De abc-formule

Leer elke kwadratische vergelijking op te lossen met de abc-formule.

Gemiddeld25 minLes
Werkblad om te printen

Definitie

De abc-formule lost elke vergelijking van de vorm ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 op:
x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Waarbij:
  • aa, bb en cc de coëfficiënten van de vergelijking zijn
  • a≠0a \neq 0 (anders is het geen kwadratische vergelijking)
  • Het ±\pm-symbool betekent dat er meestal twee oplossingen zijn
De uitdrukking onder de wortel, b2−4acb^2 - 4ac, heet de discriminant.

Probeer het meteen

In de vergelijking x2+5x+6=0x^2 + 5x + 6 = 0, wat zijn de waarden van aa, bb en cc?

Uitgewerkte voorbeelden

Los x2+6x+5=0x^2 + 6x + 5 = 0 op met de abc-formule.
1

Identificeer a, b en c

Vergelijking met ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0: a=1a = 1, b=6b = 6, c=5c = 5
2

Bereken de discriminant

b2−4ac=62−4(1)(5)=36−20=16b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(5) = 36 - 20 = 16 → D=16D = 16
3

Pas de formule toe

x=−6±162(1)=−6±42x = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{-6 \pm 4}{2} → x=−6±42x = \frac{-6 \pm 4}{2}
4

Vind beide oplossingen

x1=−6+42=−22=−1x_1 = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 x2=−6−42=−102=−5x_2 = \frac{-6 - 4}{2} = \frac{-10}{2} = -5 → x=−1x = -1 of x=−5x = -5

Veelgemaakte fouten

Vergeten b negatief te maken wanneer het al negatief is

Waarom het fout is: Als b=−7b = -7, dan is −b=−(−7)=7-b = -(-7) = 7, niet −7-7. De formule zegt −b-b, dus je negeert wat b ook is.

Correct: Schrijf altijd eerst −b-b, substitueer dan: als b=−7b = -7, schrijf −(−7)=7-(-7) = 7

b2b^2 verkeerd berekenen wanneer b negatief is

Waarom het fout is: Leerlingen schrijven soms −72=−49-7^2 = -49 in plaats van (−7)2=49(-7)^2 = 49

Correct: De hele coëfficiënt wordt gekwadrateerd: (−7)2=(−7)×(−7)=49(-7)^2 = (-7) \times (-7) = 49

Alleen een deel van de teller delen door 2a

Waarom het fout is: Schrijven van −b2a±b2−4ac\frac{-b}{2a} \pm \sqrt{b^2-4ac} in plaats van −b±b2−4ac2a\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Correct: De hele teller (−b±...)(-b \pm \sqrt{...}) wordt gedeeld door 2a2a

Stoppen bij één oplossing

Waarom het fout is: De ±\pm betekent plus OF min, wat twee mogelijke oplossingen geeft

Correct: Bereken altijd beide: x1=−b+D2ax_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} en x2=−b−D2ax_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}

Interactieve visualisatie

Kwadratische verkenner

y = x² + 6x + 5

Bepaalt breedte en richting

Verschuift de parabool

Y-snijpunt

xy

Top

(-3, -4)

Symmetrieas

x = -3

Nulpunten (x-snijpunten)

x = -1, x = -5

Y-snijpunt

(0, 5)

Richting

Opent naar boven

Discriminant

b² - 4ac = 16

Waardetabel

x-3-2-10123
y-4-305122132
TopNulpuntenY-snijpuntSymmetrieas

Vergelijkingsoplosser

Los op voor xx:

x2+6x+5=0x^{2} + 6x + 5 = 0
1
x2+6x+5=0x^{2} + 6x + 5 = 0
Lees a, b en c afEen kwadratische vergelijking los je op vanuit de standaardvorm

Tips:

  • • Wat je aan een kant doet, doe je aan de andere kant
  • • Maak bewerkingen ongedaan in omgekeerde volgorde
  • • Controleer je antwoord door te substitueren

Volg terwijl we de vergelijking stap voor stap oplossen.

Interactieve sandbox

Interactieve grafiek

-10-50510-10-50510xy

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

Probeer deze voorbeelden:

y = x^2 + 6x + 5

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

15 opgaven
Opgave 1 van 15
Makkelijk
In de vergelijking x2+5x+6=0x^2 + 5x + 6 = 0, wat zijn de waarden van aa, bb en cc?

Waarom het belangrijk is

De abc-formule is een van de krachtigste hulpmiddelen in de algebra omdat:
  • Universeel: Het werkt voor ELKE kwadratische vergelijking, zelfs als ontbinden niet lukt
  • Voorspelbaar: Volg elke keer dezelfde stappen
  • Praktische toepassingen: Natuurkunde (projectielbeweging), techniek (parabolische structuren), financiën (winstoptimalisatie)
Hoewel ontbinden sneller is wanneer het werkt, hebben veel praktische problemen "lastige" getallen die niet makkelijk te ontbinden zijn. De abc-formule lost ze allemaal op!

Toepassingen in de echte wereld

Projectielbeweging

Wanneer je een bal gooit, volgt de hoogte een kwadratische vergelijking. De formule helpt te vinden wanneer hij landt.

Voorbeeld:

Een omhoog gegooide bal heeft hoogte h=−5t2+20t+1h = -5t^2 + 20t + 1 meter na tt seconden. Om te vinden wanneer hij de grond raakt (h=0h = 0), los je −5t2+20t+1=0-5t^2 + 20t + 1 = 0 op met de formule.

1Probeer het zelf

De hoogte van een raket wordt gemodelleerd door h=−4t2+32th = -4t^2 + 32t meter.

Wanneer keert de raket terug naar de grond?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Stel h=0h = 0 en identificeer de coëfficiënten:

Zakelijke winstoptimalisatie

Bedrijven gebruiken kwadratische vergelijkingen om winst te modelleren en break-even punten te vinden.

Voorbeeld:

De winst van een bedrijf is W=−2x2+100x−800W = -2x^2 + 100x - 800 euro, waarbij xx de verkochte eenheden zijn. Om de break-even punten te vinden (waar W=0W = 0), gebruik de abc-formule.

2Probeer het zelf

De wekelijkse winst van een winkel is W=−x2+50x−400W = -x^2 + 50x - 400 euro voor xx verkochte artikelen.

Bij welke verkoopniveaus haalt de winkel break-even?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Los −x2+50x−400=0-x^2 + 50x - 400 = 0 op:

Belangrijke punten

  • 1De abc-formule is x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
  • 2Het werkt voor elke vergelijking van de vorm ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0
  • 3De discriminant D=b2−4acD = b^2 - 4ac geeft aan hoeveel oplossingen er bestaan
  • 4Als D>0D > 0: twee verschillende reële oplossingen; als D=0D = 0: één herhaalde oplossing; als D<0D < 0: geen reële oplossingen
  • 5Controleer je antwoorden altijd door ze terug te substitueren in de oorspronkelijke vergelijking

Veelgestelde vragen

Gebruik de abc-formule wanneer: (1) de vergelijking niet makkelijk te ontbinden is, (2) de coëfficiënten groot of decimaal zijn, of (3) je een betrouwbare methode wilt die altijd werkt. Ontbinden is sneller wanneer het werkt, maar de formule is universeler.
Gebruik de abc-formule wanneer: (1) de vergelijking niet makkelijk te ontbinden is, (2) de coëfficiënten groot of decimaal zijn, of (3) je een betrouwbare methode wilt die altijd werkt. Ontbinden is sneller wanneer het werkt, maar de formule is universeler.
Wanneer b2−4ac=0b^2 - 4ac = 0, heeft de vergelijking precies één oplossing (een dubbele wortel genoemd). Grafisch raakt de parabool de x-as in slechts één punt.
De ±\pm komt van het trekken van de wortel. Omdat 52=255^2 = 25 en (−5)2=25(-5)^2 = 25, kan de wortel van 25 zowel +5 als -5 zijn. Dit geeft ons twee mogelijke waarden voor x.

Woordenlijst

Kwadratische vergelijking
Een vergelijking van de vorm ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 waarbij a≠0a \neq 0
Discriminant
De uitdrukking b2−4acb^2 - 4ac die het aantal en type oplossingen bepaalt
Coëfficiënt
De numerieke factor van een term (bijv. in 3x23x^2 is de coëfficiënt 3)
Wortel/Oplossing
Een waarde van xx die de vergelijking waar maakt (waar de parabool de x-as snijdt)

Formulekaart

Abc-formule

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Lost elke vergelijking $ax^2 + bx + c = 0$ op

Discriminant

D=b2−4acD = b^2 - 4ac

Bepaalt het aantal en type oplossingen

Twee oplossingen

D>0D > 0

Discriminant positief: twee verschillende reële wortels

Eén oplossing

D=0D = 0

Discriminant nul: één dubbele wortel

Geen reële oplossingen

D<0D < 0

Discriminant negatief: geen reële wortels

Uitdaging van vandaagEén opgave, drie pogingen

Meer over dit onderwerp

Kwadratische vergelijkingen oplossen met vierkantswortels

Gemiddeld25 min

Introductie tot kwadratische vergelijkingen

Gevorderd25 min

Topvorm

Gemiddeld25 min

Kwadraatafsplitsen

Gevorderd30 min