Een variabele al geïsoleerd

Los het stelsel op: $$\begin{cases} y = 3x - 4 \\ 2x + y = 6 \end{cases}$$

Identificeer de geïsoleerde variabele: De eerste vergelijking heeft $y$ al geïsoleerd: $y = 3x - 4$ = Klaar om te substitueren

Substitueer in de tweede vergelijking: Vervang $y$ door $(3x - 4)$ in $2x + y = 6$: $2x + (3x - 4) = 6$ = $2x + 3x - 4 = 6$

Los op voor $x$: $5x - 4 = 6$ $5x = 10$ $x = 2$ = $x = 2$

Substitueer terug om $y$ te vinden: $y = 3(2) - 4 = 6 - 4 = 2$ = $y = 2$

Controleer de oplossing: Controleer in beide vergelijkingen: $y = 3(2) - 4 = 2$ ✓ $2(2) + 2 = 6$ ✓ = Oplossing geverifieerd

Answer: $(2, 2)$

Eerst een variabele isoleren

Los het stelsel op: $$\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x - y = 3 \end{cases}$$

Kies welke variabele te isoleren: In vergelijking 1 heeft $x$ coëfficiënt 1, dus isoleer $x$: $x = 8 - 2y$ = $x = 8 - 2y$

Substitueer in de tweede vergelijking: Vervang $x$ in $3x - y = 3$: $3(8 - 2y) - y = 3$ = $24 - 6y - y = 3$

Los op voor $y$: $24 - 7y = 3$ $-7y = -21$ $y = 3$ = $y = 3$

Substitueer terug om $x$ te vinden: $x = 8 - 2(3) = 8 - 6 = 2$ = $x = 2$

Controleer de oplossing: Controleer: $2 + 2(3) = 8$ ✓ $3(2) - 3 = 3$ ✓ = Oplossing geverifieerd

Answer: $(2, 3)$

Stelsel met eenvoudige substitutie

Los het stelsel op: $$\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ x = y + 1 \end{cases}$$

Identificeer de geïsoleerde variabele: De tweede vergelijking heeft $x$ geïsoleerd: $x = y + 1$ = Klaar om te substitueren

Substitueer in de eerste vergelijking: Vervang $x$ door $(y + 1)$ in $2x + 3y = 12$: $2(y + 1) + 3y = 12$ = $2y + 2 + 3y = 12$

Los op voor $y$: $5y + 2 = 12$ $5y = 10$ $y = 2$ = $y = 2$

Substitueer terug om $x$ te vinden: $x = 2 + 1 = 3$ = $x = 3$

Controleer de oplossing: Controleer: $2(3) + 3(2) = 6 + 6 = 12$ ✓ $3 = 2 + 1$ ✓ = Oplossing geverifieerd

Answer: $(3, 2)$

Toepassing: Kaartverkoop

Een theater verkocht 150 kaartjes. Volwassenenkaartjes kosten €12 en kinderkaartjes €8. De totale opbrengst was €1480. Hoeveel van elk type werden verkocht?

Definieer variabelen en schrijf vergelijkingen: Laat $v$ = volwassenenkaartjes, $k$ = kinderkaartjes Totaal kaartjes: $v + k = 150$ Totale opbrengst: $12v + 8k = 1480$ = Stelsel opgesteld

Isoleer een variabele: Uit vergelijking 1: $v = 150 - k$ = $v = 150 - k$

Substitueer in de opbrengstvergelijking: $12(150 - k) + 8k = 1480$ $1800 - 12k + 8k = 1480$ = $1800 - 4k = 1480$

Los op voor $k$: $-4k = -320$ $k = 80$ = 80 kinderkaartjes

Vind volwassenenkaartjes: $v = 150 - 80 = 70$ = 70 volwassenenkaartjes

Controleer: $70 + 80 = 150$ ✓ $12(70) + 8(80) = 840 + 640 = 1480$ ✓ = Oplossing geverifieerd

Answer: 70 volwassenenkaartjes en 80 kinderkaartjes

Mistake: Vergeten te distribueren bij substitutie

Why: Bij het substitueren van een uitdrukking zoals $(3x - 4)$ geven de haakjes aan dat de hele uitdrukking de variabele vervangt.

Correct: Gebruik altijd haakjes en distribueer: $2(3x - 4) = 6x - 8$, niet $2 \cdot 3x - 4 = 6x - 4$

Mistake: Terugsubstitueren in de verkeerde vergelijking

Why: Als je terugsubstitueert in de vergelijking die je gebruikte om te isoleren, krijg je mogelijk een triviale identiteit in plaats van een waarde.

Correct: Na het vinden van een variabele, substitueer in de ANDERE oorspronkelijke vergelijking of de isolatievergelijking.

Mistake: Tekenfouten bij het isoleren van variabelen

Why: Het verplaatsen van termen naar de andere kant van het gelijkteken vereist het veranderen van tekens.

Correct: Uit $x + 2y = 8$ krijgen we $x = 8 - 2y$ (niet $x = 8 + 2y$)

Mistake: De oplossing niet in beide vergelijkingen controleren

Why: De oplossing moet beide vergelijkingen tegelijk vervullen. Alleen een vergelijking controleren kan fouten missen.

Correct: Substitueer altijd $(x, y)$ in BEIDE oorspronkelijke vergelijkingen om te controleren.

Break-evenanalyse

Bedrijven gebruiken stelsels van vergelijkingen om te vinden waar opbrengsten gelijk zijn aan kosten.

Als de kosten $K = 500 + 10x$ (€500 vast plus €10 per artikel) en de opbrengst $O = 25x$ (€25 per artikel), is het break-evenpunt wanneer $K = O$: $500 + 10x = 25x$, dus $x = 33,3$ artikelen.

Mengproblemen

Wetenschappers en apothekers gebruiken stelsels om oplossingen met specifieke concentraties te maken.

Om 100 mL van een 30% zuuroplossing te maken van 20% en 50% oplossingen: Laat $x$ = mL van 20%, $y$ = mL van 50%. Dan $x + y = 100$ en $0,20x + 0,50y = 30$.

Q: Wanneer moet ik substitutie gebruiken in plaats van eliminatie?

A: Gebruik substitutie wanneer een vergelijking al een geïsoleerde variabele heeft (zoals $y = 2x + 3$) of wanneer een variabele coëfficiënt 1 of -1 heeft. Gebruik eliminatie wanneer variabelen coëfficiënten hebben die gemakkelijk te matchen of te annuleren zijn.

Q: Wat als ik iets krijg zoals $0 = 5$?

A: Als je een onware bewering krijgt zoals $0 = 5$, heeft het stelsel geen oplossing. De lijnen zijn evenwijdig en snijden elkaar nooit.

Q: Wat als ik iets krijg zoals $0 = 0$?

A: Als je een ware bewering krijgt zoals $0 = 0$ zonder variabelen, heeft het stelsel oneindig veel oplossingen. De vergelijkingen stellen dezelfde lijn voor.