsplitsen werkt altijd.
Gebruik kwadraatafsplitsen wanneer: (1) de kwadratische niet mooi ontbindt met gehele getallen, (2) je het toppunt van een parabool moet vinden, of (3) je de ABC-formule afleidt. Ontbinden is sneller wanneer het werkt, maar kwadraatafsplitsen werkt altijd.
Het optellen en aftrekken van dezelfde waarde is als het optellen van nul, wat de waarde van de uitdrukking niet verandert. Dit stelt ons in staat een volkomen kwadraat te maken zonder te veranderen wat de uitdrukking waard is.
De ABC-formule wordt afgeleid door kwadraatafsplitsen op de algemene vorm ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0. De formule x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} komt rechtstreeks uit dit proces!

Woordenlijst

Kwadraatafsplitsen
Een methode om een kwadratische uitdrukking te herschrijven als een volkomen kwadraat plus of min een constante
Volkomen kwadraat
Een trinoom die ontbindt als (x+a)2(x + a)^2 of (x−a)2(x - a)^2, zoals x2+6x+9=(x+3)2x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2
Topvorm
De vorm a(x−h)2+ka(x - h)^2 + k waar (h,k)(h, k) het toppunt van de parabool is
Standaardvorm
De vorm ax2+bx+cax^2 + bx + c voor een kwadratische uitdrukking

Formulekaart

Formule voor kwadraatafsplitsen

x2+bx=(x+b2)2−(b2)2x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2

De kernttransformatie voor kwadraatafsplitsen

Waarde om op te tellen

(b2)2\left(\frac{b}{2}\right)^2

De waarde die je optelt en aftrekt om een volkomen kwadraat te maken

Topvorm

y=a(x−h)2+ky = a(x - h)^2 + k

Het toppunt van de parabool is bij punt (h, k)

Patronen van volkomen kwadraten

(x+a)2=x2+2ax+a2(x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2

Het uitwerken van een gekwadrateerde binoom geeft een volkomen kwadraat

Uitdaging van vandaagEén opgave, drie pogingen

Meer over dit onderwerp

Kwadratische vergelijkingen oplossen met vierkantswortels

Gemiddeld25 min

Introductie tot kwadratische vergelijkingen

Gevorderd25 min

Topvorm

Gemiddeld25 min

De abc-formule

Gemiddeld25 min