Een waarheidswaarde omdraaien

Stel $P$ = "7 is een even getal". Bepaal de waarheidswaarden van $P$, $\neg P$ en $\neg(\neg P)$.

Bepaal P: 7 is oneven, dus de bewering "7 is een even getal" is **onwaar** = P = O

Schrijf de ontkenning in woorden: $\neg P$ = "7 is geen even getal" = ¬P in woorden

Pas NIET toe: $\neg P = \neg O = W$ = ¬P = W

Pas NIET een tweede keer toe: $\neg(\neg P) = \neg W = O$, en dat is hetzelfde als P = ¬(¬P) = O

Answer: P is onwaar, ¬P is waar en ¬(¬P) is weer onwaar. Twee keer NIET heft elkaar op: ¬(¬P) = P.

Zinnen ontkennen in het Nederlands

Schrijf de ontkenning van "Anna heeft een fiets." en van "Anna is thuis."

Zoek werkwoord en zelfstandig naamwoord in de eerste zin: In "Anna heeft een fiets" is heeft het werkwoord, en het zelfstandig naamwoord staat met een = Werkwoord: heeft, een fiets

Ontken het zelfstandig naamwoord met geen: Een zelfstandig naamwoord met een ontken je in het Nederlands met geen: een fiets wordt geen fiets. "Anna heeft niet een fiets" klinkt fout = Anna heeft geen fiets.

Ontken de tweede zin: Hier staat geen zelfstandig naamwoord met een, dus gebruiken we niet: is wordt is niet = Anna is niet thuis.

Controleer de waarheidswaarden: Als "Anna heeft een fiets" waar is, dan is "Anna heeft geen fiets" onwaar, en omgekeerd = Precies één is waar

Answer: "Anna heeft geen fiets." en "Anna is niet thuis." Ontkennen is niet zomaar een woord toevoegen: volg de grammatica van je taal.

Een "alle"-bewering ontkennen

Schrijf de ontkenning van "Alle leerlingen zijn geslaagd voor de toets."

Begrijp de bewering: De zin zegt dat echt elke leerling, zonder uitzondering, geslaagd is = Bewering: iedereen is geslaagd

Vraag je af wat haar onwaar maakt: Eén leerling die gezakt is, is al genoeg om de bewering onwaar te maken = Minstens één is gezakt

Schrijf de ontkenning: "Niet alle leerlingen zijn geslaagd voor de toets", met andere woorden "Minstens één leerling is niet geslaagd voor de toets" = Niet iedereen is geslaagd.

Wijs het verleidelijke foute antwoord af: "Geen enkele leerling is geslaagd" is te sterk: als er 20 geslaagd zijn en 1 gezakt is, zijn de bewering en deze zin allebei onwaar = Geen ontkenning

Answer: "Niet alle leerlingen zijn geslaagd voor de toets" (minstens één is niet geslaagd). De ontkenning van "alle" is "niet alle", niet "geen enkele".

NIET samen met EN

P = "Het regent" is waar en Q = "Het is koud" is onwaar. Bereken $\neg P \land Q$ en $\neg(P \land Q)$.

NIET werkt alleen op wat er direct achter staat: In $\neg P \land Q$ wordt alleen P ontkend: $\neg P = \neg W = O$ = ¬P = O

Reken de eerste uitdrukking af: $\neg P \land Q = O \land O = O$ = ¬P ∧ Q = O

Tweede uitdrukking: eerst de haakjes: $P \land Q = W \land O = O$ = P ∧ Q = O

Ontken nu het hele deel tussen haakjes: $\neg(P \land Q) = \neg O = W$ = ¬(P ∧ Q) = W

Answer: $\neg P \land Q$ is onwaar, maar $\neg(P \land Q)$ is waar. De haakjes bepalen waar NIET op werkt!

Een eerste blik op De Morgan

Controleer dat $\neg(P \vee Q)$ en $\neg P \land \neg Q$ voor elke keuze van P en Q dezelfde waarde hebben.

Linkerkant voor P = W, Q = O: $\neg(W \vee O) = \neg W = O$ = O

Rechterkant voor P = W, Q = O: $\neg W \land \neg O = O \land W = O$ = O, gelijk

Beide kanten voor P = O, Q = O: $\neg(O \vee O) = \neg O = W$ en $\neg O \land \neg O = W \land W = W$ = W, gelijk

De twee overige gevallen: P = W, Q = W: $\neg W = O$ en $O \land O = O$. P = O, Q = W: $\neg W = O$ en $W \land O = O$ = O, gelijk

Answer: Beide kanten komen altijd overeen, dus $\neg(P \vee Q) = \neg P \land \neg Q$. "Ik wil geen thee of koffie" betekent "Ik wil geen thee EN ik wil geen koffie". Dit is een van de wetten van De Morgan.

Mistake: "Alle katten zijn zwart" ontkennen met "Geen enkele kat is zwart"

Why: Beide zinnen kunnen tegelijk onwaar zijn (sommige katten zijn zwart, andere niet), dus de tweede is niet de ontkenning van de eerste.

Correct: De ontkenning is "Niet alle katten zijn zwart", dus "Minstens één kat is niet zwart".

Mistake: De ontkenning van $x > 5$ schrijven als $x < 5$

Why: Zo vergeet je het geval $x = 5$. Voor $x = 5$ zijn $x > 5$ en $x < 5$ allebei onwaar.

Correct: $\neg(x > 5)$ is $x \leq 5$: alle getallen die niet groter zijn dan 5.

Mistake: NIET binnen de haakjes zetten zonder EN/OF te veranderen: $\neg(P \land Q) = \neg P \land \neg Q$

Why: Test het met P = W, Q = O: $\neg(W \land O) = \neg O = W$, maar $\neg W \land \neg O = O \land W = O$. De twee kanten zijn verschillend.

Correct: Als NIET binnen de haakjes gaat, wordt EN een OF: $\neg(P \land Q) = \neg P \vee \neg Q$.

Mistake: Denken dat "niet niet" nog steeds een ontkenning is

Why: In sommige talen is een dubbele ontkenning in de spreektaal gewoon één versterkte ontkenning (Spaans "No veo nada", Italiaans "Non vedo niente"). In de logica telt echter elke NIET mee.

Correct: Twee keer NIET heft elkaar op: $\neg(\neg P) = P$. "Het is niet waar dat de winkel niet open is" betekent dat de winkel open is.

Programmeren en apps

Programmeurs zetten ! voor een voorwaarde, zodat code alleen wordt uitgevoerd als die voorwaarde onwaar is.

Een huiswerkapp gebruikt de regel !klaar: hij toont alleen een herinnering als het huiswerk NIET klaar is.

NIET-poorten in de elektronica

Een NIET-poort (ook invertor genoemd) heeft één ingang en één uitgang. Hij geeft altijd het omgekeerde signaal.

Een nachtlampje gebruikt een lichtsensor die 1 stuurt als het licht is. Na een NIET-poort krijgt de lamp alleen een 1 als het donker is.

Winkelregels en zoekfilters

Regels en zoekopdrachten sluiten vaak iets uit met EN NIET: het resultaat moet bij het ene passen, maar niet bij het andere.

Een zoekopdracht pizza AND NOT ananas toont pizzapagina's, behalve die waarop ananas staat.

Q: Waarom heeft NIET maar één invoer, terwijl EN en OF er twee hebben?

A: EN en OF verbinden twee beweringen, maar NIET verandert gewoon de waarheidswaarde van één bewering. Daarom heeft de waarheidstabel van NIET maar twee rijen: P = W en P = O.

Q: Is "niet blij" hetzelfde als "verdrietig"?

A: Nee. "Niet blij" is de ontkenning en omvat alles wat niet blij is: verdrietig, verveeld, rustig enzovoort. "Verdrietig" is maar een van die mogelijkheden. Een ontkenning is precies dan waar als de oorspronkelijke bewering onwaar is.

Q: Wat is de ontkenning van "$x > 5$"?

A: Dat is $x \leq 5$. Elk getal is groter dan 5 of niet, en "niet groter dan 5" omvat ook 5 zelf.

Q: Wat zijn de wetten van De Morgan?

A: Ze vertellen je hoe NIET binnen haakjes gaat: $\neg(P \land Q) = \neg P \vee \neg Q$ en $\neg(P \vee Q) = \neg P \land \neg Q$. EN wordt OF en OF wordt EN. In de les over waarheidstabellen controleer je ze rij voor rij.