Congruente Driehoeken

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Twee driehoeken zijn congruent. Wat kun je concluderen?
1. a)Ze hebben verschillende vormen maar dezelfde grootte
2. b)Ze hebben dezelfde vorm maar verschillende groottes
3. c)Ze hebben noch dezelfde vorm noch grootte
4. d)Ze hebben dezelfde vorm en grootte
Antwoord: Ze hebben dezelfde vorm en grootte
Congruente driehoeken hebben dezelfde vorm EN dezelfde grootte. Alle overeenkomstige zijden zijn gelijk, en alle overeenkomstige hoeken zijn gelijk.
2.
Welk kenmerk gebruikt drie paren gelijke zijden om congruentie te bewijzen?
1. a)HZH
2. b)HHZ
3. c)ZZZ
4. d)ZHZ
Antwoord: ZZZ
ZZZ (Zijde-Zijde-Zijde) gebruikt drie paren gelijke zijden. Als alle drie zijden van een driehoek gelijk zijn aan de drie zijden van een andere, zijn de driehoeken congruent.
3.
Voor ZHZ-congruentie, waar moet de hoek zich bevinden?
1. a)Tussen de twee zijden
2. b)Buiten de driehoek
3. c)Tegenover de langere zijde
4. d)Bij elk hoekpunt
Antwoord: Tussen de twee zijden
Voor ZHZ (Zijde-Hoek-Zijde) moet de hoek de ingesloten hoek zijn - de hoek gevormd tussen de twee gegeven zijden. Dit is cruciaal omdat de hoek elders hebben ZZH geeft, wat geen congruentie bewijst.
4.
Als $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ en $AB = 8$ cm, wat is de lengte van $DE$ in cm?
Antwoord: 8
Aangezien $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ , zijn de overeenkomstige zijden gelijk. Zijde $AB$ komt overeen met zijde $DE$ , dus $DE = AB = 8$ cm.
5.
In congruente driehoeken is $\angle A = 65°$ . Als $\angle A$ overeenkomt met $\angle D$ , wat is $\angle D$ in graden?
Antwoord: 65
In congruente driehoeken zijn overeenkomstige hoeken gelijk. Aangezien $\angle A$ overeenkomt met $\angle D$ , hebben we $\angle D = \angle A = 65°$ .
6.
Welke is GEEN geldig kenmerk voor het bewijzen van driehoekscongruentie?
1. a)ZZZ (Zijde-Zijde-Zijde)
2. b)HHH (Hoek-Hoek-Hoek)
3. c)ZHZ (Zijde-Hoek-Zijde)
4. d)HZH (Hoek-Zijde-Hoek)
Antwoord: HHH (Hoek-Hoek-Hoek)
HHH bewijst alleen dat driehoeken gelijkvormig zijn (dezelfde vorm), niet congruent. Twee driehoeken kunnen identieke hoeken hebben maar verschillende groottes - denk aan een kleine driehoek en een vergrote kopie ervan.
7.
Driehoeken hebben: $AB = XY = 5$ cm, $BC = YZ = 7$ cm, en $\angle C = \angle Z = 40°$ . Kun je bewijzen dat ze congruent zijn?
1. a)Ja, door HZH
2. b)Nee, dit is ZZH wat geen congruentie bewijst
3. c)Ja, door ZHZ
4. d)Ja, door ZZZ
Antwoord: Nee, dit is ZZH wat geen congruentie bewijst
De hoek C is bij hoekpunt C, dat niet tussen zijden AB en BC ligt (hoek B zou ertussen liggen). Dit is ZZH (Zijde-Zijde-Hoek), wat GEEN congruentie bewijst vanwege het dubbelzinnige geval.
8.
Twee driehoeken zijn congruent door ZZZ. De zijden van de eerste driehoek zijn 6 cm, 8 cm en 10 cm. Wat is de omtrek van de tweede driehoek in cm?
Antwoord: 24
Aangezien de driehoeken congruent zijn, heeft de tweede driehoek dezelfde zijdelengtes: 6 cm, 8 cm en 10 cm. Omtrek $= 6 + 8 + 10 = 24$ cm.
9.
Gegeven: $AB = DE = 7$ cm, $\angle A = \angle D = 50°$ , $\angle B = \angle E = 60°$ . Welk kenmerk bewijst $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ ?
Antwoord: HZH
1. Hoeveel gelijke zijden zijn gegeven? 1
2. Hoeveel gelijke hoeken zijn gegeven? 2
3. Ligt de zijde AB tussen de hoeken A en B? ja
4. Welk kenmerk heeft Hoek-Zijde-Hoek? HZH
10.
Rechthoekige driehoeken ABC en DEF hebben rechte hoeken bij B en E. Als $AC = DF = 13$ cm en $AB = DE = 5$ cm, bewijs dat ze congruent zijn.
Antwoord: ZZR
1. Wat voor soort driehoeken zijn ABC en DEF? rechthoekige driehoeken
2. In een rechthoekige driehoek, hoe heet de zijde tegenover de rechte hoek? schuine zijde
3. Welke zijde is de schuine zijde van driehoek ABC? AC
4. Wat is AB in driehoek ABC? rechthoekszijde
5. Welk kenmerk gebruikt schuine zijde en rechthoekszijde voor rechthoekige driehoeken? ZZR
11.
In $\triangle ABC$ is $\angle A = 55°$ en $\angle B = 75°$ . Als $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ , wat is $\angle F$ in graden?
Antwoord: 50
Eerst, $\angle C = 180° - 55° - 75° = 50°$ . Aangezien $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ , zijn overeenkomstige hoeken gelijk: $\angle F = \angle C = 50°$ .
12.
Waarom is ZZR (Zijde-Zijde-Rechte hoek) een geldig kenmerk maar ZZH (Zijde-Zijde-Hoek) niet?
1. a)ZZR gebruikt meer informatie dan ZZH
2. b)ZZH kan alleen worden gebruikt voor scherphoekige driehoeken
3. c)ZZR vereist een hoek van 90 graden die het dubbelzinnige geval elimineert
4. d)ZZR werd uitgevonden nadat ZZH was weerlegd
Antwoord: ZZR vereist een hoek van 90 graden die het dubbelzinnige geval elimineert
ZZH faalt omdat dezelfde twee zijden en niet-ingesloten hoek twee verschillende driehoeken kunnen vormen. ZZR bevat echter een hoek van 90 graden, wat deze dubbelzinnigheid elimineert - de stelling van Pythagoras garandeert slechts één mogelijke driehoek.
13.
In vierhoek ABCD verdeelt diagonaal AC het in driehoeken ABC en ACD. Als $AB = CD$ , $BC = DA$ , en $AC$ wordt gedeeld, bewijs $\triangle ABC \cong \triangle CDA$ .
Antwoord: ZZZ
1. In driehoek ABC, noem de drie zijden AB, BC, AC
2. In driehoek CDA, noem de drie zijden CD, DA, AC
3. Welke zijde van ABC is gelijk aan welke zijde van CDA? (AB is gelijk aan...) CD
4. Welke zijde van ABC is gelijk aan welke zijde van CDA? (BC is gelijk aan...) DA
5. Hoe zit het met AC in beide driehoeken? gedeeld
6. Alle drie paren zijden zijn gelijk. Welk kenmerk is dit? ZZZ
14.
Twee congruente driehoeken hebben elk een oppervlakte van 24 cm $^2$ . Als een driehoek een basis van 8 cm heeft, wat is de hoogte van de andere driehoek naar een overeenkomstige basis in cm?
Antwoord: 6
Oppervlakte $= \frac{1}{2} \times \text{basis} \times \text{hoogte}$ . Dus $24 = \frac{1}{2} \times 8 \times h$ , wat $h = 6$ cm geeft. Aangezien de driehoeken congruent zijn, zijn overeenkomstige hoogtes gelijk, dus de andere driehoek heeft ook hoogte 6 cm.
15.
Gegeven: $\angle P = \angle S = 40°$ , $\angle Q = \angle T = 75°$ , $QR = TU = 6$ cm. Bewijs dat $\triangle PQR \cong \triangle STU$ en vind het kenmerk.
Antwoord: HHZ
1. Hoeveel paren gelijke hoeken hebben we? 2
2. Ligt zijde QR tussen de hoeken P en Q? nee
3. Ligt zijde TU tussen de hoeken S en T? nee
4. Twee hoeken en een zijde die er niet tussen ligt. Welk kenmerk is dit? HHZ