Stelsels van vergelijkingen (Substitutie)

Leer stelsels van vergelijkingen oplossen met de substitutiemethode.

Gevorderd25 minLes
Werkblad om te printen

Definitie

Een stelsel van vergelijkingen is een verzameling van twee of meer vergelijkingen met dezelfde variabelen. De substitutiemethode lost het stelsel op door:
  1. 1.Isoleren van een variabele in een vergelijking
  2. 2.Substitueren van die uitdrukking in de andere vergelijking
  3. 3.Oplossen van de resulterende vergelijking
  4. 4.Terugsubstitueren om de andere variabele te vinden
Bijvoorbeeld, om op te lossen:
{y=2x+13x+y=11\begin{cases} y = 2x + 1 \\ 3x + y = 11 \end{cases}
Substitueer y=2x+1y = 2x + 1 in de tweede vergelijking:
3x+(2x+1)=113x + (2x + 1) = 11
5x+1=115x + 1 = 11
x=2x = 2
Vind dan yy: y=2(2)+1=5y = 2(2) + 1 = 5
Oplossing: (2,5)(2, 5)

Probeer het meteen

In het stelsel {y=x+32x+y=9\begin{cases} y = x + 3 \\ 2x + y = 9 \end{cases}, in welke vergelijking moet je substitueren?

Uitgewerkte voorbeelden

Los het stelsel op:
{y=3x−42x+y=6\begin{cases} y = 3x - 4 \\ 2x + y = 6 \end{cases}
1

Identificeer de geïsoleerde variabele

De eerste vergelijking heeft yy al geïsoleerd: y=3x−4y = 3x - 4 → Klaar om te substitueren
2

Substitueer in de tweede vergelijking

Vervang yy door (3x−4)(3x - 4) in 2x+y=62x + y = 6: 2x+(3x−4)=62x + (3x - 4) = 6 → 2x+3x−4=62x + 3x - 4 = 6
3

Los op voor xx

5x−4=65x - 4 = 6 5x=105x = 10 x=2x = 2
4

Substitueer terug om yy te vinden

y=3(2)−4=6−4=2y = 3(2) - 4 = 6 - 4 = 2 → y=2y = 2
5

Controleer de oplossing

Controleer in beide vergelijkingen: y=3(2)−4=2y = 3(2) - 4 = 2 ✓ 2(2)+2=62(2) + 2 = 6 ✓ → Oplossing geverifieerd

Veelgemaakte fouten

Vergeten te distribueren bij substitutie

Waarom het fout is: Bij het substitueren van een uitdrukking zoals (3x−4)(3x - 4) geven de haakjes aan dat de hele uitdrukking de variabele vervangt.

Correct: Gebruik altijd haakjes en distribueer: 2(3x−4)=6x−82(3x - 4) = 6x - 8, niet 2⋅3x−4=6x−42 \cdot 3x - 4 = 6x - 4

Terugsubstitueren in de verkeerde vergelijking

Waarom het fout is: Als je terugsubstitueert in de vergelijking die je gebruikte om te isoleren, krijg je mogelijk een triviale identiteit in plaats van een waarde.

Correct: Na het vinden van een variabele, substitueer in de ANDERE oorspronkelijke vergelijking of de isolatievergelijking.

Tekenfouten bij het isoleren van variabelen

Waarom het fout is: Het verplaatsen van termen naar de andere kant van het gelijkteken vereist het veranderen van tekens.

Correct: Uit x+2y=8x + 2y = 8 krijgen we x=8−2yx = 8 - 2y (niet x=8+2yx = 8 + 2y)

De oplossing niet in beide vergelijkingen controleren

Waarom het fout is: De oplossing moet beide vergelijkingen tegelijk vervullen. Alleen een vergelijking controleren kan fouten missen.

Correct: Substitueer altijd (x,y)(x, y) in BEIDE oorspronkelijke vergelijkingen om te controleren.

Interactieve visualisatie

Grafiek van de functie

-2-10123456-4-202468xy(2; 2)

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

y = 3x - 42x + y = 6
  • Snijpunt: (2; 2)

Vergelijkingsoplosser

Los op voor x,yx, y:

(1)y=3x−4(2)2x+y=6\begin{aligned} (1)\quad y &= 3x - 4 \\ (2)\quad 2x + y &= 6 \end{aligned}
1
(1)y=3x−4(2)2x+y=6\begin{aligned} (1)\quad y &= 3x - 4 \\ (2)\quad 2x + y &= 6 \end{aligned}
Vergelijking (1) geeft yy alKies de variabele die het makkelijkst vrij te maken is

Tips:

  • • Wat je aan een kant doet, doe je aan de andere kant
  • • Maak bewerkingen ongedaan in omgekeerde volgorde
  • • Controleer je antwoord door te substitueren

Volg terwijl we de vergelijking stap voor stap oplossen.

Interactieve sandbox

Interactieve grafiek

-10-50510-10-50510xy

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

Probeer deze voorbeelden:

y = 3x - 4

m=3, b=-4

y = 6 - 2x

m=-2, b=6

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

15 opgaven
Opgave 1 van 15
Makkelijk
In het stelsel {y=x+32x+y=9\begin{cases} y = x + 3 \\ 2x + y = 9 \end{cases}, in welke vergelijking moet je substitueren?

Waarom het belangrijk is

Stelsels van vergelijkingen modelleren echte situaties waar meerdere voorwaarden tegelijk gelden:
  • Bedrijfsleven: Het vinden van het break-evenpunt waar kosten gelijk zijn aan opbrengsten
  • Scheikunde: Het mengen van oplossingen met verschillende concentraties
  • Natuurkunde: Bepalen waar twee objecten elkaar ontmoeten
  • Economie: Het vinden van het marktevenwicht tussen vraag en aanbod
De substitutiemethode is bijzonder efficiënt wanneer een vergelijking al een geïsoleerde variabele heeft, waardoor het de snelste aanpak is in veel praktische problemen.

Toepassingen in de echte wereld

Break-evenanalyse

Bedrijven gebruiken stelsels van vergelijkingen om te vinden waar opbrengsten gelijk zijn aan kosten.

Voorbeeld:

Als de kosten K=500+10xK = 500 + 10x (€500 vast plus €10 per artikel) en de opbrengst O=25xO = 25x (€25 per artikel), is het break-evenpunt wanneer K=OK = O: 500+10x=25x500 + 10x = 25x, dus x=33,3x = 33,3 artikelen.

1Probeer het zelf

Een bakkerij heeft vaste kosten van €200 per dag. Elke taart kost €8 om te maken en wordt verkocht voor €20.

Hoeveel taarten moeten worden verkocht om break-even te draaien?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Stel kosten gelijk aan opbrengst: 200+8x=20x200 + 8x = 20x

Mengproblemen

Wetenschappers en apothekers gebruiken stelsels om oplossingen met specifieke concentraties te maken.

Voorbeeld:

Om 100 mL van een 30% zuuroplossing te maken van 20% en 50% oplossingen: Laat xx = mL van 20%, yy = mL van 50%. Dan x+y=100x + y = 100 en 0,20x+0,50y=300,20x + 0,50y = 30.

2Probeer het zelf

Een chemicus heeft 200 mL van een 40% alcoholoplossing nodig. Hij heeft 30% en 60% oplossingen beschikbaar.

Hoeveel van elke oplossing moet hij mengen?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf het stelsel: x+y=200x + y = 200 en 0,30x+0,60y=800,30x + 0,60y = 80

Belangrijke punten

  • 1De substitutiemethode lost stelsels op door een variabele te vervangen door een equivalente uitdrukking
  • 2Kies om de variabele met de eenvoudigste coëfficiënt te isoleren (idealiter 1 of -1)
  • 3Gebruik haakjes bij het substitueren van uitdrukkingen en distribueer zorgvuldig
  • 4Substitueer terug om de tweede variabele te vinden na het oplossen van de eerste
  • 5Controleer je oplossing altijd in BEIDE oorspronkelijke vergelijkingen

Veelgestelde vragen

Gebruik substitutie wanneer een vergelijking al een geïsoleerde variabele heeft (zoals y=2x+3y = 2x + 3) of wanneer een variabele coëfficiënt 1 of -1 heeft. Gebruik eliminatie wanneer variabelen coëfficiënten hebben die gemakkelijk te matchen of te annuleren zijn.
Gebruik substitutie wanneer een vergelijking al een geïsoleerde variabele heeft (zoals y=2x+3y = 2x + 3) of wanneer een variabele coëfficiënt 1 of -1 heeft. Gebruik eliminatie wanneer variabelen coëfficiënten hebben die gemakkelijk te matchen of te annuleren zijn.
Als je een onware bewering krijgt zoals 0=50 = 5, heeft het stelsel geen oplossing. De lijnen zijn evenwijdig en snijden elkaar nooit.
Als je een ware bewering krijgt zoals 0=00 = 0 zonder variabelen, heeft het stelsel oneindig veel oplossingen. De vergelijkingen stellen dezelfde lijn voor.

Woordenlijst

Stelsel van vergelijkingen
Twee of meer vergelijkingen met dezelfde variabelen die tegelijk moeten worden opgelost
Substitutie
Een variabele vervangen door een equivalente uitdrukking uit een andere vergelijking
Oplossing van een stelsel
Het geordende paar (x,y)(x, y) dat alle vergelijkingen in het stelsel voldoet
Isoleren
Een vergelijking herschrijven om een variabele alleen aan een kant te krijgen
Terugsubstitueren
Een gevonden waarde terugplaatsen in een vergelijking om de andere variabele te vinden

Formulekaart

Stap 1: Isoleren

y=mx+by = mx + b (of los op voor xx)

Los een vergelijking op voor een variabele

Stap 2: Substitueren

Vervang die variabele in de andere vergelijking

Gebruik haakjes rond de uitdrukking

Stap 3: Oplossen

Los de resulterende vergelijking op

Nu is er maar een variabele

Stap 4: Terugsubstitueren

Vul de waarde in de isolatievergelijking in

Vind de andere variabele

Stap 5: Controleren

Controleer (x,y)(x, y) in beide vergelijkingen

Beide vergelijkingen moeten kloppen

Uitdaging van vandaagEén opgave, drie pogingen

Meer over dit onderwerp

Introductie tot stelsels van vergelijkingen

Gemiddeld25 min

Stelsels oplossen met de grafische methode

Gemiddeld25 min

Substitutiemethode

Gemiddeld25 min

Eliminatiemethode

Gemiddeld25 min