Een contrapositie maken

Schrijf de contrapositie van: "Als een getal deelbaar is door $10$, dan eindigt het op $0$."

Bepaal de hypothese $p$ en de conclusie $q$: $p$: een getal is deelbaar door $10$. $q$: het eindigt op $0$. = Twee delen gevonden

Ontken beide delen: $\neg p$: het getal is niet deelbaar door $10$. $\neg q$: het eindigt niet op $0$. = Beide delen ontkend

Verwissel de volgorde en schrijf $\neg q \to \neg p$: Zet de ontkende conclusie vooraan en de ontkende hypothese achteraan. = Als een getal niet op $0$ eindigt, dan is het niet deelbaar door $10$.

Answer: Als een getal niet op $0$ eindigt, dan is het niet deelbaar door $10$. Net als de oorspronkelijke bewering is deze waar: $73$ eindigt bijvoorbeeld niet op $0$ en $73 \div 10 = 7{,}3$ is geen geheel getal.

Alle vier verwante beweringen

Begin met "Als een figuur een vierkant is, dan heeft ze vier rechte hoeken." Schrijf de omgekeerde, de inverse en de contrapositie op en beslis voor elk of het waar is.

Controleer de oorspronkelijke bewering $p \to q$: Elk vierkant heeft vier rechte hoeken. = Waar

Omgekeerde $q \to p$: Als een figuur vier rechte hoeken heeft, dan is ze een vierkant. Een rechthoek van $3$ bij $5$ heeft vier rechte hoeken, maar is geen vierkant. = Onwaar

Inverse $\neg p \to \neg q$: Als een figuur geen vierkant is, dan heeft ze geen vier rechte hoeken. Dezelfde rechthoek van $3$ bij $5$ is een tegenvoorbeeld. = Onwaar

Contrapositie $\neg q \to \neg p$: Als een figuur geen vier rechte hoeken heeft, dan is ze geen vierkant. = Waar

Answer: De oorspronkelijke bewering en de contrapositie zijn waar, de omgekeerde en de inverse zijn onwaar. Eén tegenvoorbeeld (de rechthoek) weerlegt de omgekeerde en de inverse tegelijk, omdat ze met elkaar equivalent zijn.

De equivalentie bewijzen met een waarheidstabel

Laat zien dat $p \to q$ en $\neg q \to \neg p$ in elk mogelijk geval dezelfde waarheidswaarde hebben.

Schrijf alle combinaties van $p$ en $q$ op: $(W,W)$, $(W,O)$, $(O,W)$, $(O,O)$ = 4 rijen

Vul $p \to q$ in: Een implicatie is alleen onwaar als de hypothese waar en de conclusie onwaar is: rij $(W,O)$. = $W, O, W, W$

Vul $\neg q$ en $\neg p$ in: Draai elke waarde om: $\neg q$ is $O, W, O, W$ en $\neg p$ is $O, O, W, W$. = Twee hulpkolommen

Vul $\neg q \to \neg p$ in: Die is alleen onwaar waar $\neg q$ de waarde $W$ en $\neg p$ de waarde $O$ heeft, en dat gebeurt alleen in rij $(W,O)$. = $W, O, W, W$

Vergelijk de twee kolommen: Beide kolommen luiden $W, O, W, W$. = Gelijk in alle 4 rijen

Answer: De kolommen komen in elke rij overeen, dus $p \to q \equiv \neg q \to \neg p$. De bewering en haar contrapositie zijn logisch equivalent.

De contrapositie toepassen op een getal

De regel "Als een getal deelbaar is door $6$, dan is het deelbaar door $3$" is waar. Gebruik de contrapositie om te beslissen of $2750$ deelbaar is door $6$.

Schrijf de contrapositie: Verwissel en ontken. = Als een getal niet deelbaar is door $3$, dan is het niet deelbaar door $6$.

Test deelbaarheid door $3$ met de som van de cijfers: $2 + 7 + 5 + 0 = 14$, en $14$ is niet deelbaar door $3$. = $2750$ is niet deelbaar door $3$

Controleer met een deling: $2750 = 3 \times 916 + 2$ = Rest $2$

Pas de contrapositie toe: De hypothese "niet deelbaar door $3$" geldt voor $2750$. = $2750$ is niet deelbaar door $6$

Answer: $2750$ is niet deelbaar door $6$. Let op: $2750$ is even, dus alleen deelbaarheid door $2$ controleren had de vraag niet beslist. De contrapositie wel.

Als n kwadraat even is, dan is n even

Leg met de contrapositie uit waarom "Als $n^2$ even is, dan is $n$ even" waar is voor elk geheel getal $n$.

Schrijf de contrapositie: Bij gehele getallen betekent niet even hetzelfde als oneven. = Als $n$ oneven is, dan is $n^2$ oneven.

Schrijf een oneven getal in algemene vorm: $n = 2k + 1$ voor een geheel getal $k$, dus $n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$ = $n^2 = 4k^2 + 4k + 1$

Haal $2$ buiten haakjes: $n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ = Twee keer een geheel getal plus $1$, dus $n^2$ is oneven

Controleer met $n = 7$: $k = 3$: $7^2 = 49 = 2 \times 24 + 1$ = $49$ is oneven

Trek de conclusie: De contrapositie is waar en ze is equivalent met de oorspronkelijke bewering. = De oorspronkelijke bewering is waar

Answer: Elk oneven getal heeft een oneven kwadraat, dus de contrapositie is waar en daarmee ook de oorspronkelijke bewering. De directe weg (beginnen bij $n^2$ even) is veel moeilijker. Een bewering op deze manier bewijzen heet een bewijs via contrapositie, dat je in het onderwerp bewijzen tegenkomt.

Mistake: Alleen de delen verwisselen en $q \to p$ de contrapositie noemen

Why: Verwisselen zonder ontkennen geeft de omgekeerde, en die kan onwaar zijn terwijl de oorspronkelijke bewering waar is.

Correct: Verwissel **en** ontken beide delen: de contrapositie van $p \to q$ is $\neg q \to \neg p$.

Mistake: "$x > 5$" ontkennen als "$x < 5$"

Why: Dan vergeet je het geval $x = 5$. Elk getal is groter dan $5$ of niet groter dan $5$, en "niet groter" omvat $5$ zelf.

Correct: De ontkenning van $x > 5$ is $x \le 5$, en de ontkenning van $x \ge 5$ is $x < 5$.

Mistake: Aannemen dat de omgekeerde van een ware bewering ook waar is

Why: "Als $x = 4$, dan $x^2 = 16$" is waar, maar "Als $x^2 = 16$, dan $x = 4$" is onwaar, want $x = -4$ werkt ook.

Correct: Alleen de contrapositie heeft gegarandeerd dezelfde waarheidswaarde als de oorspronkelijke bewering. De omgekeerde moet je apart controleren.

Mistake: Verdwalen in dubbele ontkenningen

Why: Bij "Als het niet regent, dan loop ik naar school" schrijven sommigen "Als ik niet loop, dan regent het niet niet" of laten ze per ongeluk een ontkenning weg.

Correct: De ontkenning van "het regent niet" is "het regent". De contrapositie is: "Als ik niet naar school loop, dan regent het."

Deelbaarheidsregels en controlecijfers

Veel codes en snelle controles uit het hoofd steunen op deelbaarheidsregels, en dankzij de contrapositie kun je een getal afwijzen zonder te delen.

Regel: als een getal deelbaar is door $9$, dan is de som van de cijfers deelbaar door $9$. De cijfersom van $5812$ is $16$, dus $5812$ kan niet deelbaar zijn door $9$.

Regels voor gratis verzending

Webwinkels hebben vaak regels als "Als je bestelling 50 € of meer is, is de verzending gratis." De contrapositie vertelt je wat verzendkosten op je factuur betekenen.

Contrapositie: als je verzendkosten hebt betaald, dan was je bestelling minder dan 50 €. Een factuur met verzendkosten bewijst dat de bestelling onder de grens bleef.

Een ranglijst lezen

Sportfans gebruiken de contrapositie om dingen uit te sluiten op basis van de stand, zonder elke wedstrijd te zien.

In een competitie met $3$ punten voor een winst, $1$ voor een gelijkspel en $0$ voor een verlies geldt: als een team alle $5$ wedstrijden heeft gewonnen, heeft het $15$ punten. Een team met minder dan $15$ punten heeft niet elke wedstrijd gewonnen.

Q: Waarom is de contrapositie altijd waar als de oorspronkelijke bewering waar is?

A: De bewering $p \to q$ zegt: telkens als $p$ gebeurt, gebeurt ook $q$. Dus als $q$ niet gebeurd is, kan $p$ ook niet gebeurd zijn, anders was $q$ gevolgd. Dat is precies $\neg q \to \neg p$. De waarheidstabel bevestigt het in alle vier de gevallen.

Q: Wat is het verschil tussen de inverse en de contrapositie?

A: Beide ontkennen de twee delen, maar de inverse houdt de volgorde ($\neg p \to \neg q$), terwijl de contrapositie die ook verwisselt ($\neg q \to \neg p$). De contrapositie is equivalent met de oorspronkelijke bewering; de inverse is equivalent met de omgekeerde.

Q: Als de oorspronkelijke bewering onwaar is, is de contrapositie dan ook onwaar?

A: Ja. Ze zijn equivalent, dus ze hebben altijd dezelfde waarheidswaarde. "Als een getal even is, dan is het deelbaar door $4$" is onwaar ($6$ is een tegenvoorbeeld), en dat geldt ook voor "Als een getal niet deelbaar is door $4$, dan is het niet even", met hetzelfde tegenvoorbeeld $6$.

Q: Is een contrapositie hetzelfde als een bewijs uit het ongerijmde?

A: Nee. Met de contrapositie bewijs je rechtstreeks $\neg q \to \neg p$ in plaats van $p \to q$. Een bewijs uit het ongerijmde neemt aan dat de hele bewering onwaar is en komt uit bij een onmogelijk resultaat. Beide methoden komen aan bod in het onderwerp bewijzen.