Waarom komt er altijd 2 uit?

Stel je voor dat je een vlak weghaalt en de rest plat op een tafel drukt. De vlakken in driehoeken verdelen en dan buitenste driehoeken een voor een weghalen verandert $H - R + V$ nooit, en aan het eind blijft er een driehoek over ($3 - 3 + 1 = 1$). Met het weggehaalde vlak erbij krijg je $1 + 1 = 2$. Het getal $2$ hoort bij de bolvorm van het oppervlak, niet bij het ene lichaam.

Werkt de formule voor een cilinder of een kegel?

Nee. Die hebben gebogen oppervlakken, dus het zijn geen veelvlakken, en hun vlakken en ribben worden niet op dezelfde manier geteld. De formule van Euler gaat over lichamen die alleen uit platte veelhoeken bestaan.

Wie heeft de formule ontdekt?

Leonhard Euler beschreef haar in 1750 in een brief en publiceerde haar in de jaren daarna. René Descartes had rond 1630 al een sterk verwant resultaat genoteerd, maar zijn aantekeningen werden pas veel later gevonden.

Leermiddelen

De formule van Euler voor veelvlakken

Leer de formule van Euler H - R + V = 2, tel hoekpunten, ribben en vlakken systematisch en gebruik de formule om een ontbrekend aantal te vinden of een onmogelijk lichaam te ontmaskeren.

Gevorderd25 minLes

Delen in Classroom

Werkblad om te printen

Definitie

Een veelvlak is een ruimtelijk lichaam waarvan het oppervlak alleen uit platte veelhoeken bestaat. Elk veelvlak heeft drie aantallen:

$H$ = aantal hoekpunten
$R$ = aantal ribben (lijnstukken waar twee vlakken samenkomen)
$V$ = aantal vlakken (de platte veelhoeken, ook wel zijvlakken genoemd)

De formule van Euler (veelvlakkenformule) zegt dat voor elk convex veelvlak geldt:

H - R + V = 2

Bij een kubus:

H = 8

R = 12

V = 6

, en

8 - 12 + 6 = 2

Ribben systematisch tellen: elke ribbe hoort bij precies twee vlakken. Als je de zijden van alle vlakken optelt, tel je dus elke ribbe twee keer:

R = \frac{\text{som van de zijden van alle vlakken}}{2}

Prisma's en piramides met een grondvlak met

n

zijden volgen eenvoudige patronen:

Prisma: $H = 2n$ , $R = 3n$ , $V = n + 2$
Piramide: $H = n + 1$ , $R = 2n$ , $V = n + 1$

De formule geldt alleen voor lichamen zonder gat. Een lichaam in de vorm van een fotolijst (een lichaam met een gat erdoorheen) geeft

H - R + V = 0

in plaats van

2

Probeer het meteen

Welke vergelijking is de formule van Euler voor een convex veelvlak?

Uitgewerkte voorbeelden

Tel de hoekpunten, ribben en vlakken van een zeshoekig prisma en controleer de formule van Euler.

Tel de hoekpunten laag voor laag

De bovenste zeshoek heeft

6

hoekpunten en de onderste ook

6

→

H = 6 + 6 = 12

Tel de ribben in groepen

6

ribben boven,

6

onder en

6

verticale ribben ertussen →

R = 6 + 6 + 6 = 18

Tel de vlakken

2

zeshoekige grondvlakken en

6

rechthoekige zijvlakken →

V = 2 + 6 = 8

Controleer de formule van Euler

H - R + V = 12 - 18 + 8

→

2

Antwoord: $H = 12$ , $R = 18$ , $V = 8$ en $12 - 18 + 8 = 2$ , dus de formule van Euler klopt.

Veelgemaakte fouten

De zijden van alle vlakken optellen en dat totaal als aantal ribben nemen

Waarom het fout is: Elke ribbe is de lijn waar twee vlakken samenkomen, dus ze wordt bij elk van die twee vlakken een keer meegeteld.

Correct: Deel het totale aantal zijden van de vlakken door 2. Een kubus heeft $6 \times 4 = 24$ zijden van vlakken, maar slechts $24 \div 2 = 12$ ribben.

De tekens verwisselen, bijvoorbeeld $H + R - V = 2$ schrijven

Waarom het fout is: De ribben worden afgetrokken. Met verkeerde tekens geeft een kubus $8 + 12 - 6 = 14$ .

Correct: Hoekpunten en vlakken tel je op, ribben trek je af: $H - R + V = 2$ . Controleer het met een kubus: $8 - 12 + 6 = 2$ .

De formule gebruiken voor cilinders, kegels, bollen of lichamen met een gat

Waarom het fout is: Gebogen oppervlakken zijn geen veelhoeken, en een gat verandert de uitkomst (een fotolijst geeft $0$ ).

Correct: Gebruik $H - R + V = 2$ alleen voor veelvlakken zonder gat: platte veelhoekige vlakken, rechte ribben, een gesloten oppervlak.

Denken dat drie willekeurige getallen met $H - R + V = 2$ een echt veelvlak beschrijven

Waarom het fout is: Elk veelvlak doorstaat deze test, maar slagen alleen is niet genoeg. Zo geeft ook $H = 4{,}5$ , $R = 7{,}5$ , $V = 5$ de uitkomst $2$ .

Correct: Controleer ook of de aantallen gehele getallen zijn en of de zijden van de vlakken samen een even getal ( $2R$ ) geven. Vijf driehoeken hebben $15$ zijden, een oneven getal, dus geen enkel veelvlak bestaat uit precies vijf driehoeken (een veelvlak heeft altijd een even aantal vlakken met een oneven aantal zijden).

Interactieve visualisatie

Tel H, R en V: prisma's, piramides en een octaëder

Kies een figuur in de tabel en tel hieronder de hoekpunten (H), ribben (R) en vlakken (V). Tik op ? om een getal te laten zien.

Figuur	H	R	V	H − R + V
				…
				…
				…
				…
				…
				…
				…

Rotatie X (20°)

Rotatie Y (30°)

Tel ze zelf

Tik op de figuur of op Begin met tellen: elk hoekpunt licht een voor een op.

Tik de ribben een voor een aan

Kies vorm

Rotatie X (20°)

Rotatie Y (30°)

Zijde (4)

Hoogte (5)

Tel ze zelf

Tik op de figuur of op Begin met tellen: elke ribbe licht een voor een op.

Vlakken

Ribben

Hoekpunten

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven

Opgave 1 van 18

Makkelijk

Welke vergelijking is de formule van Euler voor een convex veelvlak?

Waarom het belangrijk is

De formule van Euler verbindt drie getallen die niets met elkaar te maken lijken te hebben, en ze werkt voor elk convex veelvlak, hoe groot of hoe vreemd gevormd ook.

Je telling controleren: als je $H$ , $R$ en $V$ telt en geen $2$ krijgt, heb je je vergist (of het lichaam heeft een gat)
Een ontbrekend aantal vinden: met twee van de aantallen vind je het derde zonder te tellen
Ontwerpen testen: ingenieurs en 3D-ontwerpers gebruiken haar om te controleren of een gesloten mesh geen kieren of gaten heeft
Sport en wetenschap: de vlakken van een klassieke voetbal, de vormen van kristallen en de constructies van geodetische koepels voldoen er allemaal aan

Het is ook je eerste stap in de topologie, het deel van de wiskunde dat onderzoekt wat hetzelfde blijft als je een figuur uitrekt of vervormt.

Toepassingen in de echte wereld

Een voetbal ontwerpen

De klassieke voetbal is genaaid uit $12$ vijfhoeken en $20$ zeshoeken. Met de zijden van de vlakken en de formule van Euler weten ontwerpers hoeveel naden en naadpunten er zijn voordat ze materiaal knippen.

Voorbeeld:

Elke naad verbindt twee lapjes, dus het aantal naden is de helft van het aantal zijden van de lapjes.

1Probeer het zelf

Een voetbal heeft $12$ vijfhoekige en $20$ zeshoekige lapjes. De naden zijn de ribben, de punten waar drie naden samenkomen zijn de hoekpunten.

Hoeveel hoekpunten heeft de bal?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Gebruik $H = 2 + R - V$ met het aantal naden $R$ en lapjes $V$ :

3D-modellen in games en animatie

Personages en voorwerpen in videogames bestaan uit gesloten meshes van driehoeken. Software controleert de formule van Euler om meshes met kieren, dubbele hoekpunten of per ongeluk ontstane gaten op te sporen voordat ze beeldfouten geven.

Voorbeeld:

Een gesloten mesh van $4$ driehoeken (een viervlak) heeft $6$ ribben en $4$ hoekpunten: $4 - 6 + 4 = 2$ .

2Probeer het zelf

Een 3D-artiest bouwt een gesloten model zonder gaten uit $500$ driehoeken.

Hoeveel hoekpunten moet het model hebben?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Vind $R$ via de zijden van de driehoeken, daarna $H = 2 + R - V$ :

Kristallen in mineralen

Veel kristallen groeien als veelvlak. Een kwartskristal dat vastzit aan een steen heeft de vorm van een zeshoekig prisma met een zeshoekige piramide aan het vrije uiteinde, en mineralogen beschrijven kristalvormen met zulke tellingen.

Voorbeeld:

Een kwartspunt heeft $6$ rechthoekige zijvlakken, $6$ driehoekige vlakken aan de punt en $1$ zeshoekig vlak waarmee hij op de steen zit.

3Probeer het zelf

Een kwartskristal is een zeshoekig prisma met een zeshoekige piramide erop. Het heeft $13$ vlakken en $24$ ribben.

Hoeveel hoekpunten heeft het kristal?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Los $H - R + V = 2$ op naar $H$ :

Belangrijke punten

1Een veelvlak is een lichaam met platte veelhoekige vlakken; tel de hoekpunten $H$ , ribben $R$ en vlakken $V$
2Formule van Euler: $H - R + V = 2$ voor elk convex veelvlak (en elk veelvlak zonder gat)
3Tel systematisch in groepen (boven, onder, zijkanten) en controleer je telling met de formule
4Elke ribbe hoort bij twee vlakken, dus $R$ = (som van de zijden van alle vlakken) $\div 2$
5Prisma met een $n$ -hoek als grondvlak: $H = 2n$ , $R = 3n$ , $V = n + 2$ ; piramide: $H = n + 1$ , $R = 2n$ , $V = n + 1$
6Aantallen die geen $2$ geven, horen niet bij een convex veelvlak; een lichaam met een gat geeft $H - R + V = 0$

Veelgestelde vragen

Ja, zolang het lichaam geen gat heeft (je zou het als een ballon tot een bol kunnen opblazen). Een L-vormig blok geeft bijvoorbeeld nog steeds

H - R + V = 2

. Lichamen met een gat, zoals een fotolijst, geven een andere waarde.

Woordenlijst

Veelvlak: Een ruimtelijk lichaam waarvan het oppervlak alleen uit platte veelhoeken bestaat
Vlak (zijvlak): Een van de platte veelhoeken die samen het oppervlak van een veelvlak vormen
Ribbe: Een lijnstuk waar twee vlakken van een veelvlak samenkomen
Hoekpunt: Een punt waar ribben samenkomen (een hoek van het lichaam)
Convex veelvlak: Een veelvlak zonder deuken: het lijnstuk tussen twee willekeurige punten ervan ligt er helemaal binnen
Formule van Euler: De regel $H - R + V = 2$ voor elk convex veelvlak

Formulekaart

Formule van Euler

H - R + V = 2

$H$ = hoekpunten, $R$ = ribben, $V$ = vlakken van een convex veelvlak

Ribben via de vlakken

R = \frac{\text{som van de zijden van de vlakken}}{2}

Elke ribbe hoort bij precies twee vlakken

Prisma met een n-hoek als grondvlak

H = 2n,\; R = 3n,\; V = n + 2

$n$ = aantal zijden van het grondvlak

Piramide met een n-hoek als grondvlak

H = n + 1,\; R = 2n,\; V = n + 1

$n$ = aantal zijden van het grondvlak

Uitdaging van vandaagEén opgave, drie pogingen

Meer over dit onderwerp

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Interactieve visualisatie

Tel H, R en V: prisma's, piramides en een octaëder

Tik de ribben een voor een aan

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Geschiedenis

Oefenproblemen

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Een voetbal ontwerpen

3D-modellen in games en animatie

Kristallen in mineralen

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Formule van Euler

Ribben via de vlakken

Prisma met een n-hoek als grondvlak

Piramide met een n-hoek als grondvlak

Meer over dit onderwerp

Introductie tot 3D-vormen

Prisma's

Regelmatige veelvlakken (platonische lichamen)