Optellen van rationale uitdrukkingen (ongelijke noemers)

Leer hoe je rationale uitdrukkingen met verschillende noemers optelt door de kgv te vinden.

Gevorderd25 minLes
Werkblad om te printen

Definitie

Om rationale uitdrukkingen met ongelijke noemers op te tellen, moeten we eerst een gemeenschappelijke noemer vinden. Het proces is vergelijkbaar met het optellen van numerieke breuken:
ab+cd=ad+bcbd\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}
Voor rationale uitdrukkingen:
  1. 1.Ontbind elke noemer volledig in factoren
  2. 2.Vind de kgv (kleinste gemene veelvoud)
  3. 3.Herschrijf elke breuk met de kgv
  4. 4.Tel de tellers op
  5. 5.Vereenvoudig indien mogelijk
2x+1+3x−1=2(x−1)+3(x+1)(x+1)(x−1)=5x+1x2−1\frac{2}{x+1} + \frac{3}{x-1} = \frac{2(x-1) + 3(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{5x+1}{x^2-1}

Probeer het meteen

Wat is de kgv van 1x\frac{1}{x} en 1x+2\frac{1}{x+2}?

Uitgewerkte voorbeelden

Vereenvoudig: 2x+3+5x−2\frac{2}{x+3} + \frac{5}{x-2}
1

Identificeer de noemers

Noemer 1: (x+3)(x+3), Noemer 2: (x−2)(x-2) → Beide zijn lineair, geen gemeenschappelijke factoren
2

Vind de kgv

kgv = (x+3)(x−2)(x+3)(x-2) → Vermenigvuldig de verschillende factoren
3

Herschrijf de eerste breuk

2x+3⋅x−2x−2=2(x−2)(x+3)(x−2)\frac{2}{x+3} \cdot \frac{x-2}{x-2} = \frac{2(x-2)}{(x+3)(x-2)} → 2x−4(x+3)(x−2)\frac{2x-4}{(x+3)(x-2)}
4

Herschrijf de tweede breuk

5x−2⋅x+3x+3=5(x+3)(x+3)(x−2)\frac{5}{x-2} \cdot \frac{x+3}{x+3} = \frac{5(x+3)}{(x+3)(x-2)} → 5x+15(x+3)(x−2)\frac{5x+15}{(x+3)(x-2)}
5

Tel de tellers op

2x−4+5x+15(x+3)(x−2)\frac{2x-4+5x+15}{(x+3)(x-2)} → 7x+11(x+3)(x−2)\frac{7x+11}{(x+3)(x-2)}

Veelgemaakte fouten

Vergeten om noemers eerst te ontbinden

Waarom het fout is: Zonder ontbinding kun je gemeenschappelijke factoren missen en een grotere kgv maken dan nodig, wat het probleem moeilijker maakt.

Correct: Ontbind altijd elke noemer volledig voordat je de kgv vindt. Bijvoorbeeld: x2−9=(x+3)(x−3)x^2-9 = (x+3)(x-3).

Noemers optellen in plaats van kgv vinden

Waarom het fout is: In tegenstelling tot tellers worden noemers niet opgeteld. De kgv moet alle factoren van elke noemer bevatten.

Correct: 1x+2+1x+3≠22x+5\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+3} \neq \frac{2}{2x+5}. De kgv is (x+2)(x+3)(x+2)(x+3).

Vergeten om zowel teller als noemer te vermenigvuldigen

Waarom het fout is: Bij het omzetten naar de kgv moet je vermenigvuldigen met een vorm van 1 (dezelfde uitdrukking gedeeld door zichzelf) om de waarde onveranderd te houden.

Correct: 2x+1=2(x−1)(x+1)(x−1)\frac{2}{x+1} = \frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)}, niet 2(x+1)(x−1)\frac{2}{(x+1)(x-1)}.

Het eindantwoord niet vereenvoudigen

Waarom het fout is: Na het optellen kan de resulterende teller een gemeenschappelijke factor delen met de noemer.

Correct: Controleer altijd of de teller ontbonden kan worden en of factoren weggestreept kunnen worden met de noemer.

Interactieve visualisatie

1/2
1/3

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

17 opgaven
Opgave 1 van 17
Makkelijk
Wat is de kgv van 1x\frac{1}{x} en 1x+2\frac{1}{x+2}?

Waarom het belangrijk is

Het optellen van rationale uitdrukkingen met ongelijke noemers komt voor in veel toepassingen uit de echte wereld:
  • Fysica: Combineren van weerstanden in parallelschakeling: 1Rtotaal=1R1+1R2\frac{1}{R_{totaal}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}
  • Werkproblemen: Als een werker een taak in xx uur voltooit en een andere in yy uur, voltooien ze samen 1x+1y\frac{1}{x} + \frac{1}{y} van het werk per uur
  • Optica: De dunne lensformule: 1f=1do+1di\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}
  • Tariefproblemen: Combineren van verschillende productie- of reissnelheden
Het beheersen van deze vaardigheid is essentieel voor het oplossen van complexe algebraïsche vergelijkingen en optimalisatieproblemen uit de praktijk.

Toepassingen in de echte wereld

Parallelweerstanden in elektronica

Wanneer weerstanden parallel geschakeld zijn, wordt de totale weerstand berekend met een formule met ongelijke noemers.

Voorbeeld:

Voor twee weerstanden van R1=xR_1 = x ohm en R2=x+2R_2 = x+2 ohm in parallel: 1Rtotaal=1x+1x+2=2x+2x(x+2)\frac{1}{R_{totaal}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} = \frac{2x+2}{x(x+2)}

1Probeer het zelf

Je hebt twee weerstanden: een van xx ohm en een van (x+3)(x+3) ohm parallel geschakeld.

Vind een uitdrukking voor de totale weerstand.

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Vind eerst 1Rtotaal=1x+1x+3\frac{1}{R_{totaal}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+3}

Gecombineerde werktariefproblemen

Wanneer twee personen samenwerken, omvat hun gecombineerde tarief het optellen van breuken met verschillende noemers.

Voorbeeld:

Als Werker A een taak in xx uur voltooit en Werker B in (x+2)(x+2) uur, is hun gecombineerde tarief 1x+1x+2=2x+2x(x+2)\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} = \frac{2x+2}{x(x+2)} taken per uur.

2Probeer het zelf

Machine A produceert een batch in tt uur. Machine B produceert dezelfde batch in (t+4)(t+4) uur.

Welk deel van de batch produceren beide machines samen in een uur?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Gecombineerd tarief = 1t+1t+4\frac{1}{t} + \frac{1}{t+4}

Belangrijke punten

  • 1Om rationale uitdrukkingen met ongelijke noemers op te tellen, ontbind eerst alle noemers volledig
  • 2Vind de kgv door elke factor het maximale aantal keren op te nemen dat het in een noemer voorkomt
  • 3Vermenigvuldig elke breuk met een vorm van 1 om naar de kgv om te zetten
  • 4Tel de tellers op terwijl je de gemeenschappelijke noemer behoudt
  • 5Vereenvoudig het resultaat door te ontbinden en gemeenschappelijke factoren weg te strepen

Veelgestelde vragen

Ontbind elke noemer volledig. De kgv bevat elke factor verheven tot de hoogste macht waarin het in een noemer voorkomt. Bijvoorbeeld: voor 1x2(x+1)\frac{1}{x^2(x+1)} en 1x(x+1)2\frac{1}{x(x+1)^2} is de kgv x2(x+1)2x^2(x+1)^2.
Ontbind elke noemer volledig. De kgv bevat elke factor verheven tot de hoogste macht waarin het in een noemer voorkomt. Bijvoorbeeld: voor 1x2(x+1)\frac{1}{x^2(x+1)} en 1x(x+1)2\frac{1}{x(x+1)^2} is de kgv x2(x+1)2x^2(x+1)^2.
Als noemers factoren delen, neem elke gedeelde factor slechts een keer op in de kgv. Bijvoorbeeld: (x+2)(x−1)(x+2)(x-1) en (x+2)(x+3)(x+2)(x+3) delen (x+2)(x+2), dus de kgv is (x+2)(x−1)(x+3)(x+2)(x-1)(x+3).
Beide vormen zijn acceptabel. De ontbonden vorm (x+2)(x−3)(x+2)(x-3) heeft vaak de voorkeur omdat het domeinbeperkingen duidelijker maakt en vereenvoudiging gemakkelijker. De uitgewerkte vorm x2−x−6x^2-x-6 kan in sommige contexten gevraagd worden.

Woordenlijst

Rationale uitdrukking
Een breuk waarbij de teller en/of noemer een veelterm bevat
kgv (kleinste gemene veelvoud)
De kleinste uitdrukking die deelbaar is door alle noemers in een probleem
Ongelijke noemers
Noemers die niet identiek zijn en het vinden van een gemeenschappelijke noemer vereisen
Ontbinden
Een uitdrukking schrijven als product van eenvoudigere uitdrukkingen

Formulekaart

Optellen van twee rationale uitdrukkingen

ab+cd=ad+bcbd\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}

Algemene formule wanneer noemers geen gemeenschappelijke factoren hebben

kgv-methode

aP+bQ=a⋅kgvP+b⋅kgvQkgv\frac{a}{P} + \frac{b}{Q} = \frac{a \cdot \frac{kgv}{P} + b \cdot \frac{kgv}{Q}}{kgv}

Herschrijf elke breuk met het kleinste gemene veelvoud

Uitdaging van vandaagEén opgave, drie pogingen

Meer over dit onderwerp

Introductie tot rationale uitdrukkingen

Gevorderd25 min

Rationale uitdrukkingen vereenvoudigen

Gevorderd25 min

Vermenigvuldigen van rationale uitdrukkingen

Gevorderd25 min

Delen van rationale uitdrukkingen

Gevorderd25 min