Het patroon volgen tot $3^0$

Gebruik het patroon van de machten van $3$ om $3^0$ te vinden.

Begin met een macht die je kent: $3^3 = 3 \times 3 \times 3$ = $3^3 = 27$

Maak de exponent 1 kleiner: deel door 3: $27 \div 3 = 9$ = $3^2 = 9$

Nog een keer kleiner: deel door 3: $9 \div 3 = 3$ = $3^1 = 3$

Nog één stap omlaag naar exponent 0: $3 \div 3 = 1$ = $3^0 = 1$

Answer: $3^0 = 1$

Met de quotiëntregel

Bereken $\frac{7^4}{7^4}$ op twee manieren.

Een getal ongelijk aan nul gedeeld door zichzelf: $\frac{7^4}{7^4} = \frac{2401}{2401}$ = $1$

Pas de regel voor het quotiënt van machten met hetzelfde grondtal toe: $\frac{7^4}{7^4} = 7^{4-4}$ = $7^0$

Beide uitkomsten moeten gelijk zijn: $7^0 = \frac{7^4}{7^4} = 1$ = $7^0 = 1$

Answer: $\frac{7^4}{7^4} = 7^0 = 1$

$5x^0$ tegenover $(5x)^0$

Bereken $5x^0$ en $(5x)^0$ voor $x = 2$.

In $5x^0$ hoort de exponent alleen bij $x$: $5x^0 = 5 \times x^0 = 5 \times 2^0$ = $5 \times 1$

Vermenigvuldig: $5 \times 1 = 5$ = $5x^0 = 5$

In $(5x)^0$ hoort de exponent bij alles tussen de haakjes: $(5 \times 2)^0 = 10^0$ = $(5x)^0 = 1$

Answer: $5x^0 = 5$ en $(5x)^0 = 1$

$-3^0$ tegenover $(-3)^0$

Bereken $-3^0$ en $(-3)^0$.

Zonder haakjes hoort de exponent alleen bij $3$: $-3^0 = -(3^0)$ = $-(1)$

Zet het minteken ervoor: $-(1) = -1$ = $-3^0 = -1$

Met haakjes is het grondtal $-3$: $(-3)^0$ heeft een grondtal ongelijk aan nul = $(-3)^0 = 1$

Answer: $-3^0 = -1$ en $(-3)^0 = 1$

Een uitdrukking met meerdere nulexponenten

Bereken $4^0 + 2^3 \times 6^0 - \left(\frac{1}{2}\right)^0$.

Vervang elke macht met exponent nul door 1: $4^0 = 1$, $6^0 = 1$, $\left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1$ = $1 + 2^3 \times 1 - 1$

Bereken de overgebleven macht: $2^3 = 8$ = $1 + 8 \times 1 - 1$

Eerst vermenigvuldigen: $8 \times 1 = 8$ = $1 + 8 - 1$

Optellen en aftrekken van links naar rechts: $1 + 8 - 1$ = $8$

Answer: $8$

Mistake: $a^0 = 0$ schrijven, bijvoorbeeld $9^0 = 0$

Why: Exponent $0$ betekent niet vermenigvuldigen met nul. Als je in het patroon omlaag gaat, deel je door het grondtal, en $9 \div 9 = 1$.

Correct: $9^0 = 1$, want $\frac{9^1}{9^1} = 9^0$ en $\frac{9}{9} = 1$

Mistake: $a^0 = a$ schrijven, bijvoorbeeld $9^0 = 9$

Why: Dat is de regel voor exponent $1$: $9^1 = 9$. Exponent $0$ is nog een stap lager, dus je deelt nog een keer door $9$.

Correct: $9^1 = 9$ maar $9^0 = 1$

Mistake: $5x^0 = 1$ schrijven

Why: De exponent hoort alleen bij $x$, niet bij de coëfficiënt $5$. Alleen $x^0$ wordt $1$.

Correct: $5x^0 = 5 \times 1 = 5$, terwijl $(5x)^0 = 1$

Mistake: $-3^0 = 1$ schrijven

Why: Zonder haakjes is het grondtal $3$, niet $-3$. Het minteken blijft voor de uitkomst staan.

Correct: $-3^0 = -(3^0) = -1$, terwijl $(-3)^0 = 1$

Plaatswaarde en machten van tien

Elke positie in ons talstelsel is een macht van tien. De eenheden horen bij $10^0 = 1$.

$6072 = 6 \times 10^3 + 0 \times 10^2 + 7 \times 10^1 + 2 \times 10^0$, en de laatste term is $2 \times 1 = 2$.

Binaire getallen in computers

Computers slaan getallen binair op. Elke binaire positie is een macht van twee, en de meest rechtse positie is $2^0 = 1$.

Het binaire getal $1011$ betekent $1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11$.

Beginwaarde van een groeimodel

Biologen beschrijven een populatie die elk uur verdubbelt met $P = P_0 \times 2^t$, waarbij $t$ de tijd in uren is.

Voor $P = 200 \times 2^t$ is na 3 uur $P = 200 \times 2^3 = 1600$, en aan het begin $P = 200 \times 2^0 = 200$.

Q: Waarom is $a^0$ gelijk aan 1 en niet aan 0?

A: Omdat elke stap omlaag in de exponent deelt door het grondtal. Vanaf $5^1 = 5$ geeft nog een stap omlaag $5 \div 5 = 1$. De regel voor het quotiënt van machten zegt hetzelfde: $\frac{5^3}{5^3} = 5^0$, en elk getal ongelijk aan nul gedeeld door zichzelf is $1$.

Q: Wat is $0^0$?

A: Op dit niveau laten we $0^0$ ongedefinieerd. Het patroonargument vraagt om te delen door het grondtal, en door $0$ kun je niet delen. Daarom luidt de regel $a^0 = 1$ voor $a \neq 0$.

Q: Werkt de regel ook voor negatieve getallen en breuken?

A: Ja, zolang het grondtal niet nul is en het hele grondtal tussen haakjes staat: $(-8)^0 = 1$ en $\left(\frac{3}{4}\right)^0 = 1$.

Q: Waarom geeft mijn rekenmachine $-1$ voor $-3^0$?

A: De rekenmachine volgt de volgorde van bewerkingen: de macht gaat voor het minteken, dus rekent hij $-(3^0) = -1$. Typ $(-3)^0$ met haakjes om $1$ te krijgen.