Een macht met een negatieve exponent uitrekenen

Bereken $2^{-3}$.

Pas de regel voor negatieve exponenten toe: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ = $2^{-3} = \frac{1}{2^3}$

Reken de macht in de noemer uit: $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ = $\frac{1}{8}$

Controleer het teken: Het grondtal $2$ is positief, dus de uitkomst is positief = $\frac{1}{8} = 0{,}125$

Answer: $2^{-3} = \frac{1}{8}$, een klein positief getal en niet $-8$.

Kleine machten van 10

Schrijf $10^{-3}$ als breuk en als kommagetal.

Pas de regel voor negatieve exponenten toe: $10^{-3} = \frac{1}{10^3}$ = $\frac{1}{10^3}$

Bereken $10^3$: $10^3 = 1000$ = $\frac{1}{1000}$

Schrijf als kommagetal: Een duizendste: de 1 staat op de derde plaats na de komma = $0{,}001$

Answer: $10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0{,}001$. De exponent $-3$ vertelt je dat de 1 op de derde plaats na de komma staat.

Een breuk tot een negatieve macht

Bereken $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$.

Klap de breuk om en maak de exponent positief: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$ = $\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$

Kwadrateer teller en noemer: $\frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$ = $\frac{9}{4}$

Controleer met de definitie: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \frac{1}{\frac{4}{9}} = \frac{9}{4}$ = Zelfde uitkomst

Answer: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \frac{9}{4} = 2{,}25$

Factoren over de breukstreep verplaatsen

Schrijf $\frac{x^{-3}}{y^{-2}}$ met positieve exponenten.

Verplaats $x^{-3}$ van de teller naar de noemer: $x^{-3} = \frac{1}{x^3}$, dus het wordt $x^3$ onder de streep = $\frac{1}{x^3 \, y^{-2}}$

Verplaats $y^{-2}$ van de noemer naar de teller: $\frac{1}{y^{-2}} = y^2$, dus het wordt $y^2$ boven de streep = $\frac{y^2}{x^3}$

Controleer of alle exponenten positief zijn: $y^2$ en $x^3$ = Klaar

Answer: $\frac{x^{-3}}{y^{-2}} = \frac{y^2}{x^3}$. Een factor draait het teken van zijn exponent om als hij over de breukstreep gaat.

Alle rekenregels voor machten combineren

Vereenvoudig $\frac{6a^{-2}b^{3}}{3a^{4}b^{-1}}$ en schrijf de uitkomst met positieve exponenten.

Deel de coëfficiënten: $6 : 3 = 2$ = $2$

Quotiënt van machten met hetzelfde grondtal voor $a$: $a^{-2-4} = a^{-6}$ = $a^{-6}$

Quotiënt van machten met hetzelfde grondtal voor $b$ (een negatief getal aftrekken): $b^{3-(-1)} = b^{3+1} = b^{4}$ = $b^{4}$

Schrijf met positieve exponenten: $2a^{-6}b^{4} = \frac{2b^{4}}{a^{6}}$ = $\frac{2b^{4}}{a^{6}}$

Answer: $\frac{6a^{-2}b^{3}}{3a^{4}b^{-1}} = \frac{2b^{4}}{a^{6}}$. Alleen $a^{-6}$ gaat naar beneden; de coëfficiënt $2$ blijft boven.

Mistake: Denken dat een negatieve exponent het getal negatief maakt: $2^{-3} = -8$

Why: Het minteken staat in de exponent, niet voor het getal. Het betekent "omgekeerde", niet "negatief".

Correct: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$, een positief getal.

Mistake: De coëfficiënt ook verplaatsen: $2x^{-3} = \frac{1}{2x^3}$

Why: De exponent $-3$ hoort alleen bij $x$. De $2$ heeft exponent $1$ en blijft waar hij staat.

Correct: $2x^{-3} = \frac{2}{x^3}$. Schrijf alleen $\frac{1}{(2x)^3}$ als de opgave $(2x)^{-3}$ met haakjes geeft.

Mistake: De breuk omklappen maar de macht vergeten, of hem negatief maken: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \frac{3}{2}$ of $-\frac{4}{9}$

Why: Het minteken klapt de breuk om, en de $2$ kwadrateert hem nog steeds. Beide delen van de exponent hebben een taak.

Correct: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4}$

Mistake: Een negatieve exponent verkeerd aftrekken: $\frac{x^5}{x^{-2}} = x^{3}$

Why: Bij een quotiënt van machten met hetzelfde grondtal trek je de hele exponent af, met zijn teken: $5 - (-2)$, niet $5 - 2$.

Correct: $\frac{x^5}{x^{-2}} = x^{5-(-2)} = x^{7}$

Piepkleine maten in de wetenschap

Wetenschappers schrijven heel kleine lengtes met negatieve machten van 10. De voorvoegsels milli, micro en nano staan voor $10^{-3}$, $10^{-6}$ en $10^{-9}$.

Een millimeter is $10^{-3}$ m $= 0{,}001$ m, en een gewone bacterie is ongeveer $2 \times 10^{-6}$ m lang.

Belichtingsstops bij een camera

Fotografen meten licht in stops. Elke stop donkerder halveert het licht, dus $n$ stops laten $2^{-n}$ van het oorspronkelijke licht door.

Een filter van 3 stops laat $2^{-3} = \frac{1}{8}$ van het licht door.

Monsters verdunnen in het lab

In een lab wordt een monster vaak meerdere keren 1 op 10 verdund. Na $n$ verdunningen is de concentratie $10^{-n}$ keer de oorspronkelijke.

Na 3 verdunningen heeft een monster nog maar $10^{-3} = 0{,}001$ van zijn oorspronkelijke concentratie.

Q: Waarom is $a^{-1}$ de omgekeerde van $a$?

A: Bij een product van machten met hetzelfde grondtal geldt $a^{1} \times a^{-1} = a^{0} = 1$. Het getal waarmee je $a$ vermenigvuldigt om $1$ te krijgen is $\frac{1}{a}$, dus $a^{-1} = \frac{1}{a}$.

Q: Kan een macht met een negatieve exponent ooit negatief zijn?

A: Alleen als het grondtal zelf negatief is. Bijvoorbeeld: $(-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = -\frac{1}{8}$. De negatieve exponent voegt op zichzelf nooit een minteken toe.

Q: Waarom mag het grondtal geen nul zijn?

A: $0^{-2}$ zou $\frac{1}{0^2} = \frac{1}{0}$ betekenen, en delen door nul is niet gedefinieerd. Daarom staat er in de regel $a \neq 0$.

Q: Is het fout om negatieve exponenten in een antwoord te laten staan?

A: $x^{-3}$ en $\frac{1}{x^3}$ zijn gelijk, dus geen van beide is fout. Veel docenten en lesboeken vragen om positieve exponenten in het eindantwoord, dus schrijf het aan het eind om, tenzij de opgave iets anders zegt.