Op dit niveau laten we $0^0$ ongedefinieerd. Het patroonargument vraagt om te delen door het grondtal, en door $0$ kun je niet delen. Daarom luidt de regel $a^0 = 1$ voor $a \neq 0$.

Werkt de regel ook voor negatieve getallen en breuken?

Ja, zolang het grondtal niet nul is en het hele grondtal tussen haakjes staat: $(-8)^0 = 1$ en $\left(\frac{3}{4}\right)^0 = 1$.

Waarom geeft mijn rekenmachine $-1$ voor $-3^0$?

De rekenmachine volgt de volgorde van bewerkingen: de macht gaat voor het minteken, dus rekent hij $-(3^0) = -1$. Typ $(-3)^0$ met haakjes om $1$ te krijgen.

Leermiddelen

Exponent nul

Leer waarom elk getal behalve nul tot de macht nul gelijk is aan 1, en hoe je uitdrukkingen als $5x^0$ en $(-3)^0$ uitrekent.

Gemiddeld20 minLes

Werkblad om te printen

Definitie

De regel voor exponent nul zegt dat elk getal ongelijk aan nul tot de macht

0

gelijk is aan

1

a^0 = 1 \quad (a \neq 0)

Dus

7^0 = 1

100^0 = 1

(-5)^0 = 1

\left(\frac{2}{3}\right)^0 = 1

Waarom? Kijk naar het patroon. Elke keer dat de exponent

1

kleiner wordt, deel je door het grondtal:

Macht	Waarde
$2^4$	$16$
$2^3$	$8$
$2^2$	$4$
$2^1$	$2$
$2^0$	$2 \div 2 = 1$

Het quotiënt van machten met hetzelfde grondtal bevestigt dit. Een macht gedeeld door zichzelf is

1

, en het quotiënt van machten met hetzelfde grondtal geeft exponent

0

\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0 \quad \text{en} \quad \frac{a^n}{a^n} = 1

Let op waar de exponent bij hoort. Een exponent hoort alleen bij het grondtal dat er direct voor staat:

$5x^0 = 5 \times x^0 = 5 \times 1 = 5$ , maar $(5x)^0 = 1$
$-3^0 = -(3^0) = -1$ , maar $(-3)^0 = 1$

Bijzonder geval: op dit niveau laten we

0^0

ongedefinieerd. De regel

a^0 = 1

geldt alleen voor

a \neq 0

Probeer het meteen

Hoeveel is

9^0

Uitgewerkte voorbeelden

Gebruik het patroon van de machten van $3$ om $3^0$ te vinden.

Begin met een macht die je kent

$3^3 = 3 \times 3 \times 3$ → $3^3 = 27$

Maak de exponent 1 kleiner: deel door 3

$27 \div 3 = 9$ → $3^2 = 9$

Nog een keer kleiner: deel door 3

$9 \div 3 = 3$ → $3^1 = 3$

Nog één stap omlaag naar exponent 0

$3 \div 3 = 1$ → $3^0 = 1$

Antwoord: $3^0 = 1$

Veelgemaakte fouten

$a^0 = 0$ schrijven, bijvoorbeeld $9^0 = 0$

Waarom het fout is: Exponent $0$ betekent niet vermenigvuldigen met nul. Als je in het patroon omlaag gaat, deel je door het grondtal, en $9 \div 9 = 1$ .

Correct: $9^0 = 1$ , want $\frac{9^1}{9^1} = 9^0$ en $\frac{9}{9} = 1$

$a^0 = a$ schrijven, bijvoorbeeld $9^0 = 9$

Waarom het fout is: Dat is de regel voor exponent $1$ : $9^1 = 9$ . Exponent $0$ is nog een stap lager, dus je deelt nog een keer door $9$ .

Correct: $9^1 = 9$ maar $9^0 = 1$

$5x^0 = 1$ schrijven

Waarom het fout is: De exponent hoort alleen bij $x$ , niet bij de coëfficiënt $5$ . Alleen $x^0$ wordt $1$ .

Correct: $5x^0 = 5 \times 1 = 5$ , terwijl $(5x)^0 = 1$

$-3^0 = 1$ schrijven

Waarom het fout is: Zonder haakjes is het grondtal $3$ , niet $-3$ . Het minteken blijft voor de uitkomst staan.

Correct: $-3^0 = -(3^0) = -1$ , terwijl $(-3)^0 = 1$

Interactieve visualisatie

Machten als herhaalde factoren

Machten delen

Zelfde grondtal, delen: exponenten aftrekken.

\frac{5^{3}}{5^{3}}

Schrijf elke macht als herhaalde factoren

5

5

5

5

5

5

3 gemeenschappelijke factoren vallen boven en onder weg

Alle factoren vallen weg: de uitkomst is 1, dus de exponent is 0

\displaystyle 1 = 5^{0}

Uitkomst

\displaystyle \frac{5^{3}}{5^{3}}

=

\displaystyle 5^{3 - 3}

=

\displaystyle 5^{0}

=

\displaystyle 1

Waarde: $5^{0} = 1$

Geldt voor elk grondtal behalve 0

Grondtal:

Bereken:2³ = 8

Zie hoe machten van een getal groeien op de getallenlijn. Verander het grondtal en de exponent.

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven

Opgave 1 van 18

Makkelijk

Hoeveel is $9^0$ ?

Waarom het belangrijk is

Exponent nul komt overal voor waar machten gebruikt worden:

Plaatswaarde: de eenheden horen bij $10^0 = 1$ , dus $345 = 3 \times 10^2 + 4 \times 10^1 + 5 \times 10^0$
Computers: het meest rechtse cijfer van een binair getal is $2^0 = 1$ waard
Groeimodellen: in $P = 500 \times 2^t$ is de beginwaarde bij $t = 0$ gelijk aan $500 \times 2^0 = 500$
Algebra: om $\frac{x^4}{x^4}$ of $3x^0$ te vereenvoudigen heb je de regel steeds nodig

Als

a^0

gelijk was aan

0

, zouden de eenheden niets waard zijn en zou elk groeimodel bij nul beginnen. Alleen de waarde

1

zorgt ervoor dat alle rekenregels voor machten blijven kloppen.

Toepassingen in de echte wereld

Plaatswaarde en machten van tien

Elke positie in ons talstelsel is een macht van tien. De eenheden horen bij $10^0 = 1$.

Voorbeeld:

$6072 = 6 \times 10^3 + 0 \times 10^2 + 7 \times 10^1 + 2 \times 10^0$ , en de laatste term is $2 \times 1 = 2$ .

1Probeer het zelf

Een docent schrijft $6072$ uitgesplitst: $6 \times 10^3 + 0 \times 10^2 + 7 \times 10^1 + 2 \times 10^0$ .

Wat is de waarde van de laatste term, $2 \times 10^0$ ?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf de laatste term als berekening:

Binaire getallen in computers

Computers slaan getallen binair op. Elke binaire positie is een macht van twee, en de meest rechtse positie is $2^0 = 1$.

Voorbeeld:

Het binaire getal $1011$ betekent $1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11$ .

2Probeer het zelf

Een sensor stuurt het binaire getal $101$ , dat wil zeggen $1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0$ .

Welk getal is dit in ons gewone tientallige stelsel?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf de som van de plaatswaarden:

Beginwaarde van een groeimodel

Biologen beschrijven een populatie die elk uur verdubbelt met $P = P_0 \times 2^t$, waarbij $t$ de tijd in uren is.

Voorbeeld:

Voor $P = 200 \times 2^t$ is na 3 uur $P = 200 \times 2^3 = 1600$ , en aan het begin $P = 200 \times 2^0 = 200$ .

3Probeer het zelf

Een bacteriekweek groeit volgens $P = 500 \times 2^t$ , waarbij $t$ het aantal uren sinds het begin is.

Hoeveel bacteriën zijn er aan het begin, dus bij $t = 0$ ?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Vul $t = 0$ in de formule in:

Belangrijke punten

1Voor elk getal $a$ ongelijk aan nul geldt: $a^0 = 1$
2Patroon: elke stap omlaag in de exponent deelt door het grondtal, dus $2^1 = 2$ wordt $2^0 = 2 \div 2 = 1$
3Quotiëntregel: $\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0$ , en een getal gedeeld door zichzelf is $1$
4De exponent hoort alleen bij het grondtal direct ervoor: $5x^0 = 5$ maar $(5x)^0 = 1$
5Bij negatieve getallen tellen haakjes: $-3^0 = -1$ maar $(-3)^0 = 1$
6 $a^0$ is nooit $0$ en nooit $a$ ; op dit niveau laten we $0^0$ ongedefinieerd

Veelgestelde vragen

Omdat elke stap omlaag in de exponent deelt door het grondtal. Vanaf

5^1 = 5

geeft nog een stap omlaag

5 \div 5 = 1

. De regel voor het quotiënt van machten zegt hetzelfde:

\frac{5^3}{5^3} = 5^0

, en elk getal ongelijk aan nul gedeeld door zichzelf is

1

Woordenlijst

Exponent nul: Een exponent gelijk aan $0$ . Voor elk grondtal ongelijk aan nul geldt $a^0 = 1$ .
Grondtal: Het getal dat tot een macht wordt verheven. In $(-3)^0$ is het grondtal $-3$ , in $-3^0$ is het $3$ .
Quotiënt van machten met hetzelfde grondtal: Bij het delen van machten met hetzelfde grondtal trek je de exponenten af: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ .
Coëfficiënt: Het getal voor een variabele. In $5x^0$ is de coëfficiënt $5$ , en de exponent heeft er geen invloed op.
Ongedefinieerd: Een uitdrukking waaraan geen waarde wordt gegeven. Op dit niveau laten we $0^0$ ongedefinieerd.

Formulekaart

Regel voor exponent nul

a^0 = 1 \quad (a \neq 0)

Elk getal ongelijk aan nul tot de macht nul is 1

Waarom het werkt

\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0 = 1

Het quotiënt van machten met hetzelfde grondtal en een getal delen door zichzelf geven dezelfde uitkomst

Coëfficiënt ervoor

c \cdot x^0 = c \quad (x \neq 0)

Alleen de variabele wordt 1, de coëfficiënt blijft staan

Haakjes en negatieve getallen

(-a)^0 = 1, \quad -a^0 = -1

Met haakjes is het grondtal negatief, zonder haakjes blijft het minteken buiten

Meer over dit onderwerp

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Interactieve visualisatie

Machten als herhaalde factoren

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Geschiedenis

Oefenproblemen

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Plaatswaarde en machten van tien

Binaire getallen in computers

Beginwaarde van een groeimodel

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Regel voor exponent nul

Waarom het werkt

Coëfficiënt ervoor

Haakjes en negatieve getallen

Meer over dit onderwerp

Introductie tot Machtsverheffen

Rekenregels voor machten

Vierkantswortels en derdemachtswortels

Machten met hetzelfde grondtal vermenigvuldigen