Snoepjes schatten

Op het schoolfeest schat je dat er 450 snoepjes in een pot zitten. Er zitten er echt 500 in. Wat is je procentuele fout?

Bereken de absolute fout: $|450 - 500| = |-50| = 50$ = Absolute fout = 50 snoepjes

Deel door de werkelijke waarde: $\frac{50}{500} = 0{,}1$ = $0{,}1$

Vermenigvuldig met 100: $0{,}1 \times 100\% = 10\%$ = $10\%$

Answer: Je procentuele fout is **10%**.

Kookpunt van water

Op zeeniveau kookt water bij $100\ °\text{C}$. In kokend water geeft thermometer A $102{,}5\ °\text{C}$ aan en thermometer B $97{,}5\ °\text{C}$. Bereken de procentuele fout van elke thermometer.

Absolute fout van thermometer A: $|102{,}5 - 100| = |2{,}5| = 2{,}5$ = $2{,}5\ °\text{C}$ te hoog

Absolute fout van thermometer B: $|97{,}5 - 100| = |-2{,}5| = 2{,}5$ = $2{,}5\ °\text{C}$ te laag

Deel door de werkelijke waarde en vermenigvuldig met 100: $\frac{2{,}5}{100} \times 100\% = 2{,}5\%$ = $2{,}5\%$ voor allebei

Answer: Beide thermometers hebben een procentuele fout van **2,5%**. De ene geeft te veel aan en de andere te weinig, maar door de absolute waarde zijn beide fouten positief.

De valversnelling meten in het practicum

Bij een slingerproef meet je de valversnelling als $9{,}6\ \text{m/s}^2$. De geaccepteerde waarde is $9{,}81\ \text{m/s}^2$. Bereken de procentuele fout, afgerond op twee decimalen.

Bereken de absolute fout: $|9{,}6 - 9{,}81| = |-0{,}21| = 0{,}21$ = $0{,}21\ \text{m/s}^2$

Deel door de werkelijke waarde (houd alle cijfers): $\frac{0{,}21}{9{,}81} = 0{,}0214067\ldots$ = $0{,}0214067\ldots$

Vermenigvuldig met 100: $0{,}0214067\ldots \times 100\% = 2{,}14067\ldots\%$ = $2{,}14067\ldots\%$

Rond pas aan het eind af, op twee decimalen: Het derde decimaal is 0, dus je rondt naar beneden af = $2{,}14\%$

Answer: De procentuele fout is ongeveer **2,14%** (afgerond op twee decimalen).

Dezelfde fout, andere procentuele fout

Mia meet een potlood van 10 cm als 12 cm. Leo meet een deur van 200 cm als 202 cm. Allebei zitten ze er 2 cm naast. Wiens meting is beter?

Absolute fouten: Mia: $|12 - 10| = 2$, Leo: $|202 - 200| = 2$ = Allebei 2 cm ernaast

Procentuele fout van Mia: $\frac{2}{10} \times 100\% = 20\%$ = $20\%$

Procentuele fout van Leo: $\frac{2}{200} \times 100\% = 1\%$ = $1\%$

Vergelijk: $20\% > 1\%$, en $20 : 1 = 20$ = Vergeleken met de grootte van het voorwerp is de fout van Mia 20 keer zo groot

Answer: De meting van **Leo** is veel beter: 1% fout tegenover 20% bij Mia. Delen door de werkelijke waarde laat zien hoe groot de fout is vergeleken met wat je meet.

Een procentuele fout boven 100%

Sam schat dat er 300 mensen bij een concert zijn. Er zijn er in werkelijkheid maar 120. Wat is de procentuele fout van Sam?

Bereken de absolute fout: $|300 - 120| = 180$ = 180 mensen

Deel door de werkelijke waarde: $\frac{180}{120} = 1{,}5$ = $1{,}5$

Vermenigvuldig met 100: $1{,}5 \times 100\% = 150\%$ = $150\%$

Answer: De procentuele fout van Sam is **150%**. Een procentuele fout kan boven 100% komen als de schatting meer dan twee keer zo groot is als de werkelijke waarde.

Mistake: Delen door de gemeten waarde in plaats van door de werkelijke waarde: $\frac{|9{,}6 - 9{,}81|}{9{,}6}$

Why: De procentuele fout vergelijkt je fout met de ECHTE grootte. De gemeten waarde is juist de waarde die fout kan zijn, dus die kan niet het referentiepunt zijn.

Correct: Deel altijd door de werkelijke (geaccepteerde) waarde: $\frac{|9{,}6 - 9{,}81|}{9{,}81} \times 100\% \approx 2{,}14\%$

Mistake: De absolute waarde vergeten en een negatieve procentuele fout opschrijven, zoals $-10\%$

Why: De procentuele fout meet de grootte van de fout, niet de richting. 50 te weinig is een even grote fout als 50 te veel.

Correct: Gebruik $|\text{gemeten waarde} - \text{werkelijke waarde}|$. Bij een schatting van 450 en een werkelijke waarde van 500: $|450 - 500| = 50$, procentuele fout $10\%$.

Mistake: Vergeten met 100 te vermenigvuldigen en $0{,}1$ als procentuele fout geven

Why: $\frac{50}{500} = 0{,}1$ is een decimaal getal, geen percentage. $0{,}1\%$ zou een 100 keer kleinere fout betekenen.

Correct: Vermenigvuldig met 100: $0{,}1 \times 100\% = 10\%$.

Mistake: Te vroeg afronden, of niet zeggen op hoeveel decimalen je hebt afgerond

Why: Als je $\frac{0{,}21}{9{,}81}$ eerst afrondt op $0{,}02$, krijg je $2\%$ in plaats van $2{,}14\%$. En een antwoord als $2{,}1\%$ zonder afrondingsregel kan niemand controleren.

Correct: Houd alle cijfers tot de laatste stap, rond dan één keer af en zeg hoe: "$2{,}14\%$, afgerond op twee decimalen".

Practicum: dichtheid van aluminium

Wetenschappers beoordelen een proef door hun uitkomst te vergelijken met de geaccepteerde waarde. Een procentuele fout onder ongeveer 5% is op school meestal een goed practicumresultaat.

Een klas meet de geluidssnelheid als $330\ \text{m/s}$. De geaccepteerde waarde is $343\ \text{m/s}$, dus de procentuele fout is $\frac{13}{343} \times 100\% \approx 3{,}79\%$.

Schatwedstrijden

Raadspelletjes, het tellen van publiek en planningen zijn allemaal schattingen. De procentuele fout laat zien hoe goed een schatting was, hoe groot de getallen ook zijn.

Als je 90 snoepjes schat en het zijn er 100, dan is je procentuele fout $\frac{10}{100} \times 100\% = 10\%$.

Een keukenweegschaal controleren

Winkels, apotheken en fabrieken controleren hun weegschalen met ijkgewichten waarvan de massa precies bekend is. De procentuele fout vertelt of de weegschaal nog gebruikt mag worden.

Een apothekersweegschaal geeft 101 g aan voor een ijkgewicht van 100 g: de procentuele fout is $\frac{1}{100} \times 100\% = 1\%$.

Q: Kan de procentuele fout negatief zijn?

A: Niet met de formule uit deze les: de absolute waarde maakt hem nul of positief. Sommige natuurkundedocenten laten de absolute waarde weg om te laten zien of een uitkomst te hoog (+) of te laag ($-$) was. Bij een procentuele fout met teken blijft de grootte gelijk, alleen de richting komt erbij.

Q: Kan de procentuele fout meer dan 100% zijn?

A: Ja. Als de werkelijke waarde 20 is en je schat 50, dan is de absolute fout 30, en $\frac{30}{20} \times 100\% = 150\%$. Elke schatting die meer dan twee keer zo groot is als de werkelijke waarde geeft een procentuele fout boven 100%.

Q: Wat is een goede procentuele fout?

A: Dat hangt van de taak af. Bij een schoolpracticum is onder 5% meestal goed en onder 1% uitstekend. Bij een schatspel is binnen 10% geweldig, terwijl een dosis medicijn of een precisiemachine onder 0,1% moet blijven.

Q: Wat is het verschil tussen procentuele fout en procentuele verandering?

A: De procentuele verandering vergelijkt een nieuwe waarde met de oorspronkelijke waarde en houdt het teken: $+25\%$ is groei, $-15\%$ een daling. De procentuele fout vergelijkt een meting met de werkelijke waarde en gebruikt de absolute waarde, dus hij is nooit negatief. Bij allebei deel je door de referentiewaarde en vermenigvuldig je met 100.