Regelmatig of niet?

Bepaal welke figuren regelmatige veelhoeken zijn: een ruit met hoeken van $70°$ en $110°$, een rechthoek van 3 cm bij 5 cm en een gelijkzijdige driehoek.

Controleer de ruit: Alle 4 zijden zijn even lang, maar de hoeken zijn $70°$ en $110°$ = Hoeken niet gelijk: niet regelmatig

Controleer de rechthoek: Alle 4 hoeken zijn $90°$, maar de zijden zijn 3 cm en 5 cm = Zijden niet gelijk: niet regelmatig

Controleer de gelijkzijdige driehoek: Alle 3 zijden zijn even lang en alle 3 hoeken zijn $60°$ = Regelmatig

Answer: Alleen de gelijkzijdige driehoek is regelmatig. De ruit valt af door de hoeken, de rechthoek door de zijden.

Alle drie de hoeken van een regelmatige achthoek

Bereken de binnenhoek, de buitenhoek en de middelpuntshoek van een regelmatige achthoek.

Tel de zijden: Een achthoek heeft $n = 8$ zijden = $n = 8$

Binnenhoek: $\frac{(8-2) \cdot 180°}{8} = \frac{1080°}{8}$ = $135°$

Buitenhoek: $\frac{360°}{8}$ (controle: $180° - 135° = 45°$) = $45°$

Middelpuntshoek: $\frac{360°}{8}$, de volle draai om het middelpunt verdeeld over 8 driehoeken = $45°$

Answer: Binnenhoek $135°$, buitenhoek $45°$, middelpuntshoek $45°$.

n vinden uit de binnenhoek

Elke binnenhoek van een regelmatige veelhoek is $144°$. Hoeveel zijden heeft hij?

Bereken de buitenhoek: $180° - 144°$ = $36°$

Gebruik buitenhoek $= \frac{360°}{n}$: $n = \frac{360°}{36°}$ = $n = 10$

Controleer met de formule voor de binnenhoek: $\frac{(10-2) \cdot 180°}{10} = \frac{1440°}{10} = 144°$ = Klopt

Answer: De veelhoek heeft 10 zijden: het is een regelmatige tienhoek.

Oppervlakte met gegeven apothema

Een regelmatige vijfhoek heeft zijden van 8 cm en een apothema van 5,5 cm. Bereken de oppervlakte.

Bereken de omtrek: $O = 5 \cdot 8$ = $O = 40$ cm

Schrijf de formule voor de oppervlakte op: $A = \frac{1}{2} \cdot O \cdot a$ = Formule klaar

Vul in: $A = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 5{,}5$ = $A = 110$ cm²

Answer: De oppervlakte van de vijfhoek is $110$ cm².

Oppervlakte van een regelmatige zeshoek uit de zijde

Een regelmatige zeshoek heeft zijden van 6 cm. Bereken de oppervlakte zonder dat het apothema gegeven is.

Verdeel hem vanuit het middelpunt in 6 driehoeken: Middelpuntshoek $\frac{360°}{6} = 60°$, basishoeken $\frac{180° - 60°}{2} = 60°$ = 6 gelijkzijdige driehoeken met zijde 6 cm

Het apothema is de hoogte van één driehoek: $a = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27}$ = $a \approx 5{,}196$ cm

Oppervlakte van één driehoek: $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5{,}196$ = $\approx 15{,}59$ cm²

Oppervlakte van de zeshoek: $6 \cdot 15{,}588 \approx 93{,}53$ (controle: $\frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 5{,}196 \approx 93{,}53$) = $A \approx 93{,}53$ cm²

Answer: De oppervlakte is ongeveer $93{,}53$ cm² (precies $54\sqrt{3}$ cm²).

Mistake: Een ruit regelmatig noemen omdat alle zijden even lang zijn

Why: Gelijke zijden zijn maar de helft van de definitie. Een ruit kan hoeken van $60°$ en $120°$ hebben.

Correct: Een veelhoek is alleen regelmatig als alle zijden EN alle hoeken gelijk zijn. Controleer altijd allebei.

Mistake: Vergeten te delen door $n$: $(n-2) \cdot 180°$ geven als één binnenhoek

Why: $(n-2) \cdot 180°$ is de SOM van alle binnenhoeken, bij een zeshoek $720°$, veel te groot voor één hoek.

Correct: Eén binnenhoek van een regelmatige $n$-hoek is $\frac{(n-2) \cdot 180°}{n}$, bij een zeshoek $\frac{720°}{6} = 120°$.

Mistake: $n$ vinden door $360°$ te delen door de BINNENHOEK

Why: Bij een binnenhoek van $144°$ geeft dat $\frac{360}{144} = 2{,}5$ zijden, wat onmogelijk is. Alleen de buitenhoek past bij $\frac{360°}{n}$.

Correct: Bereken eerst de buitenhoek $180° - 144° = 36°$, daarna $n = \frac{360°}{36°} = 10$.

Mistake: De zijde of de straal gebruiken in plaats van het apothema in $A = \frac{1}{2} O a$

Why: De straal gaat naar een hoekpunt en is langer dan het apothema. Alleen het apothema staat loodrecht op de zijde en is dus de hoogte van elke driehoek.

Correct: Gebruik het apothema: de loodrechte afstand van het middelpunt tot het midden van een zijde.

Honingraten en zeshoekige tegels

Bijen en tegelmakers gebruiken regelmatige zeshoeken, omdat er precies drie zonder gat om één punt passen.

Vierkanten passen met 4 om een punt ($4 \cdot 90° = 360°$), gelijkzijdige driehoeken met 6 ($6 \cdot 60° = 360°$).

Stopborden

Een stopbord is een regelmatige achthoek. Bordenmakers gebruiken de oppervlakte om te weten hoeveel reflecterende folie elk bord nodig heeft.

Een regelmatige achthoek met zijde 25 cm heeft een apothema van ongeveer 30,2 cm.

De vloer van een paviljoen

De vloer van een achthoekig paviljoen bestaat uit 8 gelijke driehoekige houten delen die in het middelpunt samenkomen.

Elk deel heeft aan zijn punt in het middelpunt de middelpuntshoek $\frac{360°}{8} = 45°$.

Q: Is elke driehoek met drie even lange zijden regelmatig?

A: Ja. Bij driehoeken dwingen gelijke zijden gelijke hoeken af, dus elke gelijkzijdige driehoek heeft drie hoeken van $60°$. Vanaf vier zijden geldt dat niet meer: een ruit heeft gelijke zijden maar kan ongelijke hoeken hebben.

Q: Waarom zijn de buitenhoek en de middelpuntshoek even groot?

A: Allebei verdelen ze de volle $360°$ eerlijk over $n$ delen: de buitenhoeken zijn de $n$ draaien van een wandeling rond de veelhoek, de middelpuntshoeken zijn de $n$ stukken rond het middelpunt. Daarom zijn ze allebei $\frac{360°}{n}$.

Q: Waarom kan een regelmatige vijfhoek geen vloer betegelen?

A: Zijn binnenhoek is $108°$. Drie ervan geven $324°$ en laten een gat van $36°$, vier zouden $432°$ geven en overlappen. Omdat $\frac{360}{108}$ geen geheel getal is, passen vijfhoeken niet zonder gaten in elkaar.

Q: Hoeveel symmetrieassen heeft een regelmatige veelhoek?

A: Een regelmatige $n$-hoek heeft $n$ symmetrieassen, een regelmatige zeshoek bijvoorbeeld 6. De les over symmetrie in veelhoeken bekijkt deze assen en de draaiingen in detail.