Basis kwadraatafsplitsen

Splits het kwadraat af: $x^2 + 8x$

Identificeer de coëfficiënt van x: $b = 8$ = De coëfficiënt is 8

Neem de helft van b: $\frac{8}{2} = 4$ = De helft is 4

Kwadrateer het resultaat: $4^2 = 16$ = We moeten 16 optellen

Tel deze waarde op en trek af: $x^2 + 8x + 16 - 16$ = Evenwicht behouden

Ontbind het volkomen kwadraat: $(x + 4)^2 - 16$ = Afgesplitste vorm

Answer: $x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 16$

Oplossen door kwadraatafsplitsen

Los $x^2 + 6x + 2 = 0$ op door kwadraatafsplitsen

Verplaats de constante naar rechts: $x^2 + 6x = -2$ = Termen met x geïsoleerd

Vind de waarde om het kwadraat te completeren: $\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9$ = We moeten 9 optellen

Tel aan beide kanten op: $x^2 + 6x + 9 = -2 + 9$ = $(x + 3)^2 = 7$

Neem de wortel van beide kanten: $x + 3 = \pm\sqrt{7}$ = Twee oplossingen

Los op naar x: $x = -3 \pm \sqrt{7}$ = Eindantwoord

Answer: $x = -3 + \sqrt{7}$ of $x = -3 - \sqrt{7}$

Omzetten naar topvorm

Schrijf $y = x^2 - 4x + 7$ in topvorm en identificeer het toppunt

Groepeer de x-termen: $y = (x^2 - 4x) + 7$ = Gegroepeerd

Splits het kwadraat af binnen de haakjes: $\left(\frac{-4}{2}\right)^2 = 4$ = Optellen en aftrekken van 4

Tel op en trek af, hergroepeer dan: $y = (x^2 - 4x + 4) + 7 - 4$ = Evenwicht behouden

Ontbind en vereenvoudig: $y = (x - 2)^2 + 3$ = Topvorm

Identificeer het toppunt: Topvorm: $y = (x - h)^2 + k$ = Het toppunt is $(2, 3)$

Answer: $y = (x - 2)^2 + 3$, toppunt in $(2, 3)$

Wanneer de hoofdcoëfficiënt niet 1 is

Splits het kwadraat af: $2x^2 + 12x + 5$

Haal de hoofdcoëfficiënt buiten de x-termen: $2(x^2 + 6x) + 5$ = 2 buiten haakjes

Splits het kwadraat af binnen de haakjes: $\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9$ = 9 is nodig

Tel 9 op en trek af binnen de haakjes: $2(x^2 + 6x + 9 - 9) + 5$ = 9 opgeteld, 9 afgetrokken

Vermenigvuldig de -9 uit en vereenvoudig: $2(x^2 + 6x + 9) - 18 + 5$ = Let op: $2 \times (-9) = -18$

Ontbind en combineer de constanten: $2(x + 3)^2 - 13$ = Eindtopvorm

Answer: $2x^2 + 12x + 5 = 2(x + 3)^2 - 13$

Mistake: Vergeten om aan beide kanten op te tellen bij het oplossen van een vergelijking

Why: Bij kwadraatafsplitsen in een vergelijking moet wat aan één kant wordt opgeteld ook aan de andere kant worden opgeteld om de gelijkheid te behouden.

Correct: Na het optellen van $\left(\frac{b}{2}\right)^2$ aan de linkerkant, tel dezelfde waarde op aan de rechterkant.

Mistake: De hoofdcoëfficiënt niet eerst buiten haakjes halen

Why: Wanneer $a \neq 1$ in $ax^2 + bx + c$, geeft direct kwadraatafsplitsen verkeerde resultaten.

Correct: Haal eerst $a$ buiten de $x^2$- en $x$-termen, splits dan het kwadraat af binnen.

Mistake: $b$ gebruiken in plaats van $\frac{b}{2}$ om het kwadraat te completeren

Why: De formule vereist de helft van de coëfficiënt van $x$, gekwadrateerd.

Correct: Gebruik altijd $\left(\frac{b}{2}\right)^2$, niet $b^2$.

Mistake: Vergeten te vermenigvuldigen bij het uitwerken

Why: Wanneer $a$ buiten haakjes staat, wordt de afgetrokken waarde binnen vermenigvuldigd met $a$.

Correct: In $2(x^2 + 6x + 9 - 9)$ wordt $-9$ tot $-18$ bij uitwerken: $2(-9) = -18$.

Projectielbeweging

Ingenieurs gebruiken kwadraatafsplitsen om de maximale hoogte van projectielen te vinden.

De hoogte van een bal is $h = -16t^2 + 64t + 5$ voet. Kwadraatafsplitsen: $h = -16(t - 2)^2 + 69$. De maximale hoogte is 69 voet bij $t = 2$ seconden.

Architectuur en ontwerp

Architecten gebruiken kwadraatafsplitsen om parabolische bogen te ontwerpen en hun hoogste punten te bepalen.

Een brugboog volgt $y = -0,01x^2 + 2x$. In topvorm: $y = -0,01(x - 100)^2 + 100$. De boog bereikt 100 meter hoogte in het midden.

Economie en winstoptimalisatie

Bedrijven gebruiken kwadratische modellen om de optimale prijs te vinden voor maximale winst.

De winst van een bedrijf is $P = -2x^2 + 40x - 150$ euro waar $x$ de prijs is. Topvorm: $P = -2(x - 10)^2 + 50$. Maximale winst van €50 treedt op bij prijs €10.

Q: Wanneer moet ik kwadraatafsplitsen gebruiken in plaats van ontbinden?

A: Gebruik kwadraatafsplitsen wanneer: (1) de kwadratische niet mooi ontbindt met gehele getallen, (2) je het toppunt van een parabool moet vinden, of (3) je de ABC-formule afleidt. Ontbinden is sneller wanneer het werkt, maar kwadraatafsplitsen werkt altijd.

Q: Waarom tellen we dezelfde waarde op en trekken we die af?

A: Het optellen en aftrekken van dezelfde waarde is als het optellen van nul, wat de waarde van de uitdrukking niet verandert. Dit stelt ons in staat een volkomen kwadraat te maken zonder te veranderen wat de uitdrukking waard is.

Q: Hoe is dit gerelateerd aan de ABC-formule?

A: De ABC-formule wordt afgeleid door kwadraatafsplitsen op de algemene vorm $ax^2 + bx + c = 0$. De formule $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ komt rechtstreeks uit dit proces!