Is "niet blij" hetzelfde als "verdrietig"?

Nee. "Niet blij" is de ontkenning en omvat alles wat niet blij is: verdrietig, verveeld, rustig enzovoort. "Verdrietig" is maar een van die mogelijkheden. Een ontkenning is precies dan waar als de oorspronkelijke bewering onwaar is.

Wat is de ontkenning van "$x > 5$"?

Dat is $x \leq 5$. Elk getal is groter dan 5 of niet, en "niet groter dan 5" omvat ook 5 zelf.

Wat zijn de wetten van De Morgan?

Ze vertellen je hoe NIET binnen haakjes gaat: $\neg(P \land Q) = \neg P \vee \neg Q$ en $\neg(P \vee Q) = \neg P \land \neg Q$. EN wordt OF en OF wordt EN. In de les over waarheidstabellen controleer je ze rij voor rij.

Leermiddelen

De NIET-bewerking

Leer hoe de NIET-bewerking waar in onwaar en onwaar in waar verandert, en hoe je zinnen correct ontkent.

Gemiddeld20 minLes

Werkblad om te printen

Definitie

De NIET-bewerking (ook logische negatie of ontkenning genoemd) neemt één bewering en draait de waarheidswaarde om: waar wordt onwaar, en onwaar wordt waar.

We schrijven NIET met deze symbolen:

$\neg P$ (wiskundige notatie, je leest "niet P")
NIET P (voluit geschreven, in het Engels NOT P)
!P (programmeren)

Waarheidstabel voor NIET:

$P$	$\neg P$
W	O
O	W

Met 1 voor waar en 0 voor onwaar: NIET 1 = 0 en NIET 0 = 1. Een handige truc is

\neg P = 1 - P

Het belangrijkste inzicht: anders dan EN en OF heeft NIET maar één invoer nodig. Een bewering en haar ontkenning zijn nooit allebei waar en nooit allebei onwaar. Precies één van de twee is waar!

Probeer het meteen

Als

P

waar is, wat is dan

\neg P

Uitgewerkte voorbeelden

Stel $P$ = "7 is een even getal". Bepaal de waarheidswaarden van $P$ , $\neg P$ en $\neg(\neg P)$ .

Bepaal P

7 is oneven, dus de bewering "7 is een even getal" is onwaar → P = O

Schrijf de ontkenning in woorden

$\neg P$ = "7 is geen even getal" → ¬P in woorden

Pas NIET toe

$\neg P = \neg O = W$ → ¬P = W

Pas NIET een tweede keer toe

$\neg(\neg P) = \neg W = O$ , en dat is hetzelfde als P → ¬(¬P) = O

Antwoord: P is onwaar, ¬P is waar en ¬(¬P) is weer onwaar. Twee keer NIET heft elkaar op: ¬(¬P) = P.

Veelgemaakte fouten

"Alle katten zijn zwart" ontkennen met "Geen enkele kat is zwart"

Waarom het fout is: Beide zinnen kunnen tegelijk onwaar zijn (sommige katten zijn zwart, andere niet), dus de tweede is niet de ontkenning van de eerste.

Correct: De ontkenning is "Niet alle katten zijn zwart", dus "Minstens één kat is niet zwart".

De ontkenning van $x > 5$ schrijven als $x < 5$

Waarom het fout is: Zo vergeet je het geval $x = 5$ . Voor $x = 5$ zijn $x > 5$ en $x < 5$ allebei onwaar.

Correct: $\neg(x > 5)$ is $x \leq 5$ : alle getallen die niet groter zijn dan 5.

NIET binnen de haakjes zetten zonder EN/OF te veranderen: $\neg(P \land Q) = \neg P \land \neg Q$

Waarom het fout is: Test het met P = W, Q = O: $\neg(W \land O) = \neg O = W$ , maar $\neg W \land \neg O = O \land W = O$ . De twee kanten zijn verschillend.

Correct: Als NIET binnen de haakjes gaat, wordt EN een OF: $\neg(P \land Q) = \neg P \vee \neg Q$ .

Denken dat "niet niet" nog steeds een ontkenning is

Waarom het fout is: In sommige talen is een dubbele ontkenning in de spreektaal gewoon één versterkte ontkenning (Spaans "No veo nada", Italiaans "Non vedo niente"). In de logica telt echter elke NIET mee.

Correct: Twee keer NIET heft elkaar op: $\neg(\neg P) = P$ . "Het is niet waar dat de winkel niet open is" betekent dat de winkel open is.

Interactieve visualisatie

Waarheidstabel

Operator selecteren

¬P

P	¬P
W
O

W= WaarO= Onwaar

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven

Opgave 1 van 18

Makkelijk

Als $P$ waar is, wat is dan $\neg P$ ?

Waarom het belangrijk is

Ontkenning is overal, ook als we het niet merken:

Dagelijkse taal: "De winkel is niet open" is de ontkenning van "De winkel is open"
Programmeren: een app controleert !ingelogd om het inlogscherm alleen te tonen aan mensen die NIET ingelogd zijn
Zoekmachines: een zoekopdracht pizza AND NOT ananas vindt pizzapagina's waarop geen ananas staat
Elektronica: een NIET-poort (invertor) maakt van een signaal 1 een 0 en van een signaal 0 een 1
Argumenteren: om te laten zien dat iemand ongelijk heeft, heb je de precieze ontkenning van zijn bewering nodig, niet zomaar het "tegenovergestelde"

Wie goed ontkent, schrijft duidelijke regels en voorkomt misverstanden.

Toepassingen in de echte wereld

Programmeren en apps

Programmeurs zetten ! voor een voorwaarde, zodat code alleen wordt uitgevoerd als die voorwaarde onwaar is.

Voorbeeld:

Een huiswerkapp gebruikt de regel !klaar: hij toont alleen een herinnering als het huiswerk NIET klaar is.

1Probeer het zelf

Een huiswerkapp toont een herinnering als NIET D waar is, waarbij D = "het huiswerk is klaar". Op dit moment is het huiswerk nog niet klaar.

Verschijnt de herinnering? (Gebruik 1 voor waar en 0 voor onwaar.)

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

De regel van de app is NIET D. Welke waarde heeft die nu (1 of 0)?

NIET-poorten in de elektronica

Een NIET-poort (ook invertor genoemd) heeft één ingang en één uitgang. Hij geeft altijd het omgekeerde signaal.

Voorbeeld:

Een nachtlampje gebruikt een lichtsensor die 1 stuurt als het licht is. Na een NIET-poort krijgt de lamp alleen een 1 als het donker is.

2Probeer het zelf

Een signaal 1 gaat door twee NIET-poorten die achter elkaar geschakeld zijn.

Welk signaal komt er aan het eind uit?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

De schakeling berekent NIET (NIET 1). Wat is het resultaat?

Winkelregels en zoekfilters

Regels en zoekopdrachten sluiten vaak iets uit met EN NIET: het resultaat moet bij het ene passen, maar niet bij het andere.

Voorbeeld:

Een zoekopdracht pizza AND NOT ananas toont pizzapagina's, behalve die waarop ananas staat.

3Probeer het zelf

Een winkel geeft ledenkorting als M EN NIET S waar is, waarbij M = "de klant is lid" en S = "het artikel is al afgeprijsd". Lea is lid en koopt een artikel dat al afgeprijsd is.

Krijgt Lea de ledenkorting? (Gebruik 1 voor waar en 0 voor onwaar.)

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

De regel van de winkel is M EN NIET S. Welke waarde heeft die voor Lea (1 of 0)?

Belangrijke punten

1De NIET-bewerking draait de waarheidswaarde om: $\neg W = O$ en $\neg O = W$
2NIET werkt op één bewering. Symbolen: $\neg P$ in de wiskunde, NIET P in woorden, !P bij programmeren
3Met 1 en 0: NIET 1 = 0, NIET 0 = 1 en $\neg P = 1 - P$
4Ontken een zin met de grammatica van je taal (niet of geen) en onthoud dat de ontkenning van "alle" "niet alle" is
5Dubbele ontkenning: twee keer NIET heft elkaar op, $\neg(\neg P) = P$
6Haakjes zijn belangrijk: $\neg(P \vee Q) = \neg P \land \neg Q$ en $\neg(P \land Q) = \neg P \vee \neg Q$ (wetten van De Morgan)

Veelgestelde vragen

EN en OF verbinden twee beweringen, maar NIET verandert gewoon de waarheidswaarde van één bewering. Daarom heeft de waarheidstabel van NIET maar twee rijen: P = W en P = O.

Woordenlijst

NIET-bewerking: Een logische bewerking met één invoer die waar in onwaar en onwaar in waar verandert
Negatie: De wiskundige naam voor de NIET-bewerking, geschreven als $\neg P$
Dubbele ontkenning: Twee keer NIET toepassen, wat de oorspronkelijke waarde teruggeeft: $\neg(\neg P) = P$
Invertor (NIET-poort): Een elektronisch onderdeel dat 0 geeft als de invoer 1 is en 1 geeft als de invoer 0 is
Wetten van De Morgan: Twee regels die laten zien hoe NIET binnen haakjes gaat en daarbij EN en OF verwisselt

Formulekaart

NIET-regel

\neg W = O, \quad \neg O = W

NIET draait de waarheidswaarde altijd om

NIET met 1 en 0

\neg P = 1 - P

NIET 1 = 0 en NIET 0 = 1, handig om met de rekenmachine te controleren

Dubbele ontkenning

\neg(\neg P) = P

Twee keer NIET heft elkaar op

Wetten van De Morgan

\neg(P \land Q) = \neg P \vee \neg Q, \quad \neg(P \vee Q) = \neg P \land \neg Q

NIET gaat binnen de haakjes en EN en OF wisselen van plaats

Meer over dit onderwerp

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Interactieve visualisatie

Waarheidstabel

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Geschiedenis

Oefenproblemen

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Programmeren en apps

NIET-poorten in de elektronica

Winkelregels en zoekfilters

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

NIET-regel

NIET met 1 en 0

Dubbele ontkenning

Wetten van De Morgan

Meer over dit onderwerp

Introductie tot Booleaanse logica

Ware en onware uitspraken

De EN-operatie

De OF-bewerking