Booleaanse algebra

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Welke wet zegt dat $A \land \neg A = 0$ ?
1. a)Complementwet
2. b)Idempotentiewet
3. c)Absorptiewet
4. d)Identiteitswet
Antwoord: Complementwet
De complementwet: een variabele EN haar eigen negatie is altijd 0, want $A$ en $\neg A$ zijn nooit allebei waar. De OF-vorm is $A \lor \neg A = 1$ .
2.
Wat is $A \lor 1$ , welke waarde $A$ ook heeft? Vul 1 in voor waar of 0 voor onwaar.
Antwoord: 1
Dominantiewet: $A \lor 1 = 1$ . Als $A = 0$ , dan $0 \lor 1 = 1$ ; als $A = 1$ , dan $1 \lor 1 = 1$ .
3.
Vereenvoudig $(A \lor 0) \land (B \lor 1)$ en controleer twee rijen.
Antwoord: 0
1. Volgens de dominantiewet is $B \lor 1$ een constante. Welke? Vul 0 of 1 in. 1
2. De expressie is dus $A \land 1 = A$ . Controle: wat is de oorspronkelijke expressie voor $A = 1$ , $B = 0$ ? 1
3. En voor $A = 0$ , $B = 0$ ? 0
4.
$A \lor A$ vereenvoudigt tot:
1. a) $2A$
2. b) $A$
3. c) $\neg A$
4. d) $A^2$
Antwoord: $A$
Idempotentiewet: $A \lor A = A$ , want $0 \lor 0 = 0$ en $1 \lor 1 = 1$ . $2A$ en $A^2$ komen uit de gewone algebra en gelden hier niet.
5.
Vereenvoudig $\neg\neg A \land 0$ . Het resultaat is een constante: vul 0 of 1 in.
Antwoord: 0
Dubbele negatie geeft $\neg\neg A = A$ , en de dominantiewet geeft $A \land 0 = 0$ . De waarde van $A$ maakt niet uit.
6.
Controleer de wet van De Morgan $\neg(A \land B) = \neg A \lor \neg B$ voor $A = 1$ en $B = 0$ .
Antwoord: 1
1. Wat is $A \land B$ ? 0
2. Wat is dan $\neg(A \land B)$ ? 1
3. Wat is $\neg A$ ? 0
4. Wat is $\neg A \lor \neg B$ ? 1
7.
Welke expressie is equivalent met $\neg(A \lor B)$ ?
1. a) $\neg A \land \neg B$
2. b) $A \land B$
3. c) $\neg A \lor \neg B$
4. d) $\neg A \lor B$
Antwoord: $\neg A \land \neg B$
Wet van De Morgan: $\neg(A \lor B) = \neg A \land \neg B$ . NIET (A OF B) is alleen waar als geen van beide waar is. $\neg A \lor \neg B$ is juist de negatie van $A \land B$ .
8.
Welke expressie is gelijk aan $A \lor (B \land C)$ ?
1. a) $A \land (B \lor C)$
2. b) $(A \lor B) \land C$
3. c) $(A \lor B) \land (A \lor C)$
4. d) $(A \land B) \lor (A \land C)$
Antwoord: $(A \lor B) \land (A \lor C)$
Distributieve wet (OF over EN): $A \lor (B \land C) = (A \lor B) \land (A \lor C)$ . Controleer $A = 1$ : beide kanten zijn 1. Controleer $A = 0$ : beide kanten zijn $B \land C$ .
9.
Wat is de waarde van $\neg(A \land \neg B)$ voor $A = 1$ en $B = 0$ ? Vul 0 of 1 in.
Antwoord: 0
$\neg B = 1$ , dus $A \land \neg B = 1 \land 1 = 1$ en $\neg 1 = 0$ . Met De Morgan: $\neg A \lor B = 0 \lor 0 = 0$ , dezelfde waarde.
10.
$(A \land B) \lor (A \land \neg B)$ vereenvoudigt tot $A$ . Hoeveel poorten bespaart de vereenvoudiging als je één poort telt voor elke $\land$ , $\lor$ en $\neg$ ?
Antwoord: 4
Oorspronkelijk: twee EN, een NIET en een OF, dus 4 poorten. $A$ heeft 0 poorten nodig. Bespaard: $4 - 0 = 4$ .
11.
Controleer de absorptiewet $A \land (A \lor B) = A$ rij voor rij.
Antwoord: 2
1. Wat is $A \land (A \lor B)$ voor $A = 0$ , wat $B$ ook is? 0
2. Wat is $A \land (A \lor B)$ voor $A = 1$ en $B = 0$ ? 1
3. En voor $A = 1$ en $B = 1$ ? 1
4. In hoeveel van de 4 rijen is $A \land (A \lor B)$ waar? 2
12.
Vereenvoudig $(A \lor B) \land (A \lor \neg B)$ en controleer het.
Antwoord: 2
1. De distributieve wet geeft $A \lor (B \land \neg B)$ . Welke constante is $B \land \neg B$ ? Vul 0 of 1 in. 0
2. De expressie is dus $A \lor 0 = A$ . Controleer de rij $A = 0$ , $B = 1$ : wat is de oorspronkelijke expressie? 0
3. Controleer de rij $A = 1$ , $B = 0$ : 1
4. In hoeveel van de 4 rijen is de oorspronkelijke expressie waar? 2
13.
Vereenvoudig $\neg(A \lor \neg B)$ met de wet van De Morgan.
Antwoord: 1
1. De wet van De Morgan geeft $\neg A \land \neg\neg B$ . Hoeveel $\neg$ -tekens heeft deze vorm? 3
2. Na de dubbele negatie is de expressie $\neg A \land B$ . Hoeveel $\neg$ -tekens blijven er over? 1
3. $\neg A \land B$ is maar in één rij waar. Wat is $A$ in die rij? Vul 0 of 1 in. 0
4. En wat is $B$ in die rij? 1
14.
Welke expressie is NIET equivalent met $A$ ?
1. a) $(A \lor B) \land (A \lor \neg B)$
2. b) $A \lor (A \land B)$
3. c) $A \land (A \lor B)$
4. d) $A \lor (\neg A \land B)$
Antwoord: $A \lor (\neg A \land B)$
De eerste twee zijn de absorptiewetten, en $(A \lor B) \land (A \lor \neg B) = A \lor (B \land \neg B) = A$ . Maar $A \lor (\neg A \land B) = (A \lor \neg A) \land (A \lor B) = A \lor B$ , en dat is 1 voor $A = 0$ , $B = 1$ .
15.
In hoeveel van de 4 rijen is $(A \lor B) \land (A \lor \neg B) \land (\neg A \lor B)$ waar?
Antwoord: 1
$(A \lor B) \land (A \lor \neg B) = A$ . Daarna $A \land (\neg A \lor B) = (A \land \neg A) \lor (A \land B) = 0 \lor (A \land B) = A \land B$ , en dat is alleen waar in de rij $A = 1$ , $B = 1$ .
16.
Vereenvoudig $\neg(A \land B) \land (A \lor \neg B)$ en tel de bespaarde poorten.
Antwoord: 4
1. De Morgan geeft $(\neg A \lor \neg B) \land (A \lor \neg B)$ , en de distributieve wet geeft $\neg B \lor (\neg A \land A)$ . Welke constante is $\neg A \land A$ ? 0
2. De expressie is dus $\neg B \lor 0 = \neg B$ . Controleer $A = 1$ , $B = 1$ : wat is de oorspronkelijke expressie? 0
3. Controleer $A = 0$ , $B = 0$ : 1
4. Hoeveel poorten gebruikt de oorspronkelijke expressie als je één poort telt voor elke $\land$ , $\lor$ en $\neg$ ? 5
5. Hoeveel poorten bespaar je door in plaats daarvan $\neg B$ te gebruiken? 4
17.
Vereenvoudig $A \lor (\neg A \land B)$ .
Antwoord: 3
1. De distributieve wet geeft $(A \lor \neg A) \land (A \lor B)$ . Welke constante is $A \lor \neg A$ ? 1
2. De expressie is dus $1 \land (A \lor B) = A \lor B$ . Controleer $A = 0$ , $B = 1$ : wat is de oorspronkelijke expressie? 1
3. In hoeveel van de 4 rijen is $A \lor B$ waar? 3
18.
Vereenvoudig $(A \land B) \lor (A \land \neg B \land C)$ en tel de rijen waarin ze waar is.
Antwoord: 3
1. $A$ buiten haakjes halen geeft $A \land (B \lor (\neg B \land C))$ , en de distributieve wet maakt van het haakjesdeel $(B \lor \neg B) \land (B \lor C)$ . Welke constante is $B \lor \neg B$ ? 1
2. De expressie is dus $A \land (B \lor C)$ . Hoeveel poorten gebruikt ze als je één poort telt voor elke $\land$ , $\lor$ en $\neg$ ? 2
3. Een tabel voor $A$ , $B$ en $C$ heeft 8 rijen. In hoeveel daarvan is $A = 1$ ? 4
4. In die rijen is $B \lor C$ alleen onwaar voor $B = 0$ en $C = 0$ . In hoeveel rijen is de expressie waar? 3