Regelmatige veelhoeken

Leer wat een veelhoek regelmatig maakt, hoe je de binnenhoek, buitenhoek en middelpuntshoek, de omtrek en de oppervlakte vindt, en welke regelmatige veelhoeken een vloer betegelen.

Gemiddeld25 minLes
Werkblad om te printen

Definitie

Een regelmatige veelhoek heeft alle zijden even lang EN alle hoeken even groot. Beide voorwaarden zijn nodig:
  • Een ruit heeft vier even lange zijden, maar de hoeken zijn niet allemaal gelijk (bijvoorbeeld 60°60° en 120°120°), dus hij is niet regelmatig.
  • Een rechthoek heeft vier gelijke hoeken (90°90°), maar de zijden zijn niet allemaal even lang, dus hij is niet regelmatig.
  • Een vierkant heeft allebei, het is een regelmatige vierhoek.
Elke regelmatige veelhoek heeft een middelpunt MM, even ver van alle hoekpunten. De lijnstukken van het middelpunt naar de hoekpunten verdelen een regelmatige nn-hoek in nn congruente gelijkbenige driehoeken.
**Hoeken van een regelmatige nn-hoek** (de hoeksom (n−2)⋅180°(n-2) \cdot 180° ken je uit de les over de hoeksom):
binnenhoek=(n−2)⋅180°nbuitenhoek=360°nmiddelpuntshoek=360°n\text{binnenhoek} = \frac{(n-2) \cdot 180°}{n} \qquad \text{buitenhoek} = \frac{360°}{n} \qquad \text{middelpuntshoek} = \frac{360°}{n}
De middelpuntshoek is de hoek bij het middelpunt tussen de lijnstukken naar twee naburige hoekpunten. Bij een regelmatige veelhoek is hij even groot als de buitenhoek.
Lengtes: de straal rr loopt van het middelpunt naar een hoekpunt, het apothema aa loopt van het middelpunt naar het midden van een zijde en staat er loodrecht op.
Omtrek en oppervlakte (zijde ss):
O=n⋅sA=12⋅O⋅aO = n \cdot s \qquad A = \frac{1}{2} \cdot O \cdot a
Betegeling: een regelmatige veelhoek betegelt een vlak in zijn eentje alleen als zijn binnenhoek een deler is van 360°360°. Dat lukt bij precies drie: de gelijkzijdige driehoek (60°60°), het vierkant (90°90°) en de regelmatige zeshoek (120°120°).

Probeer het meteen

Hoe groot is elke buitenhoek van een regelmatige tienhoek (10 zijden), in graden?

Uitgewerkte voorbeelden

Bepaal welke figuren regelmatige veelhoeken zijn: een ruit met hoeken van 70°70° en 110°110°, een rechthoek van 3 cm bij 5 cm en een gelijkzijdige driehoek.
1

Controleer de ruit

Alle 4 zijden zijn even lang, maar de hoeken zijn 70°70° en 110°110° → Hoeken niet gelijk: niet regelmatig
2

Controleer de rechthoek

Alle 4 hoeken zijn 90°90°, maar de zijden zijn 3 cm en 5 cm → Zijden niet gelijk: niet regelmatig
3

Controleer de gelijkzijdige driehoek

Alle 3 zijden zijn even lang en alle 3 hoeken zijn 60°60° → Regelmatig

Veelgemaakte fouten

Een ruit regelmatig noemen omdat alle zijden even lang zijn

Waarom het fout is: Gelijke zijden zijn maar de helft van de definitie. Een ruit kan hoeken van 60°60° en 120°120° hebben.

Correct: Een veelhoek is alleen regelmatig als alle zijden EN alle hoeken gelijk zijn. Controleer altijd allebei.

Vergeten te delen door nn: (n−2)⋅180°(n-2) \cdot 180° geven als één binnenhoek

Waarom het fout is: (n−2)⋅180°(n-2) \cdot 180° is de SOM van alle binnenhoeken, bij een zeshoek 720°720°, veel te groot voor één hoek.

Correct: Eén binnenhoek van een regelmatige nn-hoek is (n−2)⋅180°n\frac{(n-2) \cdot 180°}{n}, bij een zeshoek 720°6=120°\frac{720°}{6} = 120°.

nn vinden door 360°360° te delen door de BINNENHOEK

Waarom het fout is: Bij een binnenhoek van 144°144° geeft dat 360144=2,5\frac{360}{144} = 2{,}5 zijden, wat onmogelijk is. Alleen de buitenhoek past bij 360°n\frac{360°}{n}.

Correct: Bereken eerst de buitenhoek 180°−144°=36°180° - 144° = 36°, daarna n=360°36°=10n = \frac{360°}{36°} = 10.

De zijde of de straal gebruiken in plaats van het apothema in A=12OaA = \frac{1}{2} O a

Waarom het fout is: De straal gaat naar een hoekpunt en is langer dan het apothema. Alleen het apothema staat loodrecht op de zijde en is dus de hoogte van elke driehoek.

Correct: Gebruik het apothema: de loodrechte afstand van het middelpunt tot het midden van een zijde.

Interactieve visualisatie

Regelmatige veelhoek

60°as = 6 cm

Middelpuntshoek

360∘÷6=60∘360^\circ \div 6 = 60^\circ

Elke binnenhoek

(6−2)⋅180∘6=120∘\dfrac{(6 - 2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ

Elke buitenhoek

180∘−120∘=60∘180^\circ - 120^\circ = 60^\circ

Omtrek

P=n⋅s=6⋅6=36 cmP = n \cdot s = 6 \cdot 6 = 36\,\text{cm}

Apothema (middelpunt tot het midden van een zijde)

a=s2tan⁡(180∘÷6)≈5,2 cma = \dfrac{s}{2\tan(180^\circ \div 6)} \approx 5{,}2\,\text{cm}

Oppervlakte

A=12⋅P⋅a≈12⋅36⋅5,196≈93,53 cm2A = \tfrac{1}{2} \cdot P \cdot a \approx \tfrac{1}{2} \cdot 36 \cdot 5{,}196 \approx 93{,}53\,\text{cm}^2

De stralen verdelen een regelmatige veelhoek in n congruente gelijkbenige driehoeken. Elk heeft basis s en hoogte a, dus de oppervlakte is n · ½ · s · a = ½ · P · a.

Grafiek van de functie

-4-2024-4-2024xy3 × 120° = 360°120°120°120°

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven
Opgave 1 van 18
Makkelijk
Welke van deze figuren is een regelmatige veelhoek?

Waarom het belangrijk is

Regelmatige veelhoeken zijn de vormen die je kiest als alles eerlijk, sterk of makkelijk te herhalen moet zijn:
  • Natuur: bijen bouwen zeshoekige honingraatcellen. Zeshoeken vullen de ruimte zonder gaten en kosten de minste was voor de wanden.
  • Verkeersborden: het stopbord is een regelmatige achthoek, zodat bestuurders de vorm zelfs van achteren herkennen.
  • Vloeren en wanden: tegels zijn vierkanten, driehoeken of zeshoeken, de enige regelmatige veelhoeken die een vloer zonder gaten bedekken.
  • Techniek: moeren en boutkoppen zijn regelmatige zeshoeken, zodat een sleutel er vanuit zes richtingen op past.
  • Ontwerp en bouw: paviljoens, tafels en ramen gebruiken regelmatige achthoeken en vijfhoeken; de middelpuntshoek vertelt de timmerman hoe elk stuk gezaagd moet worden.
Met de formules uit deze les vind je elke hoek, de omtrek en de oppervlakte van een regelmatige veelhoek uit alleen het aantal zijden en één lengte.

Toepassingen in de echte wereld

Honingraten en zeshoekige tegels

Bijen en tegelmakers gebruiken regelmatige zeshoeken, omdat er precies drie zonder gat om één punt passen.

Voorbeeld:

Vierkanten passen met 4 om een punt (4⋅90°=360°4 \cdot 90° = 360°), gelijkzijdige driehoeken met 6 (6⋅60°=360°6 \cdot 60° = 360°).

1Probeer het zelf

Een tegelzetter wil een badkamervloer alleen met regelmatige zeshoeken betegelen.

Hoeveel zeshoeken komen samen in elk hoekpunt?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Deel de volle hoek rond een punt door één binnenhoek:

Stopborden

Een stopbord is een regelmatige achthoek. Bordenmakers gebruiken de oppervlakte om te weten hoeveel reflecterende folie elk bord nodig heeft.

Voorbeeld:

Een regelmatige achthoek met zijde 25 cm heeft een apothema van ongeveer 30,2 cm.

2Probeer het zelf

Een stopbord is een regelmatige achthoek met zijden van 25 cm en een apothema van 30,2 cm.

Hoeveel vierkante centimeter reflecterende folie bedekt het hele bord?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Gebruik A=12⋅O⋅aA = \frac{1}{2} \cdot O \cdot a:

De vloer van een paviljoen

De vloer van een achthoekig paviljoen bestaat uit 8 gelijke driehoekige houten delen die in het middelpunt samenkomen.

Voorbeeld:

Elk deel heeft aan zijn punt in het middelpunt de middelpuntshoek 360°8=45°\frac{360°}{8} = 45°.

3Probeer het zelf

Een timmervrouw zaagt de 8 gelijkbenige driehoeken voor de vloer van een regelmatig achthoekig paviljoen.

Onder welke hoek moet ze elk van de twee basishoeken van één driehoek zagen?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Trek de middelpuntshoek af van 180°180° en verdeel de rest eerlijk:

Belangrijke punten

  • 1Een regelmatige veelhoek heeft alle zijden even lang EN alle hoeken even groot; een ruit en een rechthoek zijn niet regelmatig
  • 2Binnenhoek van een regelmatige nn-hoek: (n−2)⋅180°n\frac{(n-2) \cdot 180°}{n}
  • 3Buitenhoek en middelpuntshoek zijn allebei 360°n\frac{360°}{n}
  • 4Om nn uit een binnenhoek te vinden, neem je eerst de buitenhoek 180°−binnenhoek180° - \text{binnenhoek}, daarna n=360°buitenhoekn = \frac{360°}{\text{buitenhoek}}
  • 5Omtrek O=n⋅sO = n \cdot s en oppervlakte A=12⋅O⋅aA = \frac{1}{2} \cdot O \cdot a, waarbij het apothema aa van het middelpunt naar het midden van een zijde loopt
  • 6Alleen de gelijkzijdige driehoek, het vierkant en de regelmatige zeshoek betegelen een vloer in hun eentje, omdat 60°60°, 90°90° en 120°120° delers zijn van 360°360°

Veelgestelde vragen

Ja. Bij driehoeken dwingen gelijke zijden gelijke hoeken af, dus elke gelijkzijdige driehoek heeft drie hoeken van 60°60°. Vanaf vier zijden geldt dat niet meer: een ruit heeft gelijke zijden maar kan ongelijke hoeken hebben.
Ja. Bij driehoeken dwingen gelijke zijden gelijke hoeken af, dus elke gelijkzijdige driehoek heeft drie hoeken van 60°60°. Vanaf vier zijden geldt dat niet meer: een ruit heeft gelijke zijden maar kan ongelijke hoeken hebben.
Allebei verdelen ze de volle 360°360° eerlijk over nn delen: de buitenhoeken zijn de nn draaien van een wandeling rond de veelhoek, de middelpuntshoeken zijn de nn stukken rond het middelpunt. Daarom zijn ze allebei 360°n\frac{360°}{n}.
Zijn binnenhoek is 108°108°. Drie ervan geven 324°324° en laten een gat van 36°36°, vier zouden 432°432° geven en overlappen. Omdat 360108\frac{360}{108} geen geheel getal is, passen vijfhoeken niet zonder gaten in elkaar.
Een regelmatige nn-hoek heeft nn symmetrieassen, een regelmatige zeshoek bijvoorbeeld 6. De les over symmetrie in veelhoeken bekijkt deze assen en de draaiingen in detail.

Woordenlijst

Regelmatige veelhoek
Een veelhoek met alle zijden even lang en alle hoeken even groot.
Middelpunt
Het punt binnen een regelmatige veelhoek dat even ver van alle hoekpunten ligt.
Middelpuntshoek
De hoek bij het middelpunt tussen de lijnstukken naar twee naburige hoekpunten: 360°n\frac{360°}{n}.
Straal
De afstand van het middelpunt van een regelmatige veelhoek tot een hoekpunt.
Apothema
De loodrechte afstand van het middelpunt van een regelmatige veelhoek tot het midden van een zijde.
Betegeling (vlakvulling)
Een patroon van figuren dat een plat vlak zonder gaten en zonder overlap bedekt.

Formulekaart

Binnenhoek

(n−2)⋅180°n\frac{(n-2) \cdot 180°}{n}

Eén hoek binnen een regelmatige veelhoek met $n$ zijden

Buitenhoek en middelpuntshoek

360°n\frac{360°}{n}

De draai bij elk hoekpunt en de hoek bij het middelpunt voor één zijde

Aantal zijden

n=360°buitenhoekn = \frac{360°}{\text{buitenhoek}}

Buitenhoek $= 180° - $ binnenhoek

Omtrek

O=n⋅sO = n \cdot s

Aantal zijden keer de lengte van een zijde

Oppervlakte

A=12⋅O⋅aA = \frac{1}{2} \cdot O \cdot a

De halve omtrek keer het apothema $a$

Uitdaging van vandaagEén opgave, drie pogingen

Meer over dit onderwerp

Introductie tot veelhoeken

Basis20 min

Diagonalen van veelhoeken

Gemiddeld25 min

Polygonen classificeren

Basis20 min

Formule voor de hoeksom van veelhoeken

Gemiddeld25 min