Van woorden naar symbolen

Neem $P$: "De winkel is open" en $Q$: "Ik heb geld". Schrijf elke zin in symbolen: (a) De winkel is open en ik heb geld. (b) De winkel is niet open of ik heb geld. (c) De winkel is open, maar ik heb geen geld. (d) De winkel is niet open en ik heb geen geld.

Zin (a): Het woord *en* verbindt twee delen die allebei als waar worden beweerd = $P \land Q$

Zin (b): *niet* hoort alleen bij het eerste deel, *of* verbindt de twee delen = $\neg P \lor Q$

Zin (c): *maar* betekent EN, en *ik heb geen geld* is de negatie van $Q$ = $P \land \neg Q$

Zin (d): Beide delen zijn ontkend en verbonden met *en* = $\neg P \land \neg Q$

Answer: (a) $P \land Q$, (b) $\neg P \lor Q$, (c) $P \land \neg Q$, (d) $\neg P \land \neg Q$. Zin (d) kun je ook zeggen met noch ... noch: noch is de winkel open, noch heb ik geld.

Waarheidswaarden met getallen

Neem $P$: "$7$ is een priemgetal" en $Q$: "$10$ is een oneven getal". Bepaal de waarheidswaarde van $P \land Q$, $P \lor Q$ en $P \land \neg Q$.

Bepaal de waarde van elke enkelvoudige bewering: $7$ heeft alleen de delers $1$ en $7$, dus $P$ is waar. $10$ is even, dus $Q$ is onwaar = $P = 1$, $Q = 0$

Bereken $P \land Q$: $1 \land 0$: EN heeft twee ware delen nodig = $0$ (onwaar)

Bereken $P \lor Q$: $1 \lor 0$: OF heeft minstens één waar deel nodig = $1$ (waar)

Bereken $P \land \neg Q$: Eerst $\neg Q = \neg 0 = 1$, dan $1 \land 1$ = $1$ (waar)

Answer: $P \land Q$ is onwaar, $P \lor Q$ is waar en $P \land \neg Q$ is waar: $7$ is een priemgetal en $10$ is niet oneven.

Waar staat de NIET?

Neem $P$: "$3 > 5$" en $Q$: "$2 + 2 = 4$". Vergelijk de waarheidswaarden van $\neg(P \lor Q)$ en $\neg P \lor Q$.

Bepaal de waarden van de delen: $3 > 5$ is onwaar en $2 + 2 = 4$ is waar = $P = 0$, $Q = 1$

Reken eerst de haakjes uit: $P \lor Q = 0 \lor 1$ = $1$

Ontken het hele deel tussen haakjes: $\neg(P \lor Q) = \neg 1$ = $0$

Bereken nu $\neg P \lor Q$: Hier geldt NIET alleen voor $P$: $\neg 0 \lor 1 = 1 \lor 1$ = $1$

Answer: $\neg(P \lor Q)$ is onwaar, maar $\neg P \lor Q$ is waar. De haakjes bepalen waarop NIET slaat: op de hele bewering of alleen op $P$.

Een samengestelde bewering in woorden ontkennen

Ontken de bewering "Tom speelt voetbal en Tom speelt schaak". In welke gevallen is de ontkenning waar?

Schrijf de bewering in symbolen: $F$: Tom speelt voetbal, $C$: Tom speelt schaak = $F \land C$

Ontken de hele bewering: Zet *het is niet waar dat* ervoor: het is niet waar dat Tom zowel voetbal als schaak speelt = $\neg(F \land C)$

Controleer de vier gevallen: $F \land C$ is alleen 1 bij $F = 1$ en $C = 1$, dus $\neg(F \land C)$ is 1 in de andere drie gevallen = Waar in 3 van de 4 gevallen

Zeg het in gewone woorden: De ontkenning is waar zodra minstens één van de twee activiteiten ontbreekt = Tom doet niet allebei

Answer: De ontkenning is: het is niet waar dat Tom zowel voetbal als schaak speelt, dus minstens één van de twee ontbreekt. Het is niet "Tom speelt geen voetbal en ook geen schaak": die zin is maar in 1 geval waar, niet in 3.

Drie delen, acht gevallen

Een club laat je binnen als je lid bent, of als je een kaartje hebt en ouder bent dan 16. Met $M$: je bent lid, $T$: je hebt een kaartje, $A$: je bent ouder dan 16 is de regel $M \lor (T \land A)$. In hoeveel van de 8 gevallen kom je binnen?

Tel de gevallen: 3 enkelvoudige beweringen, elk 0 of 1 = $2^3 = 8$ gevallen

Zet de gevallen op volgorde: $M$, $T$, $A$: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 = 8 rijen, beginnend met 0

Kolom $T \land A$: Alleen waar bij $T = 1$ en $A = 1$: gevallen 011 en 111 = 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1

Kolom $M \lor (T \land A)$: Waar bij $M = 1$ (gevallen 100 tot en met 111) of bij $T \land A = 1$ (geval 011 komt erbij) = 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1

Tel de ware gevallen: 4 gevallen met $M = 1$ plus 1 geval zonder lidmaatschap = 5 gevallen

Answer: Je komt in 5 van de 8 gevallen binnen: als lid altijd, en zonder lidmaatschap alleen met een kaartje en als je ouder bent dan 16.

Mistake: Denken dat "$P$ of $Q$" onwaar is als beide delen waar zijn

Why: In het dagelijks leven betekent *of* vaak het een of het ander, maar niet allebei. In de logica is OF inclusief: $1 \lor 1 = 1$.

Correct: $P \lor Q$ is alleen onwaar als beide delen onwaar zijn. Voor één van de twee, maar niet allebei, bestaat een aparte operator: de exclusieve OF (XOR).

Mistake: "Ik houd van thee en koffie" ontkennen als "Ik houd niet van thee en ook niet van koffie"

Why: *Niet ... en ook niet* is alleen waar als beide delen onwaar zijn (1 geval). De ontkenning van een EN-bewering moet waar zijn zodra minstens één deel onwaar is (3 gevallen).

Correct: Zeg "Het is niet waar dat ik van zowel thee als koffie houd": van minstens één van de twee houd ik niet. De algemene regel (wetten van De Morgan) komt in de les Booleaanse algebra.

Mistake: $\neg P \land Q$ lezen alsof het $\neg(P \land Q)$ is

Why: Zonder haakjes geldt NIET alleen voor de bewering direct erna. Voor $P = 0$ en $Q = 0$: $\neg P \land Q = 1 \land 0 = 0$, maar $\neg(P \land Q) = \neg 0 = 1$.

Correct: Controleer waarop de NIET slaat. Zet haakjes als NIET voor de hele samengestelde bewering moet gelden.

Mistake: *maar* niet herkennen als EN

Why: "De toets was moeilijk, maar ik ben geslaagd" klinkt als een tegenstelling, toch worden beide delen als waar beweerd.

Correct: Vertaal *maar*, *hoewel* en *zowel ... als* met EN: $H \land S$ (moeilijke toets EN geslaagd).

Filters in webwinkels

Winkels en zoekmachines combineren voorwaarden met EN, OF en NIET om te bepalen welke artikelen je ziet.

Het filter (zwart OF blauw) EN NIET tweedehands toont alleen nieuwe artikelen, in een van de twee kleuren.

Spelregels in code

Videogames en apps controleren vele keren per seconde samengestelde voorwaarden om te bepalen wat er daarna gebeurt.

Een deur gaat open bij (sleutel EN NIET alarm). Met de sleutel en zonder alarm: $1 \land \neg 0 = 1 \land 1 = 1$, dus de deur gaat open.

Regels en borden

Regels op borden, kaartjes en in contracten zijn samengestelde beweringen, en vaak gaat het er precies om wanneer een regel NIET vervuld is.

"Gratis parkeren op zondag of na 20.00 uur" geldt op een zondag om 12.00 uur, op een maandag om 21.00 uur en ook op een zondag om 21.00 uur.

Q: Betekent "of ... of" hetzelfde als OF?

A: Niet altijd. De operator OF is altijd inclusief: hij is ook waar als beide delen waar zijn. In het dagelijks leven bedoelt men met *of ... of* vaak één van de twee, maar niet allebei. Als een zin dat duidelijk bedoelt, schrijf hem dan als exclusieve OF (XOR): $(P \lor Q) \land \neg(P \land Q)$. Lees hem anders als OF.

Q: Heb ik altijd haakjes nodig?

A: Bij twee delen en één operator niet. Zodra EN en OF samen voorkomen, of een NIET voor meer dan één bewering moet gelden, maken haakjes de betekenis duidelijk. De regels om een bewering zonder haakjes te lezen (NIET voor EN voor OF) komen in de les Booleaanse expressies.

Q: Kan ik een rekenmachine gebruiken voor waarheidswaarden?

A: Gedeeltelijk. Met 1 en 0 werkt EN als een vermenigvuldiging ($1 \times 0 = 0$, $1 \times 1 = 1$) en NIET $P$ is gelijk aan $1 - P$. De rekenmachine in deze les kent de woorden EN, OF en NIET niet, dus gebruik hem voor zulke producten en om gevallen te tellen, zoals $2^3$.

Q: Waarom kan een vraag geen deel van een samengestelde bewering zijn?

A: Een bewering moet waar of onwaar zijn. Een vraag als "Regent het?" of een opdracht als "Doe de deur dicht!" heeft geen waarheidswaarde, dus kan geen deel ervan zijn.