Vermenigvuldigen van rationale uitdrukkingen

Leer rationale uitdrukkingen te vermenigvuldigen door tellers en noemers te vermenigvuldigen en vervolgens te vereenvoudigen.

Gevorderd25 minLes
Werkblad om te printen

Definitie

Om rationale uitdrukkingen te vermenigvuldigen, vermenigvuldig je de tellers samen en de noemers samen, en vereenvoudig je vervolgens het resultaat.
Voor rationale uitdrukkingen AB\frac{A}{B} en CD\frac{C}{D} waarbij B≠0B \neq 0 en D≠0D \neq 0:
AB×CD=A×CB×D\frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{A \times C}{B \times D}
Belangrijk: Ontbind altijd volledig en streep gemeenschappelijke factoren weg vóór het vermenigvuldigen om berekeningen gemakkelijker te maken!
AB×CD=A⋅CB⋅D=CB\frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{\cancel{A} \cdot C}{B \cdot \cancel{D}} = \frac{C}{B}
(als A=DA = D)

Probeer het meteen

Wat is 23×57\frac{2}{3} \times \frac{5}{7}?

Uitgewerkte voorbeelden

Vermenigvuldig: 3x4×89x2\frac{3x}{4} \times \frac{8}{9x^2}
1

Schrijf als één breuk

3x×84×9x2\frac{3x \times 8}{4 \times 9x^2} → 24x36x2\frac{24x}{36x^2}
2

Ontbind gemeenschappelijke termen

24x36x2=24⋅x36⋅x⋅x\frac{24x}{36x^2} = \frac{24 \cdot x}{36 \cdot x \cdot x} → Identificeer gemeenschappelijke factoren: 12 en xx
3

Streep gemeenschappelijke factoren weg

2436=23\frac{24}{36} = \frac{2}{3} en xx2=1x\frac{x}{x^2} = \frac{1}{x} → 23x\frac{2}{3x}
4

Schrijf het eindantwoord

Combineer de vereenvoudigde delen → 23x\frac{2}{3x}, waarbij x≠0x \neq 0

Veelgemaakte fouten

Vergeten te ontbinden vóór het vermenigvuldigen

Waarom het fout is: Het vermenigvuldigen van niet-ontbonden polynomen creëert grotere uitdrukkingen die later moeilijker te vereenvoudigen zijn.

Correct: Ontbind altijd elke teller en noemer volledig VÓÓR het vermenigvuldigen. Dit maakt het wegstrepen veel gemakkelijker.

Termen wegstrepen in plaats van factoren

Waarom het fout is: Je kunt alleen factoren (dingen die vermenigvuldigd worden) wegstrepen, niet termen (dingen die opgeteld worden).

Correct: x+3x+5\frac{x+3}{x+5} kan niet vereenvoudigd worden door xx weg te strepen. Maar x(x+3)x(x+5)=x+3x+5\frac{x(x+3)}{x(x+5)} = \frac{x+3}{x+5} omdat xx een factor is.

Domeinbeperkingen vergeten

Waarom het fout is: Zelfs na het wegstrepen blijven waarden die de oorspronkelijke uitdrukking ongedefinieerd maakten uitgesloten.

Correct: Vermeld alle beperkingen van de OORSPRONKELIJKE noemers, niet alleen van de vereenvoudigde vorm.

Optellen in plaats van vermenigvuldigen

Waarom het fout is: Vermenigvuldiging en optelling van breuken volgen verschillende regels.

Correct: Voor vermenigvuldiging: kruislings vermenigvuldigen. ab×cd=acbd\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

Interactieve visualisatie

Factorboom

Getal:
Samengesteld
Priem

Voer een getal in om de factorboom en priemontbinding te zien.

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

16 opgaven
Opgave 1 van 16
Makkelijk
Wat is 23×57\frac{2}{3} \times \frac{5}{7}?

Waarom het belangrijk is

Het vermenigvuldigen van rationale uitdrukkingen is essentieel in algebra en daarbuiten:
  • Vergelijkingen oplossen: Veel algebraïsche vergelijkingen vereisen het vermenigvuldigen van breuken om variabelen te isoleren
  • Natuurkundeformules: Het combineren van snelheden, zoals snelheid en tijd, omvat vaak het vermenigvuldigen van uitdrukkingen
  • Techniek: Het berekenen van gecombineerde effecten in circuits of mechanische systemen
  • Economie: Het berekenen van samengestelde groeipercentages en gecombineerde kansen
Het beheersen van deze vaardigheid maakt gevorderde algebra, calculus en probleemoplossing in de echte wereld veel beheersbaarder!

Toepassingen in de echte wereld

Gecombineerde snelheden in natuurkunde

Bij het berekenen van samengestelde effecten zoals weerstand of snelheidsveranderingen, modelleert het vermenigvuldigen van rationale uitdrukkingen hoe grootheden combineren.

Voorbeeld:

Als een auto dt1\frac{d}{t_1} km/u rijdt voor het eerste deel en zijn snelheid verandert met een factor t1t2\frac{t_1}{t_2}, is de effectieve snelheid dt1×t1t2=dt2\frac{d}{t_1} \times \frac{t_1}{t_2} = \frac{d}{t_2} km/u.

1Probeer het zelf

Een fabriek produceert 100h\frac{100}{h} eenheden per uur, waarbij hh het aantal werknemers is. Als de efficiëntie toeneemt met een factor hh−2\frac{h}{h-2}, wat is dan het nieuwe productietempo?

Vermenigvuldig de uitdrukkingen en vereenvoudig.

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken: 100h×hh−2\frac{100}{h} \times \frac{h}{h-2}

Kansberekeningen

Het vinden van de kans op gecombineerde onafhankelijke gebeurtenissen vereist het vermenigvuldigen van rationale uitdrukkingen.

Voorbeeld:

Als de kans op gebeurtenis A xx+5\frac{x}{x+5} is en gebeurtenis B x+52x\frac{x+5}{2x}, dan is P(A en B)=xx+5×x+52x=12P(A \text{ en } B) = \frac{x}{x+5} \times \frac{x+5}{2x} = \frac{1}{2}.

2Probeer het zelf

Een spel heeft twee onafhankelijke fasen. De kans om fase 1 te halen is 3n+1\frac{3}{n+1} en fase 2 is n+16\frac{n+1}{6}.

Wat is de kans om beide fasen te halen?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken: 3n+1×n+16\frac{3}{n+1} \times \frac{n+1}{6}

Belangrijke punten

  • 1Om rationale uitdrukkingen te vermenigvuldigen: vermenigvuldig tellers samen en noemers samen
  • 2Ontbind altijd volledig VÓÓR het vermenigvuldigen om gemeenschappelijke factoren te identificeren
  • 3Streep gemeenschappelijke factoren weg tussen elke teller en elke noemer
  • 4Vermeld alle domeinbeperkingen van de oorspronkelijke uitdrukkingen
  • 5Het product van rationale uitdrukkingen is ook een rationale uitdrukking

Veelgestelde vragen

Ja! Het wordt zelfs aanbevolen. Je kunt elke factor in elke teller wegstrepen met dezelfde factor in elke noemer vóór het vermenigvuldigen. Dit houdt de getallen kleiner en gemakkelijker te hanteren.
Ja! Het wordt zelfs aanbevolen. Je kunt elke factor in elke teller wegstrepen met dezelfde factor in elke noemer vóór het vermenigvuldigen. Dit houdt de getallen kleiner en gemakkelijker te hanteren.
Vermenigvuldig gewoon de tellers en noemers zoals ze zijn. Niet elke vermenigvuldiging heeft gemeenschappelijke factoren om weg te strepen.
Nee! In tegenstelling tot optellen en aftrekken van breuken vereist vermenigvuldiging geen gemeenschappelijke noemer. Vermenigvuldig gewoon kruislings.

Woordenlijst

Rationale uitdrukking
Een breuk waarbij de teller en/of noemer polynomen zijn
Factor
Een getal of uitdrukking die gelijkmatig deelt in een ander
Domeinbeperking
Waarden van de variabele die de uitdrukking ongedefinieerd maken (noemer gelijk aan nul)
Wegstrepen
Gemeenschappelijke factoren uit teller en noemer delen

Formulekaart

Vermenigvuldigen van rationale uitdrukkingen

AB×CD=A×CB×D\frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{A \times C}{B \times D}

Vermenigvuldig tellers samen en noemers samen, vereenvoudig daarna

Vereenvoudigd proces

Ontbinden →\rightarrow Wegstrepen →\rightarrow Vermenigvuldigen

Ontbind alle delen, streep gemeenschappelijke factoren weg, vermenigvuldig dan resterende termen

Uitdaging van vandaagEén opgave, drie pogingen

Meer over dit onderwerp

Introductie tot rationale uitdrukkingen

Gevorderd25 min

Rationale uitdrukkingen vereenvoudigen

Gevorderd25 min

Delen van rationale uitdrukkingen

Gevorderd25 min

Rationale uitdrukkingen optellen (gelijke noemers)

Gevorderd25 min