Introductie tot stelsels van vergelijkingen

Leer wat stelsels van vergelijkingen zijn en ontdek hoe twee vergelijkingen samenwerken om een unieke oplossing te vinden.

Gemiddeld25 minLes
Werkblad om te printen

Definitie

Een stelsel van vergelijkingen is een verzameling van twee of meer vergelijkingen die dezelfde variabelen delen. De oplossing van een stelsel is de verzameling waarden die ALLE vergelijkingen tegelijkertijd waar maken.
Bijvoorbeeld, het stelsel:
{x+y=5x−y=1\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}
heeft als oplossing x=3x = 3 en y=2y = 2, want:
  • 3+2=53 + 2 = 5 (eerste vergelijking is waar)
  • 3−2=13 - 2 = 1 (tweede vergelijking is waar)
Grafisch is de oplossing het snijpunt van de twee lijnen.

Probeer het meteen

Wat is een stelsel van vergelijkingen?

Uitgewerkte voorbeelden

Is (x,y)=(4,3)(x, y) = (4, 3) een oplossing van het stelsel: x+y=7x + y = 7 en 2x−y=52x - y = 5?
1

Invullen in de eerste vergelijking

x+y=4+3=7x + y = 4 + 3 = 7 → Eerste vergelijking: 7=77 = 7 is WAAR
2

Invullen in de tweede vergelijking

2x−y=2(4)−3=8−3=52x - y = 2(4) - 3 = 8 - 3 = 5 → Tweede vergelijking: 5=55 = 5 is WAAR
3

Controleren of BEIDE voldaan zijn

Eerste vergelijking: WAAR, Tweede vergelijking: WAAR → Beide vergelijkingen zijn voldaan

Veelgemaakte fouten

Alleen een vergelijking controleren en verklaren dat het een oplossing is

Waarom het fout is: Een oplossing moet aan ALLE vergelijkingen in het stelsel voldoen, niet slechts aan een.

Correct: Substitueer je antwoord altijd in elke vergelijking om te verifiëren dat het voor allemaal werkt.

De oplossing (3,2)(3, 2) verwarren met (2,3)(2, 3)

Waarom het fout is: In geordende paren is het eerste getal xx en het tweede yy. De volgorde is belangrijk!

Correct: Schrijf oplossingen altijd in de juiste volgorde: (x,y)(x, y). Label je werk duidelijk.

Denken dat parallelle lijnen een oplossing hebben

Waarom het fout is: Parallelle lijnen snijden elkaar nooit, dus er is geen punt dat op beide lijnen ligt.

Correct: Als twee lijnen parallel zijn (dezelfde helling, verschillende y-intercept), heeft het stelsel geen oplossing.

Interactieve visualisatie

Grafiek van de functie

-202468-202468xy(2; 3)

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

y = x + 1y = -x + 5
  • Snijpunt: (2; 3)

Interactieve sandbox

Interactieve grafiek

-10-50510-10-50510xy

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

Probeer deze voorbeelden:

y = x + 1

m=1, b=1

y = -x + 5

m=-1, b=5

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

16 opgaven
Opgave 1 van 16
Makkelijk
Wat is een stelsel van vergelijkingen?

Waarom het belangrijk is

Stelsels van vergelijkingen helpen ons bij problemen met meerdere onbekenden:
  • Handel: Het bepalen van de prijs van artikelen wanneer je de totale kosten van verschillende bestellingen kent
  • Scheikunde: Het balanceren van chemische vergelijkingen en mengproblemen
  • Techniek: Het berekenen van krachten in constructies met meerdere steunpunten
  • Dagelijks leven: Uitvinden hoeveel van elk artikel iemand heeft gekocht wanneer je het totale aantal en de totale kosten kent
Wanneer je twee onbekenden en twee stukken informatie hebt, zijn stelsels van vergelijkingen het hulpmiddel om te gebruiken!

Toepassingen in de echte wereld

Winkelproblemen

Individuele prijzen bepalen wanneer je alleen gecombineerde totalen kent.

Voorbeeld:

Als 3 appels en 2 sinaasappels 11 euro kosten, en 2 appels en 3 sinaasappels 9 euro kosten, kun je de prijs van elk fruit vinden met een stelsel van vergelijkingen.

1Probeer het zelf

Een winkel verkoopt schriften en pennen. Emma koopt 2 schriften en 3 pennen voor 13 euro. Tom koopt 4 schriften en 1 pen voor 17 euro.

Wat is de prijs van een schrift?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Stel het stelsel op: 2s+3p=132s + 3p = 13 en 4s+p=174s + p = 17

Mengproblemen

Verschillende stoffen combineren om een doelconcentratie of -hoeveelheid te bereiken.

Voorbeeld:

Een 10% zuuroplossing mengen met een 30% zuuroplossing om 100 mL van een 22% oplossing te maken.

2Probeer het zelf

Een scheikundige heeft 50 liter van een 60% alcoholoplossing nodig. Ze heeft een 40% oplossing en een 80% oplossing beschikbaar.

Hoeveel liter van de 80% oplossing heeft ze nodig?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Zij xx = liter van 40%, yy = liter van 80%. Stel op: x+y=50x + y = 50 en 0,4x+0,8y=0,6(50)0,4x + 0,8y = 0,6(50)

Belangrijke punten

  • 1Een stelsel van vergelijkingen bestaat uit twee of meer vergelijkingen met dezelfde variabelen
  • 2De oplossing is de waarden die ALLE vergelijkingen tegelijkertijd waar maken
  • 3Grafisch is de oplossing het snijpunt van de lijnen
  • 4Om een oplossing te verifiëren, substitueer de waarden in elke vergelijking en controleer
  • 5Stelsels kunnen een oplossing hebben (snijdende lijnen), geen oplossing (parallelle lijnen), of oneindig veel oplossingen (dezelfde lijn)

Veelgestelde vragen

Als de lijnen parallel zijn (dezelfde helling maar verschillende y-intercepts), ontmoeten ze elkaar nooit en heeft het stelsel geen oplossing. We noemen dit een inconsistent stelsel.
Als de lijnen parallel zijn (dezelfde helling maar verschillende y-intercepts), ontmoeten ze elkaar nooit en heeft het stelsel geen oplossing. We noemen dit een inconsistent stelsel.
Als de twee vergelijkingen dezelfde lijn voorstellen, dan is elk punt op die lijn een oplossing. Dit geeft oneindig veel oplossingen. We noemen dit een afhankelijk stelsel.
Een vergelijking met twee onbekenden heeft oneindig veel oplossingen (een hele lijn van punten). De tweede vergelijking beperkt het tot een specifiek punt waar beide voorwaarden gelden.

Woordenlijst

Stelsel van vergelijkingen
Een verzameling van twee of meer vergelijkingen die dezelfde variabelen delen en samen worden opgelost
Oplossing van een stelsel
Het geordende paar (of paren) dat alle vergelijkingen in het stelsel tegelijkertijd voldoet
Consistent stelsel
Een stelsel dat minstens een oplossing heeft
Inconsistent stelsel
Een stelsel zonder oplossing (parallelle lijnen)
Afhankelijk stelsel
Een stelsel waarbij de vergelijkingen dezelfde lijn voorstellen, wat oneindig veel oplossingen geeft
Uitdaging van vandaagEén opgave, drie pogingen

Meer over dit onderwerp

Stelsels van vergelijkingen (Substitutie)

Gevorderd25 min

Stelsels oplossen met de grafische methode

Gemiddeld25 min

Substitutiemethode

Gemiddeld25 min

Eliminatiemethode

Gemiddeld25 min