Een zeshoekig prisma systematisch tellen

Tel de hoekpunten, ribben en vlakken van een zeshoekig prisma en controleer de formule van Euler.

Tel de hoekpunten laag voor laag: De bovenste zeshoek heeft $6$ hoekpunten en de onderste ook $6$ = $H = 6 + 6 = 12$

Tel de ribben in groepen: $6$ ribben boven, $6$ onder en $6$ verticale ribben ertussen = $R = 6 + 6 + 6 = 18$

Tel de vlakken: $2$ zeshoekige grondvlakken en $6$ rechthoekige zijvlakken = $V = 2 + 6 = 8$

Controleer de formule van Euler: $H - R + V = 12 - 18 + 8$ = $2$

Answer: $H = 12$, $R = 18$, $V = 8$ en $12 - 18 + 8 = 2$, dus de formule van Euler klopt.

Ribben tellen via de vlakken

Een veelvlak heeft $8$ driehoekige en $6$ vierkante vlakken. Hoeveel ribben en hoeveel hoekpunten heeft het?

Tel de zijden van alle vlakken op: $8 \times 3 + 6 \times 4 = 24 + 24$ = $48$ zijden

Elke ribbe hoort bij twee vlakken, dus deel door 2: $R = 48 \div 2$ = $R = 24$

Tel de vlakken: $V = 8 + 6$ = $V = 14$

Los de formule van Euler op naar $H$: $H = 2 + R - V = 2 + 24 - 14$ = $H = 12$

Answer: Het veelvlak heeft $24$ ribben en $12$ hoekpunten.

Kan dit lichaam bestaan?

Iemand beweert een convex veelvlak met $10$ hoekpunten, $16$ ribben en $7$ vlakken gebouwd te hebben. Kan dat?

Vul in in $H - R + V$: $10 - 16 + 7$ = $1$

Vergelijk met de formule van Euler: Een convex veelvlak moet $2$ geven, niet $1$ = Onmogelijk

Zoek het aantal vlakken dat wel zou passen: $10 - 16 + V = 2$, dus $V = 2 + 16 - 10$ = $V = 8$

Answer: Nee. $10 - 16 + 7 = 1 \neq 2$, dus de aantallen kloppen niet. Met $10$ hoekpunten en $16$ ribben zou een convex veelvlak $8$ vlakken nodig hebben.

Een prisma waarvan alleen de ribben bekend zijn

Een prisma heeft $36$ ribben. Hoeveel hoekpunten en vlakken heeft het? Welke vorm heeft het grondvlak?

Gebruik $R = 3n$ voor een prisma: $3n = 36$ = $n = 12$, het grondvlak is een 12-hoek

Vind de hoekpunten met $H = 2n$: $H = 2 \times 12$ = $H = 24$

Vind de vlakken met $V = n + 2$: $V = 12 + 2$ = $V = 14$

Controleer met de formule van Euler: $24 - 36 + 14$ = $2$

Answer: Het grondvlak is een twaalfhoek. Het prisma heeft $24$ hoekpunten en $14$ vlakken, en $24 - 36 + 14 = 2$.

Een tegenvoorbeeld: een lichaam met een gat

Een vierkante fotolijst is een lichaam met een vierkant gat in het midden. Verdeel de boven- en onderkant elk in $4$ trapezia, zodat elk vlak een veelhoek is. Tel $H$, $R$ en $V$ en bereken $H - R + V$.

Tel de hoekpunten: Boven: $4$ buitenste en $4$ binnenste hoekpunten. Onder: evenveel = $H = 16$

Tel de vlakken: $4$ trapezia boven, $4$ onder, $4$ buitenste en $4$ binnenste zijvlakken = $V = 16$

Tel de ribben via de vlakken: Alle $16$ vlakken zijn vierhoeken: $16 \times 4 \div 2$ = $R = 32$

Bereken $H - R + V$: $16 - 32 + 16$ = $0$

Answer: $H - R + V = 0$, niet $2$. De formule van Euler $H - R + V = 2$ geldt alleen voor lichamen zonder gat; elk gat verlaagt de waarde met $2$.

Mistake: De zijden van alle vlakken optellen en dat totaal als aantal ribben nemen

Why: Elke ribbe is de lijn waar twee vlakken samenkomen, dus ze wordt bij elk van die twee vlakken een keer meegeteld.

Correct: Deel het totale aantal zijden van de vlakken door 2. Een kubus heeft $6 \times 4 = 24$ zijden van vlakken, maar slechts $24 \div 2 = 12$ ribben.

Mistake: De tekens verwisselen, bijvoorbeeld $H + R - V = 2$ schrijven

Why: De ribben worden afgetrokken. Met verkeerde tekens geeft een kubus $8 + 12 - 6 = 14$.

Correct: Hoekpunten en vlakken tel je op, ribben trek je af: $H - R + V = 2$. Controleer het met een kubus: $8 - 12 + 6 = 2$.

Mistake: De formule gebruiken voor cilinders, kegels, bollen of lichamen met een gat

Why: Gebogen oppervlakken zijn geen veelhoeken, en een gat verandert de uitkomst (een fotolijst geeft $0$).

Correct: Gebruik $H - R + V = 2$ alleen voor veelvlakken zonder gat: platte veelhoekige vlakken, rechte ribben, een gesloten oppervlak.

Mistake: Denken dat drie willekeurige getallen met $H - R + V = 2$ een echt veelvlak beschrijven

Why: Elk veelvlak doorstaat deze test, maar slagen alleen is niet genoeg. Zo geeft ook $H = 4{,}5$, $R = 7{,}5$, $V = 5$ de uitkomst $2$.

Correct: Controleer ook of de aantallen gehele getallen zijn en of de zijden van de vlakken samen een even getal ($2R$) geven. Vijf driehoeken hebben $15$ zijden, een oneven getal, dus geen enkel veelvlak bestaat uit precies vijf driehoeken (een veelvlak heeft altijd een even aantal vlakken met een oneven aantal zijden).

Een voetbal ontwerpen

De klassieke voetbal is genaaid uit $12$ vijfhoeken en $20$ zeshoeken. Met de zijden van de vlakken en de formule van Euler weten ontwerpers hoeveel naden en naadpunten er zijn voordat ze materiaal knippen.

Elke naad verbindt twee lapjes, dus het aantal naden is de helft van het aantal zijden van de lapjes.

3D-modellen in games en animatie

Personages en voorwerpen in videogames bestaan uit gesloten meshes van driehoeken. Software controleert de formule van Euler om meshes met kieren, dubbele hoekpunten of per ongeluk ontstane gaten op te sporen voordat ze beeldfouten geven.

Een gesloten mesh van $4$ driehoeken (een viervlak) heeft $6$ ribben en $4$ hoekpunten: $4 - 6 + 4 = 2$.

Kristallen in mineralen

Veel kristallen groeien als veelvlak. Een kwartskristal dat vastzit aan een steen heeft de vorm van een zeshoekig prisma met een zeshoekige piramide aan het vrije uiteinde, en mineralogen beschrijven kristalvormen met zulke tellingen.

Een kwartspunt heeft $6$ rechthoekige zijvlakken, $6$ driehoekige vlakken aan de punt en $1$ zeshoekig vlak waarmee hij op de steen zit.

Q: Werkt de formule van Euler ook voor veelvlakken die niet convex zijn?

A: Ja, zolang het lichaam geen gat heeft (je zou het als een ballon tot een bol kunnen opblazen). Een L-vormig blok geeft bijvoorbeeld nog steeds $H - R + V = 2$. Lichamen met een gat, zoals een fotolijst, geven een andere waarde.

Q: Waarom komt er altijd 2 uit?

A: Stel je voor dat je een vlak weghaalt en de rest plat op een tafel drukt. De vlakken in driehoeken verdelen en dan buitenste driehoeken een voor een weghalen verandert $H - R + V$ nooit, en aan het eind blijft er een driehoek over ($3 - 3 + 1 = 1$). Met het weggehaalde vlak erbij krijg je $1 + 1 = 2$. Het getal $2$ hoort bij de bolvorm van het oppervlak, niet bij het ene lichaam.

Q: Werkt de formule voor een cilinder of een kegel?

A: Nee. Die hebben gebogen oppervlakken, dus het zijn geen veelvlakken, en hun vlakken en ribben worden niet op dezelfde manier geteld. De formule van Euler gaat over lichamen die alleen uit platte veelhoeken bestaan.

Q: Wie heeft de formule ontdekt?

A: Leonhard Euler beschreef haar in 1750 in een brief en publiceerde haar in de jaren daarna. René Descartes had rond 1630 al een sterk verwant resultaat genoteerd, maar zijn aantekeningen werden pas veel later gevonden.