Heb ik altijd haakjes nodig?

Bij twee delen en één operator niet. Zodra EN en OF samen voorkomen, of een NIET voor meer dan één bewering moet gelden, maken haakjes de betekenis duidelijk. De regels om een bewering zonder haakjes te lezen (NIET voor EN voor OF) komen in de les Booleaanse expressies.

Kan ik een rekenmachine gebruiken voor waarheidswaarden?

Gedeeltelijk. Met 1 en 0 werkt EN als een vermenigvuldiging ($1 \times 0 = 0$, $1 \times 1 = 1$) en NIET $P$ is gelijk aan $1 - P$. De rekenmachine in deze les kent de woorden EN, OF en NIET niet, dus gebruik hem voor zulke producten en om gevallen te tellen, zoals $2^3$.

Waarom kan een vraag geen deel van een samengestelde bewering zijn?

Een bewering moet waar of onwaar zijn. Een vraag als "Regent het?" of een opdracht als "Doe de deur dicht!" heeft geen waarheidswaarde, dus kan geen deel ervan zijn.

Leermiddelen

Samengestelde booleaanse beweringen

Leer samengestelde beweringen maken uit enkelvoudige beweringen met EN, OF en NIET, vertaal tussen woorden en symbolen en bepaal hun waarheidswaarde.

Gevorderd25 minLes

Werkblad om te printen

Definitie

Een enkelvoudige bewering is een zin die waar of onwaar is, bijvoorbeeld "Het regent." Een samengestelde bewering verbindt twee of meer enkelvoudige beweringen met de logische operatoren EN (

\land

), OF (

\lor

) en NIET (

\neg

). De waarheidswaarde ervan hangt alleen af van de waarheidswaarden van de delen.

We schrijven 1 voor waar en 0 voor onwaar. Ook de interactieve tabellen in deze les gebruiken 1 en 0.

Van woorden naar symbolen. Neem

P

: "Het regent" en

Q

: "Het is koud".

In woorden	Symbolen	Waar als
Het regent en het is koud.	$P \land Q$	beide delen waar zijn
Het regent of het is koud.	$P \lor Q$	minstens één deel waar is
Het regent niet.	$\neg P$	$P$ onwaar is
Het regent, maar het is niet koud.	$P \land \neg Q$	$P$ waar is en $Q$ onwaar
Het regent niet en het is ook niet koud.	$\neg P \land \neg Q$	beide delen onwaar zijn

Signaalwoorden: *en*, *maar*, *zowel ... als* betekenen EN. *of* betekent OF, en dat is ook waar als beide delen waar zijn. *niet*, *het is niet waar dat* betekenen NIET.

De waarheidswaarde bepalen in 3 stappen:

1.Geef elke enkelvoudige bewering haar waarde: 1 of 0.
2.Reken de delen tussen haakjes en elke NIET uit.
3.Combineer de uitkomsten met EN of OF.

De vier gevallen bij twee beweringen (beginnend met 0, zoals in de interactieve tabel; de les Waarheidstabellen begint met T, en beide volgordes geven dezelfde gevallen):

$P$	$Q$	$P \land Q$	$P \lor Q$	$\neg P$
0	0	0	0	1
0	1	0	1	1
1	0	0	1	0
1	1	1	1	0

Drie delen, acht gevallen. Met een derde bewering

R

zijn er

2^3 = 8

gevallen, en haakjes laten zien welke delen bij elkaar horen. Voor

(P \lor Q) \land \neg R

$P$	$Q$	$R$	$P \lor Q$	$\neg R$	$(P \lor Q) \land \neg R$
0	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	1	1
0	1	1	1	0	0
1	0	0	1	1	1
1	0	1	1	0	0
1	1	0	1	1	1
1	1	1	1	0	0

Deze samengestelde bewering is waar in 3 van de 8 gevallen: als minstens één van

P

Q

waar is en

R

onwaar. Hoe je een bewering zonder haakjes leest (de volgorde van bewerkingen) is het onderwerp van de les Booleaanse expressies.

Probeer het meteen

Neem

P

: "De hond heeft honger" en

Q

: "De hond is moe". Welke symbolen betekenen "De hond heeft honger en is moe"?

Uitgewerkte voorbeelden

Neem $P$ : "De winkel is open" en $Q$ : "Ik heb geld". Schrijf elke zin in symbolen: (a) De winkel is open en ik heb geld. (b) De winkel is niet open of ik heb geld. (c) De winkel is open, maar ik heb geen geld. (d) De winkel is niet open en ik heb geen geld.

Zin (a)

Het woord *en* verbindt twee delen die allebei als waar worden beweerd → $P \land Q$

Zin (b)

*niet* hoort alleen bij het eerste deel, *of* verbindt de twee delen → $\neg P \lor Q$

Zin (c)

*maar* betekent EN, en *ik heb geen geld* is de negatie van $Q$ → $P \land \neg Q$

Zin (d)

Beide delen zijn ontkend en verbonden met *en* → $\neg P \land \neg Q$

Antwoord: (a) $P \land Q$ , (b) $\neg P \lor Q$ , (c) $P \land \neg Q$ , (d) $\neg P \land \neg Q$ . Zin (d) kun je ook zeggen met noch ... noch: noch is de winkel open, noch heb ik geld.

Veelgemaakte fouten

Denken dat " $P$ of $Q$ " onwaar is als beide delen waar zijn

Waarom het fout is: In het dagelijks leven betekent *of* vaak het een of het ander, maar niet allebei. In de logica is OF inclusief: $1 \lor 1 = 1$ .

Correct: $P \lor Q$ is alleen onwaar als beide delen onwaar zijn. Voor één van de twee, maar niet allebei, bestaat een aparte operator: de exclusieve OF (XOR).

"Ik houd van thee en koffie" ontkennen als "Ik houd niet van thee en ook niet van koffie"

Waarom het fout is: *Niet ... en ook niet* is alleen waar als beide delen onwaar zijn (1 geval). De ontkenning van een EN-bewering moet waar zijn zodra minstens één deel onwaar is (3 gevallen).

Correct: Zeg "Het is niet waar dat ik van zowel thee als koffie houd": van minstens één van de twee houd ik niet. De algemene regel (wetten van De Morgan) komt in de les Booleaanse algebra.

$\neg P \land Q$ lezen alsof het $\neg(P \land Q)$ is

Waarom het fout is: Zonder haakjes geldt NIET alleen voor de bewering direct erna. Voor $P = 0$ en $Q = 0$ : $\neg P \land Q = 1 \land 0 = 0$ , maar $\neg(P \land Q) = \neg 0 = 1$ .

Correct: Controleer waarop de NIET slaat. Zet haakjes als NIET voor de hele samengestelde bewering moet gelden.

*maar* niet herkennen als EN

Waarom het fout is: "De toets was moeilijk, maar ik ben geslaagd" klinkt als een tegenstelling, toch worden beide delen als waar beweerd.

Correct: Vertaal *maar*, *hoewel* en *zowel ... als* met EN: $H \land S$ (moeilijke toets EN geslaagd).

Interactieve visualisatie

Waarheidstabel

Operator selecteren

P ∧ Q

P	Q	P ∧ Q
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

1= Waar0= Onwaar

Waarheidstabel

Uitdrukking(P ∨ Q) ∧ ¬R

P	Q	R	P ∨ Q	¬R	(P ∨ Q) ∧ ¬R
0	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	1	1
0	1	1	1	0	0
1	0	0	1	1	1
1	0	1	1	0	0
1	1	0	1	1	1
1	1	1	1	0	0

1= Waar0= Onwaar

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven

Opgave 1 van 18

Makkelijk

Neem $P$ : "De hond heeft honger" en $Q$ : "De hond is moe". Welke symbolen betekenen "De hond heeft honger en is moe"?

Waarom het belangrijk is

Bijna elke regel die je tegenkomt is een samengestelde bewering:

Webwinkels en zoekmachines: een filter als "schoenen EN maat 38 EN NIET rood" combineert drie voorwaarden
Programmeren: voorwaarden zoals (ingelogd EN NIET geblokkeerd) OF beheerder bepalen wat een app daarna doet
Regels en borden: "Kinderen onder de 12 gratis toegang, als ze met een volwassene komen" is wel of niet vervuld, afhankelijk van twee feiten
Argumenten en debatten: als je precies weet wanneer OF en NIET waar zijn, herken je zinnen die op elkaar lijken maar iets anders betekenen
Digitale schakelingen: elke chip is gebouwd uit EN, OF en NIET, dezelfde operatoren die je hier gebruikt

Je kent EN, OF en NIET al los van elkaar. In deze les combineer je ze tot langere beweringen en bepaal je met zekerheid hun waarheidswaarde.

Toepassingen in de echte wereld

Filters in webwinkels

Winkels en zoekmachines combineren voorwaarden met EN, OF en NIET om te bepalen welke artikelen je ziet.

Voorbeeld:

Het filter (zwart OF blauw) EN NIET tweedehands toont alleen nieuwe artikelen, in een van de twee kleuren.

1Probeer het zelf

Een filter toont een jas als $(B \lor S) \land C$ , waarbij $B$ : de jas is blauw, $S$ : hij is in de uitverkoop, $C$ : hij kost minder dan 50 €. Een jas is blauw, in de uitverkoop en kost 65 €.

Toont het filter deze jas?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Met 1 en 0 werkt EN als een vermenigvuldiging. Schrijf de laatste stap als product:

Spelregels in code

Videogames en apps controleren vele keren per seconde samengestelde voorwaarden om te bepalen wat er daarna gebeurt.

Voorbeeld:

Een deur gaat open bij (sleutel EN NIET alarm). Met de sleutel en zonder alarm: $1 \land \neg 0 = 1 \land 1 = 1$ , dus de deur gaat open.

2Probeer het zelf

Een speelster gaat een level omhoog als $S \land (\neg T \lor K)$ , waarbij $S$ : de score is minstens 100, $T$ : de tijd is om, $K$ : ze heeft een bonussleutel.

In hoeveel van de 8 gevallen gaat ze een level omhoog?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf het aantal als de gevallen met $S$ waar min de gevallen die mislukken:

Regels en borden

Regels op borden, kaartjes en in contracten zijn samengestelde beweringen, en vaak gaat het er precies om wanneer een regel NIET vervuld is.

Voorbeeld:

"Gratis parkeren op zondag of na 20.00 uur" geldt op een zondag om 12.00 uur, op een maandag om 21.00 uur en ook op een zondag om 21.00 uur.

3Probeer het zelf

Een bord in een museum zegt: kinderen hebben gratis toegang als ze jonger zijn dan 12 en met een volwassene komen. Neem $U$ : het kind is jonger dan 12, $A$ : het kind komt met een volwassene.

In hoeveel van de 4 gevallen is de regel voor gratis toegang NIET vervuld?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf het aantal als alle gevallen min de gevallen waarin de regel vervuld is:

Belangrijke punten

1Een samengestelde bewering verbindt enkelvoudige beweringen met EN ( $\land$ ), OF ( $\lor$ ) en NIET ( $\neg$ )
2*en* en *maar* worden EN, *of* wordt OF, *niet* en *het is niet waar dat* worden NIET
3EN is alleen waar als beide delen waar zijn; OF is alleen onwaar als beide delen onwaar zijn
4Voor de waarheidswaarde geef je elk deel 1 of 0, reken je de haakjes en elke NIET uit en combineer je daarna
5Haakjes bepalen waarop NIET slaat: $\neg(P \land Q)$ is niet hetzelfde als $\neg P \land Q$
6Bij 3 enkelvoudige beweringen zijn er $2^3 = 8$ gevallen, en de ontkenning van een EN-bewering is waar zodra minstens één deel onwaar is

Veelgestelde vragen

Niet altijd. De operator OF is altijd inclusief: hij is ook waar als beide delen waar zijn. In het dagelijks leven bedoelt men met *of ... of* vaak één van de twee, maar niet allebei. Als een zin dat duidelijk bedoelt, schrijf hem dan als exclusieve OF (XOR):

(P \lor Q) \land \neg(P \land Q)

. Lees hem anders als OF.

Woordenlijst

Enkelvoudige bewering: Eén zin die waar of onwaar is, bijvoorbeeld " $7$ is een priemgetal"
Samengestelde bewering: Een bewering gemaakt van enkelvoudige beweringen met EN, OF en NIET, bijvoorbeeld $P \land \neg Q$
Waarheidswaarde: Of een bewering waar (1) of onwaar (0) is
Conjunctie (EN): $P \land Q$ , alleen waar als beide delen waar zijn
Disjunctie (OF): $P \lor Q$ , waar als minstens één deel waar is
Negatie (NIET): $\neg P$ , precies waar als $P$ onwaar is

Formulekaart

EN (conjunctie)

P \land Q

Alleen waar (1) als $P$ en $Q$ allebei waar zijn

OF (disjunctie)

P \lor Q

Alleen onwaar (0) als $P$ en $Q$ allebei onwaar zijn

NIET (negatie)

\neg P

Draait de waarde om: $\neg 1 = 0$ en $\neg 0 = 1$

Aantal gevallen

2^n

$n$ enkelvoudige beweringen geven $2^n$ gevallen: 4 bij twee, 8 bij drie

Meer over dit onderwerp

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Interactieve visualisatie

Waarheidstabel

Waarheidstabel

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Geschiedenis

Oefenproblemen

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Filters in webwinkels

Spelregels in code

Regels en borden

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

EN (conjunctie)

OF (disjunctie)

NIET (negatie)

Aantal gevallen

Meer over dit onderwerp

Introductie tot Booleaanse logica

Ware en onware uitspraken

De EN-operatie

De OF-bewerking