Een product dat al genormaliseerd is

Bereken $(2 \times 10^3) \times (4 \times 10^5)$.

Zet de coëfficiënten en de machten van tien bij elkaar: $(2 \times 4) \times (10^3 \times 10^5)$ = Twee aparte producten

Vermenigvuldig de coëfficiënten: $2 \times 4 = 8$ = $8$

Tel de exponenten op: $10^3 \times 10^5 = 10^{3+5} = 10^8$ = $10^8$

Controleer de coëfficiënt: $1 \le 8 < 10$, er hoeft niets te veranderen = $8 \times 10^8$

Answer: $(2 \times 10^3)(4 \times 10^5) = 8 \times 10^8$

Een product dat genormaliseerd moet worden

Bereken $(4 \times 10^3) \times (3 \times 10^5)$.

Vermenigvuldig de coëfficiënten: $4 \times 3 = 12$ = $12$

Tel de exponenten op: $3 + 5 = 8$ = $12 \times 10^8$

Ligt de coëfficiënt tussen 1 en 10?: $12 \ge 10$, dus dit is nog geen wetenschappelijke notatie = Normaliseren

Schrijf $12$ als $1{,}2 \times 10^1$: $12 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^1 \times 10^8$ = $1{,}2 \times 10^9$

Answer: $(4 \times 10^3)(3 \times 10^5) = 1{,}2 \times 10^9$

Twee negatieve exponenten

Bereken $(2 \times 10^{-5}) \times (7 \times 10^{-3})$.

Vermenigvuldig de coëfficiënten: $2 \times 7 = 14$ = $14$

Tel de exponenten op (met hun teken): $-5 + (-3) = -8$ = $14 \times 10^{-8}$

Normaliseer de coëfficiënt: $14 = 1{,}4 \times 10^1$ = Tel $1$ op bij de exponent

Voeg samen: $-8 + 1 = -7$ = $1{,}4 \times 10^{-7}$

Answer: $(2 \times 10^{-5})(7 \times 10^{-3}) = 1{,}4 \times 10^{-7}$

Een negatieve en een positieve exponent

Bereken $(2{,}5 \times 10^{-4}) \times (6 \times 10^7)$.

Vermenigvuldig de coëfficiënten: $2{,}5 \times 6 = 15$ = $15$

Tel de exponenten op: $-4 + 7 = 3$ = $15 \times 10^3$

Normaliseer: $15 = 1{,}5 \times 10^1$, dus de exponent wordt $3 + 1 = 4$ = $1{,}5 \times 10^4$

Controleer met gewone getallen: $0{,}00025 \times 60.000.000 = 15.000$ = $1{,}5 \times 10^4 = 15.000$

Answer: $(2{,}5 \times 10^{-4})(6 \times 10^7) = 1{,}5 \times 10^4$

Tot een macht verheffen

Bereken $(5 \times 10^3)^3$.

Verhef elke factor tot de macht: $(5 \times 10^3)^3 = 5^3 \times (10^3)^3$ = Macht van een product

Neem de derde macht van de coëfficiënt: $5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$ = $125$

Vermenigvuldig de exponenten (macht van een macht): $(10^3)^3 = 10^{3 \times 3} = 10^9$ = $125 \times 10^9$

Normaliseer: $125 = 1{,}25 \times 10^2$, dus de exponent wordt $9 + 2 = 11$ = $1{,}25 \times 10^{11}$

Answer: $(5 \times 10^3)^3 = 1{,}25 \times 10^{11}$. Bij een macht kan de coëfficiënt $100$ of meer worden, dan moet je de komma soms twee plaatsen verschuiven.

Mistake: De exponenten vermenigvuldigen: $10^3 \times 10^5 = 10^{15}$

Why: Als je machten met hetzelfde grondtal vermenigvuldigt, tel je de factoren $10$: drie tienen en vijf tienen zijn acht tienen, geen vijftien.

Correct: Tel de exponenten op: $10^3 \times 10^5 = 10^{3+5} = 10^8$. Exponenten vermenigvuldig je alleen bij een macht van een macht, zoals $(10^3)^2 = 10^6$.

Mistake: Stoppen bij $12 \times 10^8$

Why: De waarde klopt, maar $12$ ligt niet tussen $1$ en $10$, dus de uitkomst staat nog niet in wetenschappelijke notatie.

Correct: Normaliseer: $12 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^9$.

Mistake: In de verkeerde richting normaliseren: $12 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^7$

Why: Als de coëfficiënt $10$ keer kleiner wordt, moet de macht van tien $10$ keer groter worden, anders verandert de waarde.

Correct: Coëfficiënt kleiner, exponent groter: $12 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^9$.

Mistake: Het minteken kwijtraken: $10^{-4} \times 10^7 = 10^{-11}$ of $10^{11}$

Why: De exponenten zijn gehele getallen met een teken, en bij het optellen gelden de regels voor gehele getallen.

Correct: $-4 + 7 = 3$, dus $10^{-4} \times 10^7 = 10^3$. Schrijf de optelling met haakjes als de tekens gemengd zijn: $(-4) + 7$.

Sterrenkunde: hoe lang is een lichtjaar?

Een lichtjaar is de afstand die licht in één jaar aflegt. Sterrenkundigen berekenen die door de lichtsnelheid met de tijd te vermenigvuldigen, allebei in wetenschappelijke notatie.

In $500 = 5 \times 10^2$ seconden legt licht $(3 \times 10^5)(5 \times 10^2) = 15 \times 10^7 = 1{,}5 \times 10^8$ km af, ongeveer de afstand van de zon tot de aarde.

Biologie: bacteriën tellen

Microbiologen tellen de bacteriën in een klein monster en vermenigvuldigen met het volume om het totaal te schatten. De getallen groeien zo snel dat je ze in de praktijk alleen in wetenschappelijke notatie kunt schrijven.

Een druppel van $5 \times 10^{-2}$ mL uit een kweek met $2 \times 10^6$ bacteriën per mL bevat $(2 \times 10^6)(5 \times 10^{-2}) = 10 \times 10^4 = 1 \times 10^5$ bacteriën.

Informatica: een geheugenkaart vullen

Bestandsgroottes en opslag meet je in bytes, en de getallen lopen snel op tot miljarden. Ingenieurs vermenigvuldigen de grootte van een bestand met het aantal bestanden om de opslag van een apparaat te plannen.

$2 \times 10^3$ liedjes van elk $4 \times 10^6$ bytes nemen $8 \times 10^9$ bytes in, dat is 8 gigabyte.

Q: Waarom tel je de exponenten op in plaats van ze te vermenigvuldigen?

A: Een exponent telt hoeveel tienen er vermenigvuldigd worden. $10^3 \times 10^5$ is drie tienen keer vijf tienen, dus $3 + 5 = 8$ tienen achter elkaar: $10^8$.

Q: Kan ik de getallen niet gewoon voluit schrijven en vermenigvuldigen?

A: Jawel, de waarde is dezelfde. Maar bij $3 \times 10^5 \times 3{,}15 \times 10^7$ zou je $300.000$ met $31.500.000$ moeten vermenigvuldigen en veel nullen tellen. In wetenschappelijke notatie reken je alleen $3 \times 3{,}15$ en $5 + 7$.

Q: Kan het product van de coëfficiënten 100 of meer zijn?

A: Niet als je twee getallen in wetenschappelijke notatie vermenigvuldigt: beide coëfficiënten zijn kleiner dan $10$, dus het product is kleiner dan $10 \times 10 = 100$. Je verschuift de komma hooguit één plaats. Bij machten of bij drie of meer factoren kan het groter zijn, dus controleer altijd.

Q: Mijn rekenmachine toont 1.2E9. Wat betekent dat?

A: Rekenmachines schrijven wetenschappelijke notatie met een E: $1{,}2\text{E}9$ betekent $1{,}2 \times 10^9$. Het getal na de E is de exponent.